Размещено на http://www.allbest.ru/

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

1. Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)2=a2+2ab+b2

2. Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)2=a2-2ab+b2

3. Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a2-b2

4. Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

5. Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

Натуральные числа (естественные числа) -- числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел -- числа, используемые при:

перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);

обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель двух или нескольких натуральных чисел наибольшее из чисел, на которые делится каждое из данных чисел. Например, Н. о. д. 45 и 72 есть 9, Н. о. д. 60, 84, 96 и 120 есть 12. Н. о. д. пользуются при сокращении дробей: наибольшее число, на которое могут быть сокращены числитель и знаменатель дроби, -- их Н. о. д. Если известны разложения заданных чисел на простые множители, то для получения Н. о. д. этих чисел нужно составить произведение тех множителей, которые входят одновременно во все разложения, взяв каждый наименьшее число раз, какое он встречается.

Так, 60 = 2Ч2Ч3Ч5, 72 = 2Ч2Ч2Ч3Ч3 и 252 = 2Ч2Ч3Ч3Ч7; поэтому Н. о. д. 60, 72 и 252 есть 2Ч2ЧЗ = 12. Общим приёмом отыскания Н. о. д. двух чисел является способ последовательного деления, указанный ещё в 3 в. до н. э. Евклидом (Евклида алгоритм). Он заключается в том, что большее из двух данных чисел делят на меньшее, затем меньшее -- на остаток от первого деления, остаток от первого деления -- на остаток от второго деления и т.д., до тех пор, пока не дойдут до остатка, равного нулю. Последний, отличный от нуля, остаток и будет Н. о. д. данных чисел. Например, чтобы найти Н. о. д. 3542 и 2464, выполняют последовательные деления: 3542 = 2464Ч1 + 1078, 2464 = 1078Ч2 + 308, 1078 = 308Ч3 + 154, 308 = 154Ч2. В остатке при последнем делении -- нуль; следовательно, Н. о. д. 3542 и 2464 равен предпоследнему остатку, то есть 154. Если Н. о. д. двух чисел равен единице, то эти числа называют взаимно простыми. Н. о. д. d двух чисел а и b и наименьшее общее кратное m этих чисел связаны соотношением dm = ab.

Понятие Н. о. д. применимо не только к числам. Так, например, Н. о. д. двух или нескольких многочленов есть многочлен наивысшей степени, на который делится каждый из данных. Для нахождения Н. о. д. многочленов применяются приёмы, совершенно аналогичные указанным выше для чисел (в частности, алгоритм Евклида).

Простые и составные числа

Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами.

Простых чисел - бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Десятимчная дробь -- способ представления действительных чисел в виде где -- знак дроби: либо + , либо - ,

, -- десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (российский стандарт)[1],dk -- десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) -- может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Примеры:123,45 (конечная десятичная дробь)

Представление числа р в виде бесконечной десятичной дроби: 3,1415926535897...Значением десятичной дроби является действительное число равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

1. Модуль действительного числа и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо ввести понятие модуля для любого действительного числа.

Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х.

Короче это записывают так

Например

На практике используют различные свойства модулей, например

1. |а| 0.

2.|аb| =|a| |b|.

Геометрический смысл модуля действительного числа

Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели -- числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через (a, b) расстояние между точками а и b ( -- буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если

b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b

Все три случая охватываются одной формулой

Пример 1. Решить уравнения:

а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - I = 0.

Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это -- точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет два корня: - 1 и 5.

б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (-- 3,2) | = 2 и далее (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это -- точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2.

логарифм число корень степень формула



в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это -- точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'.

г) Для уравнения

|х - | = 0 можно обойтись без геометрическои иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - = 0, т. е. х = .

Пример 2. Решить уравнения:

а) |2х - 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2.

Решение. а) Имеем

|2x - 6| = |2(x -3)| =|2|.| = 2|x -3|

Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду

2|х - 3| = 8, откуда получаем | х - 3| = 4.

Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это -- точки - 1 и 7 (рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7.

б) Имеем



Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду

Переведем аналитическую модель

на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию

Значит, они удалены от точки , на расстояние, равное 2.

в) Для уравнения | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой -- отрицательное число.

Пример 3. Построить график функции у = |х + 2 |.



Решение. График этой функции получается из графика функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111).



Степень с рациональным показателем

Степенью числа а > 0 с рациональным показателем , где m - целое число, а n - натуральное (n > 1), называется число 

Итак:

Например

Степень числа 0 определена только для положительных показателей;

по определению 0^r = 0 , для любого r > 0

Замечания

1. Из определения степени с рациональным показателем следует, что для любого положительного а и любого рационального r число a^r положительно.

2. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку для любого натурального k. Значение а^r также не зависит от формы записи рационального числа r.

3. При а < 0 рациональная степень числа а не определяется.

Для степеней с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (при условии, что основание степени будет положительным).

Арифметический корень

Арифметический корень n-ой степени (n > 0) из числа a -- это такое число b, что bⁿ = a. В поле действительных чисел корень может иметь до двух решений или ни одного, если это корень чётной степени из отрицательного числа. В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. Обозначается символом .

Арифметический корень 2-ой степени называется квадратным корнем^[1] и может записываться без указания степени: .

Арифметический корень 3-ей степени называется кубическим корнем^[2].

§

§

§

§

§

§

§

Дробная степень числа (1+x), где |x|<1, может быть разложена в ряд Тейлора по формуле:

Формулы и свойства логарифмов

Логарифмы

Логарифм числа b по основанию a (logab) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (Логарифм существует только у положительных чисел).

Обозначение: logab.

logab = x, ax = b.

Логарифм числа b по основанию a - logab (a > 0, a ? 1, b > 0)

Десятичный логарифм - lg b (Логарифм по основанию 10, а = 10).

Натуральный логарифм - ln b (Логарифм по основанию e, а = e).

1° Основное логарифмическое тождество - alogab = b;

2° loga1 = 0;

3° logaa = 1;

4° loga(bc) = logab + logac;

5° loga(b/c) = logab - logac;

6° loga(1/c) = loga1 - logac = - logac;

7° loga(bc) = c logab;

8° log(ac)b = (1/c) logab;

9° Формула перехода к новому основанию - logab = (logcb)/(logca);

10° logab = 1/logba;

Переход от выражения к логарифму называется логарифмированием этого выражения. Переход от логарифма к подлогарифмическому выражению называется потенциированием. В математике преимущественно используют натуральные логарифмы. Свойства и формулы логарифмов незаменимы при решении логарифмических уравнений и функций, упрощении примеров, также они пригодятся при решении интегралов и нахождении производной от логарифмов.

Если после изучения данного теоретического материала (Формулы и свойства логарифмов) у Вас возникли проблемы при решении задач на данную тему или появились вопросы образовательного характера, то Вы всегда можете задать их на нашем форуме.

Одночлены и многочлены

Одночлен. Коэффициент. Числовой множитель. Подобные одночлены.

Степень одночлена. Сложение одночленов. Приведение подобных членов.

Вынесение за скобки. Умножение одночленов. Деление одночленов.

Многочлен. Степень многочлена. Умножение сумм и многочленов.

Раскрытие скобок.

Одночлен - это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы. Например, 3 a 2 b 4 , b d 3 , - 17 a b c - одночлены. Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.

Степень одночлена - это сумма показателей степеней всех его букв.

Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:

a x 3 y 2 - 5 b 3 x 3 y 2 + c 5 x 3 y 2 = ( a - 5 b 3 + c 5 ) x 3 y 2 .

Эта операция называется приведением подобных членов. Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки.

Умножение одночленов. Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.

Пример:

5 a x 3 z 8 ( - 7 a 3 x 3 y 2 ) = - 35 a 4 x 6 y 2 z 8 .

Деление одночленов. Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

Пример:

35 a 4 x 3 z 9 : 7 a x 2 z 6 = 5 a 3 x z 3 .

Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение:

( p+ q+ r ) a = pa+ qa+ ra - раскрытие скобок.

Вместо букв p, q, r, a может быть взято любое выражение.

Пример:

( x+ y+ z )( a+ b ) = x( a+ b ) + y( a+ b ) + z( a+ b ) = xa + xb + ya + yb + za + zb .

Произведение сумм равно сумме всех возможных произведений каждого слагаемого одной суммы на каждое слагаемое другой суммы.

Многочлен одной переменной

Ключевые слова: квадратный трехчлен, многочлен первой степени, многочлен второй степени. многочлен третьей степени, многочлен n -ной степени.

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Мы рассмотрим многочлены одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Многочлен ax + b , где a=0, a, b - числа, x - переменная, называется многочленом первой степени .

Многочлен ax2+bx+c, где a=0, a , b , c - числа, x - переменная, называется многочленом второй степени ( квадратным трёхчленом , квадратичной функцией ).

Многочлен ax3+bx2+cx+d, где a=0, a , b , c , d - числа, x - переменная, называется многочленом третьей степени.

Вообще, многочлен P n ( x ) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + ... + a 1 x + a 0 , где a=0, akk=0123n - числа, x - переменная, называется многочленом n -ной степени .

Традиционно an называется старшим коэффициентом , а a0 - свободным членом многочлена.

Действительное число a называется корнем многочлена P n ( x ), если P n ( a ) = 0.

Корень многочлена первой степени легко угадывается: x=?ab. В самом деле: a(?ab)+b=?b+b=0.

Корни квадратного трехчлена можно найти по формулам x1=2a?b+Dx2=2a?b?D , выражение D = b2- 4 ac называется дискриминантом квадратного трехчлена , причем только при D > 0 квадратный техчлен имеет корни.

Тогда последнее разложение квадратного трехчлена имеет вид: ax 2 + bx + c = a ( x - x 1 )( x - x 2 ).

Отсюда непосредственно видно, что числа x 1 и x 2 являются корнями квадратного трехчлена ax 2 + bx + c .

Полученная формула ввиду своей важности называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители.

Размещено на Allbest.ru