Статистический ряд распределения предприятий

Размещено на http://www.allbest.ru/

Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб.

распределение интервал ошибка выборка

По исходным данным:

Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики ряда распределения.

2. Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую, среднеквадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации. Сделайте выводы.

3. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие и границы, в которых будет находиться сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.

4. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для доли предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение

Интервал - количественное значение, определяющее одну группу от другой, т.е. он очерчивает количественные границы групп. Как правило, величина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе. Для группировок с равными интервалами величина интервала i=(X max-X min) n, где X max, X min - наибольшее и наименьшее значения признака, n - число групп. В нашем случае n = 5, признаком является сумма прибыли X max = 19,6; X min = 12,1 млн. руб.; i=(19,6-12,1)/5=1,5. Поскольку исходные данные у нас имеют один знак после запятой, то округлять величину интервала мы не будем. Вычислим границы групп:

В результате получим следующие группы предприятий по сумме прибылей, млн. руб.:

Статистический ряд распределения представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определённому варьирующему признаку. Он характеризует состав изучаемого явления, позволяет судить об однородности совокупности, закономерности распределения и границах варьирования единиц совокупности.

В нашем случае, статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли является интервальным вариационным.

Для упорядочения первичного ряда произведём его ранжирование, т.е. расположим все варианты в возрастающем порядке:<12,1; 12,8; 13,0>; <13,8; 14,2; 14,6; 14,8; 15,0>; <15.5; 15,7; 15,8; 15,9; 16,0; 16,1; 16,2; 16,3; 16,4; 16,4; 16,5; 16,5>; <16,7; 16,7; 17,2; 17,6; 17,9; 18,0>; <18,2; 18,5; 19,1; 19,6>

Как мы видим, в каждом интервале частота повторения вариантов (f) различна. Оформим ряд распределения в виде таблицы:

Для наглядности изобразим полученный статистический ряд распределения графически:

В нашем случае значения осредняемого признака заданы в виде интервалов, при расчёте средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимаем середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд:

По формуле подсчитаем среднюю арифметическую взвешенную, млн. руб.:

т.е. средняя прибыль предприятий 16 млн. руб., но средняя величина даёт обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для его познания.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсии, в нашем случае взвешенная дисперсия для вариационного ряда:

Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия.

Среднеквадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, для вариационного ряда формула:

Среднеквадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Чем меньше значение дисперсии и среднеквадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет средняя величина.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Для этого используют относительный показатель вариации - коэффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической:

Определим коэффициент вариации, %:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. В нашем случае V10.7%, следовательно совокупность количественно однородна.

Совокупность, из которой производится отбор, называется генеральной, и все её обобщающие показатели - генеральными. Совокупность отобранных единиц именуют выборочной совокупностью, и все её обобщающие показатели - выборочными.

При расчёте ошибки выборки для средней суммы прибыли используем формулу:

n/N=0.1, или 10% по условию;

x - генеральная средняя;

x - выборочная средняя;

S - выборочная дисперсия того же признака.

Но в теории вероятности доказано, что генеральная дисперсия выражается через выборную следующим соотношением:

Поскольку у нас случай малой выборки (объём выборки не превышает 30), то необходимо учитывать коэффициент n / (n-1):

в нашем случае:

Следовательно, подставим в формулу:

Предельная ошибка выборки для средней при бесповторном отборе:

t - нормированное отклонение («коэффициент доверия»), зависит от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки (P = 0.954).

На основании теоремы Чебышева (Ляпунова) с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объёме выборки и ограниченной генеральной дисперсии выборочные обобщающие показатели (средняя, доля) будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих генеральных показателей. Применительно к нахождению среднего значения признака эта теорема может быть записана так:

где

По таблице P = (t) =0.954, следовательно t=2.000

При t=2 с вероятностью 0.954 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не выйдет за пределы 2.

Предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы для средней:

Выборочная средняя равна 16. Вычислим границы:

С вероятностью 0.954 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности следует ожидать в пределах от 15,82 до 16,18 млн. руб.

Предельная относительная ошибка выборки, %:

Выборочная доля (w) рассчитывается по формуле:

Известно n =30, m - число единиц, обладающих изучаемым признаком, в нашем случае предприятия со средней прибылью свыше 16.6 млн. руб., по представленной ранее таблице легко подсчитать количество таких предприятий:

16.6 - 18.1 (млн. руб.): 6 предприятий;

18.1 - 19.6 (млн. руб.): 4 предприятия,

т.е. 10 предприятий (m =10).

или 10% по условию.

По данным таблицы (t) для вероятности 0.954 находим t =2 (стр. 111 уч.).

Предельную ошибку выборки для доли определяем по формуле бесповторного обора (механическая выборка всегда является бесповторной):

Предельная относительная ошибка выборки, %:

Генеральная доля (p) рассчитывается по формуле:

Границы, в которых будет находиться генеральная доля исчисляем, исходя из двойного неравенства:

С вероятностью 0.954 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью свыше 16.6 млн. руб. будет находиться в пределах от 17% до 49.6%.

Размещено на Allbest.ru