Условные законы распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Условные законы распределения непрерывных случайных величин, имеющих непрерывное совместное распределение

Пусть есть плотность совместного распределения двумерной случайной величины и -плотности составляющих и соответственно.

Определение 1. Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что , называется функция

.

Определение 2. Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что , называется функция

.

Пусть , Тогда:

,

откуда

Поэтому и тем самым . Аналогично, .

Таким образом,

и

есть плотности условных функций распределения и , соответственно.

Определение 3. Функцию называют условной плотностью составляющей при условии, что , а функцию -условной плотностью составляющей при условии, что .

Из этих определений получаем:

т.е. плотность совместного распределения есть плотность распределения одной составляющей на условную плотность другой составляющей.

Определение 4. Условное математическое ожидание случайной величины при условии, что , есть

Условное математическое ожидание случайной величины при условии, что , есть

Определение 5. Функция переменного называется регрессией по , а ее график -линией (кривой) регрессии по . Функция переменного называется регрессией по , а ее график-линией (кривой) регрессии по .

Если случайные величины и независимы, то линия регрессии по параллельна оси а линия регрессии по -оси

Определение 6. Условная дисперсия случайной величины при условии, что , есть

.

Условная дисперсия случайной величины при условии, что , есть

.

2. Зависимые и независимые случайные величины

Пусть и непрерывные случайные величины, допускающие непрерывное совместное распределение с плотностью Мы говорим, что случайные величины и независимы, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая:

; (1)

(2)

Теорема 1. 1) Случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда

(3)

2) Случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда

(4)

Доказательство. Допустим, что и независимы. Тогда имеет место равенство (1). Это означает, что

.

Дифференцируя по получаем, что

, или

Таким образом, необходимость (4) доказана. Но тогда

Таким образом, необходимость (3) доказана.

Обратно, пусть имеет место (3). Тогда

Дифференцируя последовательно по и , получаем (4) , откуда

, (5)

и тем самым Таким образом, мы доказали достаточность как (3), так и (4).

Замечание 1. Как следует из доказательства, (1) влечет за собой (2) , а (2)-(1).

3. Корреляционный момент и коэффициент корреляции

Пусть двумерная случайная величина, составляющие которой и - случайные величины, имеющие математическое ожидание и дисперсию. Положим

Определение 1. Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

.

Для вычисления дискретных величин пользуются формулой

а для непрерывных случайных величин-формулой

Таким образом, для вычисления нужно знать совместное распределение и .

Свойства ковариации

1) .

2) .

3)

4).

Действительно,

5) Если случайные величины и независимы, то .

6)

Действительно,

7)

Действительно, положим Тогда

Следовательно, или

Ковариация величина размерная. Ее размерность определяется произведением размерностей случайных величин и , т.е. величина зависит от того, в каких единицах были измерены и . Для того, чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику- коэффициент корреляции , который по определению есть

Из 7) следует, что

4. Коррелированность и зависимость случайных величин

Определение 1. Случайные величины и называются коррелированными, если их корреляционный момент (или, что тоже самое, коэффициент корреляции) отличен от нуля; в противном случае, т.е. если случайные величины называются некоррелированными.

Предложение 1. Две коррелированные случайные величины зависимы.

Замечание 1. Обратное не верно. Действительно, пусть - дискретная случайная величина, ряд распределения которой есть

Тогда закон распределения имеет вид

Очевидно, Поэтому случайные величины и зависимы. Вместе с тем и тем самым , т.е. случайные величины и не коррелированны.

5. Нормальный закон распределения на плоскости

На практике часто встречаются двумерные случайные величины, совместное распределение которых нормально.

Определение 1. Случайная величина называется распределенной по двумерному нормальному закону, если плотность совместного распределения есть

(1)

Таким образом, нормальный закон распределения на плоскости определяется пятью параметрами: Вероятностный смысл этих параметров раскрыт в следующей теореме.

Теорема 1. Составляющая имеет нормальное распределение с параметрами и . Составляющая имеем нормальное распределение с параметрами и . Коэффициент корреляции составляющих и равен .

Теорема 2. Составляющие и независимы тогда и только тогда, когда они не коррелированны.

6. Линейная среднеквадратическая регрессия. Прямые линии средне квадратической регрессии

Пусть и две случайные величины, линейная функция случайного аргумента

Определение 1. Функция называется наилучшим приближением в смысле метода наименьших квадратов, если принимает наименьшее значение.

Другое название наилучшего приближения в смысле метода наименьших квадратов-линейная среднеквадратическая регрессия на

Теорема 1. Линейная среднеквадратическая регрессия на имеет вид

При этом

Определение 2. Коэффициент называют коэффициентом регрессии на , а прямую прямой среднеквадратической регрессия на .

Если то и тем самым Чем ближе к 1, тем меньше и тем самым меньше

Аналогичным образом можно ввести понятие линейной среднеквадратической регрессии на коэффициента регрессии на и прямой среднеквадратической регрессии на . Уравнение прямой среднеквадратической регрессии на имеет вид

Обе прямые среднеквадратической регрессии проходят через точку которая называется центром совместного распределения случайных величин

и При обе прямые среднеквадратической регрессии совпадают.

распределение корреляция ковариация

7. Линейная корреляционная зависимость

Определение 1. Если обе кривые регрессии на и на линейны, то говорят, что и связаны линейной корреляционной зависимостью.

Теорема 1. Если двумерная случайная величина распределена нормально, то и связаны линейной корреляционной зависимостью. При этом линии регрессии совпадают с прямыми среднеквадратической регрессии.

Рекомендуемая литература

1. Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

2. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004.

Размещено на Allbest.ru