Системы линейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

1) пользуясь правилом Крамера;

2) средствами матричного исчисления.

9.  .

1)

-

=



Ответ:

2)Перепишем систему в виде матричного уравнения: где

Решение матричного уравнения имеет вид:

Имеем

Вычислим алгебраические дополнения этого определителя:

Тогдаотсюда



Ответ:

Задача 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

19.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду так, чтобы ниже главной диагонали получились все нули:

Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы,,значит, данная система совместна. Так как ранг матрицы меньше числа неизвестных, система имеет множество решений. Запишем систему по последней матрице и решим ее (снизу вверх):



пустьтогда

Ответ:

Задача 3

Даны три точки. Найти: 1) длину отрезка; 2) уравнение прямой; 3) уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно прямой ; 4) уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно прямой; 5) угол между прямыми и; 6) площадь треугольника, образованного осями координат и прямой; 7) расстояние от точки до прямой.

29.

Решение.

1) Длину отрезка вычислим по формуле:

Ответ:



Итак, уравнение прямой:

3) Обозначим искомую прямую

уравнение прямой имеет вид:

так как прямая проходит через точку ее координаты удовлетворяют уравнению. Найдем :

4) Обозначим искомую прямую

уравнение прямой имеет вид:

так как прямая проходит через точку ее координаты удовлетворяют уравнению. Найдем :



уравнение:

5) Уравнение прямой

Ответ:

6) Сделаем чертеж:

Найдем абсциссу точки пересечения прямой с осью абсцисс:

Ответ:

7) Расстояние от точки можно найти по формуле:



Ответ:

Задача 4

Даны координаты вершин пирамиды. Найти: 1) длину ребра; 2) угол между ребрами и ; 3) уравнение плоскости ; 4) угол между ребром и гранью ; 5) площадь грани ; 6) объём пирамиды; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 8) уравнение прямой ; 9) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно ребру; 10) уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно ребру ; 11) расстояние от точки до грани.

39.

Решение.

1)

2)

Уравнение

уравнение



Ответ:

3) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид:

Уравнение плоскости :

4) Уравнение

Ответ:

5) Формула площади треугольника:

=

Ответ:

6)Формула объема пирамиды:

Ответ:

7)

Запишем уравнение любой прямой, проходящей через точку :

координаты направляющего вектора прямой , можно заменить координатами нормального вектора плоскости :. Тогда уравнения прямой

:

8) Уравнение

9)

За направляющий вектор прямой можно взять направляющий вектор прямой



:

Уравнение прямой :

10) Уравнение плоскости, перпендикулярной прямой , имеет вид:

Координаты нормального вектора плоскости, перпендикулярной прямой , можно заменить координатами направляющего вектора данной прямой , тогда получим: -

2или

11) Уравнение плоскости :точка

Расстояние от точки до плоскости найдем по формуле:

Ответ:

Задача 5

линейный уравнение гаусс алгебраический

Вычислить пределы:



49. а)

Решение.

неопределенность, ее можно раскрыть с помощью правила Лопиталя:

Ответ: 3.

б)

неопределенность, раскроем ее.

Преобразуем данное выражение:

Ответ:

Задача 6

Найти производные функций:

59. а) .

Решение.

Воспользуемся формулами дифференцирования произведения функций и сложной функции:



Ответ:

б)

Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции:

Ответ:

Задача 8

Найти частные производные и и полный дифференциал функции:

Найдем частные производные данной функции:



Полный дифференциал запишем по формуле:

Задача 9

Найти наибольшее и наименьшее значения функции: в области, ограниченной линиямии

Решение.

Сделаем чертеж заданной области:

На участке



На участке

На граничных точках:

Итак, наибольшее значение данной функции в данной области , наименьшее -

Задача 11

Вычислить определенный интеграл:

Решение.

Ответ:



Задача 13

Решить дифференциальное уравнение первого порядка:

Решение.

Разделим обе части данного уравнения на (это можно сделать, иначе данное уравнение не будет дифференциальным):

Пустьподставим в уравнение:

разделим переменные:

Задача 16

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:



Решение.

Дан ряд

ряд расходится.

Рассмотрим ряд

- знакопеременный ряд.

Составим ряд из модулей

1),

2)по признаку Лейбница, ряд из модулей сходится, значит, и ряд

абсолютно сходится.

Задача 17

Пусть  - координаты произвольного вектора линейного пространства, заданные в некотором базисе. Известен закон изменения координат вектора под действием преобразования .

1. Доказать, что  - линейное преобразование.

2. Составить матрицу линейного преобразования  в том же базисе, в котором заданы координаты вектора . 3. Найти образ вектора  и прообраз вектора  под действием преобразования . 4. Найти собственные векторы и собственные значения преобразования .



; ; .

Решение.

1) Докажем, что преобразование  линейное. Рассмотрим векторы линейного пространства  и , их образы ,  и координатные столбцы этих векторов в том же базисе:

; ; ; .

Должно выполняться условие .

Вектор + имеет столбец координат:

+=.

Применим преобразование  и получим:

==

=+= +.



Пусть далее k - произвольное действительное число. Рассмотрим образ вектора k. Координатный столбец  при преобразовании  переходит в столбец

=.

Таким образом, выполняется и условие =. Доказано, что  -линейное преобразование.

2) Составим матрицу A , задающую линейное преобразование . Из правила умножения матриц следует, что 

==.

Таким образом, матрица A имеет вид: A=.

1. Найдем образ вектора . Для этого умножим матрицу A на столбец его координат:

==.



Итак, образ вектора  имеет координаты .

Найдем прообраз  вектора . Пусть вектор  имеет координаты . Тогда

=; получаем систему

Решим систему методом Гаусса.

;

Система совместна и имеет единственное решение.

 

Таким образом, прообраз вектора  имеет координаты .

4) Найдём собственные векторы и собственные значения линейного преобразования .



A=- матрица линейного преобразования .

Составим характеристический многочлен:

=

.

Запишем характеристическое уравнение и найдём его корни.

=0. Тогда, =3; - собственное значение.

Для собственного значения найдём собственные векторы.

=3.

, или

Ненулевые решения этой системы являются собственными векторами, принадлежащими собственному значению =3.

 



Размерность подпространства решений  решение.

- свободная переменная; , - зависимые переменные.

Из системы: =0, =0. Общее решение: ; =С; .

Полагая, С=1, получим собственный вектор  для =3.

Ответ: 1)преобразование  - линейное;

2) A=- матрица линейного преобразования ;

3) образ вектора  : = ; 

прообраз вектора :=; 

4) =3, .

Размещено на Allbest.ru