Условия Фукса и теорема Пенлеве

Размещено на http://www.allbest.ru/

Условия Фукса

Интегралы уравнения вида

(1)

не имеют критических подвижных точек.

Если в раскрытом виде уравнение (1)

(2)

и если содержит w, то интегралы уравнения (2) имеют подвижные критические точки.

Уравнения с неподвижными критическими точками рассматриваемого типа имеют вид

,

причем все суть многочлены относительно w степени не выше 2k.

Переходим теперь к изучению разложения. Пусть разложение имеет вид

+…, (3)

где , причем здесь . Сделаем замену , откуда . Подставляя в уравнение (3), получим для W уравнение

. (4)

рассмотрим сначала случай, когда не равно тождественно нулю. В этом случае для интеграла уравнения (4), обращающегося в нуль при , имеем следующее разложение:

+…, (5)

причем , если .

Подставляя разложение (5) в (4) и затем в уравнение (3), получим

причем степень дальнейших членов разложения выше . Отсюда, интегрируя, получим, что если k не делится без остатка на m, то w имеет в критическую алгебраическую точку.

Итак, для отсутствия критических подвижных точек необходимо, чтобы было целое число; подобным же образом докажем, что и все следующие члены правой части уравнения (3) содержат в степенях с целыми показателями.

В случае разложений вида (3) с дробными показателями у при , не равном тождественно нулю, интегралы уравнения (1) имеют подвижные критические точки.

Следовательно, для того, чтобы уравнение (1) было уравнением с неподвижными критическими точками, необходимо, чтобы

. (6)

Но есть результат исключения w' из уравнений

то есть функция, определяемая из дискриминантного уравнения D(w,z)=0.

Уравнение (6) показывает, что в рассматриваемом случае удовлетворяет уравнению (1).

Интегралы уравнения, которые получаются из дискриминантного уравнения, как известно, называются особыми интегралами. Отсюда получаем следующий важный результат.

Если уравнение вида (1) есть уравнение с неподвижными критическими точками, то все решения дискриминантного уравнения суть особые интегралы.

Если , то уравнение (4) принимает вид

(7)

Если , то уравнение (7), а также и уравнение (3) имеют голоморфный интеграл, определяемый начальным значением при .

Рассмотрим случай, когда . В этом случае уравнение (7) можно написать в виде

(8)

фукса пенлеве теорема

интеграл уравнения (13), обращающийся в нуль при , имеет вид

(9)

причем .

Отсюда получим для правой части уравнения (3) разложение вида

, (10)

причем коэффициенты зависят от и при произвольном отличны от нуля.

Интегрируя уравнение (10), получим, что w имеет в критическую алгебраическую точку. Итак, для отсутствия критических подвижных точек необходимо, чтобы .

Сопоставляя вместе все найденные выше результаты, получим следующую теорему, доказанную впервые Фуксом.

Для того, чтобы уравнение вида

,

где (w,z) - многочлены относительно w, не имело критических подвижных точек, должны выполняться следующие условия:

1) (w,z) не должно содержать w и является, следовательно, функцией только от z; таким образом, деля обе части уравнения на , можно его всегда привести к такому виду, что ;

2) степень относительно w не должна превосходить 2k;

3) решения дискриминантного уравнения D(w,z)=0 должны являться интегралами данного уравнения;

4) если разложение w' в области решения дискриминантного уравнения имеет вид

то должно выполняться неравенство .

Заметим, что теорема Фукса дает условия, необходимые и достаточные для отсутствия в интегралах критических алгебраических особых точек.

Теорема Пенлеве

Все приведенные выше исследования велись в предположении, что мы изучаем поведение интеграла в области изменения z, при котором w(z) принимает вполне определенные значения. Следует отметить, что полученные в этом предположении условия Фукса недостаточны в случае присутствия подвижных существенно особых точек интеграла.

При наличии таких точек у интегралов рассматриваемых уравнений условия Фукса были бы в этом случае недостаточны для отсутствия критических подвижных точек, так как могли бы существовать подвижные критические существенно особые точки.

Однако Пенлеве удалось доказать теорему о том, что интегралы рассматриваемых уравнений не имеют подвижных существенно особых точек. Тем самым была доказана достаточность условий Фукса для всей области существования интегралов уравнений этого типа.

Теорема Пенлеве гласит: интегралы уравнения

, (1)

где P - многочлен относительно и и аналитическая функция от z, не имеют подвижных существенно особых точек.

Доказательство этой теоремы представляет незначительное изменение доказательства для более частного случая.

Отметим сначала все неподвижные точки, которые могут быть особыми. Сюда отнесем следующие точки.

1) Особые точки аналитических функций переменного z - коэффициентов при степенях и в уравнении (1). Множество этих точек назовем .

2) Напишем уравнение (1) более подробно в виде

.

Может случиться, что найдутся такие значения w и z, которые одновременно обращают в нуль все выражения Множество соответствующих значений z назовем .

3) Пусть, далее, ,…, - решения дискриминантного уравнения .

Предшествующие рассуждения предполагали, что все эти решения различны. Поэтому выделим все такие точки плоскости (z), для которых некоторые значения из равны друг другу. Множество соответствующих значений z назовем .

4) Наконец, сделав преобразование , отметим все точки z, которые войдут в и или для преобразованного уравнения и не входят в первоначальные множества , , . Множество соответствующих точек назовем . Точки множества M, состоящего из , , , могут быть существенно особыми точками интегралов. Обозначим точки множества M через о. Очевидно, о - неподвижные особые точки интегралов.

Рассмотрим теперь точку , отличную от точек множества M, и будем приближаться к по некоторому пути L. Докажем, что при этом интеграл w(z) уравнения (1) будет стремиться к некоторому вполне определенному значению

Действительно, обозначим решения уравнения через а решения уравнения через и пусть при функции и принимают значения построим на плоскости (w) точки и опишем из них, как из центров, окружности малого радиуса . Кроме того, на плоскости (w) из точки w=0, как из центра опишем окружность Г с достаточно большим радиусом R.

Пусть S - часть плоскости (w), лежащая внутри Г и вне всех .

Если z лежит достаточно близко к , например, если , то соответствующие значения мало отличаются от , так что можно выбрать радиус r настолько малым, что все будут лежать внутри окружностей , концентрических с окружностями , радиуса . Опишем еще окружность , концентрическую с Г, радиуса .

Обозначим через область, ограниченную окружностями и .

Различные ветви , определяемые уравнением (1), голоморфны, пока z остается внутри окружности и w лежат в . Пусть - наибольший из модулей функции , пока z и w изменяются в указанных областях.

Если взять значения внутри окружности , то есть так, чтобы и чтобы лежало в области S, то интеграл уравнения, равный при , по теореме Коши голоморфен внутри окружности , где .

Рассмотрим теперь какой-нибудь интеграл w(z) уравнения (1). Если при подходе z к интеграл w(z) не стремится ни к одному из значений , ни к , то сколь угодно близко к найдутся такие значения w(z), которые лежат внутри области S.

Если взять таким образом, чтобы , то соответствующий интеграл будет голоморфен внутри окружности и, следовательно, в точке .

Таким образом, при подходе z к интеграл уравнения или стремится к , или стремится к бесконечности, или голоморфен в . В первых двух случаях, как показано выше, интеграл имеет в или алгебраическую критическую точку, или полюс.

Итак, теорема Пенлеве доказана. Из этой теоремы сейчас же следует, что выведенные выше условия Фукса для отсутствия в интегралах подвижных критических точек достаточны, так как там были разобраны все случаи, когда при подходе z к некоторому значению интеграл w(z) стремится к некоторому определенному значению .

Размещено на Allbest.ru