Размещено на http://www.allbest.ru/

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии

Пусть имеется нормально распределенная случайная величина ,, определенная на множестве объектов некоторой генеральной совокупности. Известно, что D =  ². Математическое ожидание M неизвестно. Допустим, что имеются основания предполагать, что M = a, где a - некоторое число (такими основаниями могут быть ограниченные сведения об объектах генеральной совокупности, опыт исследования подобных совокупностей и т. д.). Будем считать также, что имеется другая информация, указывающая на то, что M = a₁, где a₁ > a.

Выдвигаем нулевую гипотезу H₀:M=a; при конкурирующей гипотезе H₁:M=a₁

Делаем выборку объема n: x₁, x₂,..., x_n . В основе проверки лежит тот факт, что случайная величина (выборочная средняя) распределена по нормальному закону с дисперсией  ²/n и математическим ожиданием, равным a в случае справедливости H₀, и равным a₁ в случае справедливости H₁.

Очевидно, что если величина оказывается достаточно малой, то это дает основание предпочесть гипотезу H₀ гипотезе H₁. При достаточно большом значении более вероятна справедливость гипотезы H₁. Задачу можно было бы поставить так: требуется найти некоторое критическое число, которое разбивало бы все возможные значения выборочной средней (в условиях данной задачи это все действительные числа) на два полубесконечных промежутка. При попадании в левый промежуток следовало бы принимать гипотезу H₀, а при попадании в правый промежуток предпочтение следовало бы оказать гипотезе H₁. Однако на самом деле поступают несколько иначе.

В качестве статистического критерия выбирается случайная величина

,

распределенная по нормальному закону, причем Mz = 0 и Dz = 1 (это следует из свойств математического ожидания и дисперсии) в случае справедливости гипотезы H₀. Если справедлива гипотеза H₁, то

Mz = a* = ( a₁ - a )/, Dz = 1.

На рисунке 1. изображены графики p₀(z) и p₁(z) - функций плотности распределения случайной величины z при справедливости гипотез H₀ и H₁, соответственно.

Если величина , полученная из выборочных данных, относительно велика, то и величина z велика, что является свидетельством в пользу гипотезы H₁. Относительно малые значения приводят к малым значениям z, что свидетельствует в пользу гипотезы H₀. Отсюда следует, что должна быть выбрана правосторонняя критическая область. По принятому уровню значимости (например = 0,05), используя то, что случайная величина z распределена по нормальному закону, определим значение K_кр из формулы

= P(K_кр < z <) = () - (K_кр) = 0,5 - (K_кр).

Отсюда, Ф(K_кр)=(1-2)/ и осталось воспользоваться таблицей функции Лапласа для нахождения числа K_кр.

Если величина z, полученная при выборочном значении , попадает в область принятия гипотезы (z < K_кр), то гипотеза H₀ принимается (делается вывод, что выборочные данные не противоречат гипотезе H₀). Если величина z попадает в критическую область, то гипотеза H₀ отвергается.

В данной задаче может быть подсчитана мощность критерия:

Мощность критерия тем больше, чем больше разность a₁- a.

Если в задаче поставить другое условие: H₀: M = a; H₁: M = a₁ , a₁ < a,то сохранив смысл всех рассуждений, здесь придется рассматривать левостороннюю критическую область, как изображено на рисунке 2. Здесь, как и в предыдущем случае, a*=(a₁-a)/, а величина K_кр определяется из формулы

= P(- < z < K_кр)=( K_кр) - (-) = ( K_кр) + 1/2.

Используя формулу -( K_кр) = ( -K_кр), получаем: ( -K_кр) = .

Отметим, что по смыслу задачи здесь K_кр - отрицательное число.

Значения z, вычисленные по выборочным данным, превышающие K_кр, согласуются с гипотезой H₀. Если величина z попадает в критическую область (z<K_кр), то гипотезу H₀ следует отвергнуть, считая предпочтительной гипотезу H₁.

Рассмотрим теперь такую задачу:

H₀: M = a; H₁: M a.

В данном случае большие отклонения величины z от нуля в положительную или отрицательную сторону должны приводить к заключению о ложности гипотезы H₀, то есть здесь следует рассматривать двустороннюю критическую область, как изображено на рисунке 3. Критическое значение K_кр определяется с помощью соотношения

P(K_кр<z<K_кр) =1-=(K_кр)-(-K_кр)=2(K_кр).

Из этого соотношения следует: (K_кр)=

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий.

Гипотезы о дисперсии играют очень важную роль в экономико-математическом моделировании, так как величина рассеяния экспериментальных выборочных данных относительно рассчитанных теоретических значений соответствующих параметров, характеризующаяся дисперсией, дает возможность судить о пригодности (адекватности) теории или модели, на основании которой строится теория.

Пусть нормально распределенная случайная величина определена на некотором множестве, образующем генеральную совокупность, а нормально распределенная случайная величина определена на другом множестве, которое тоже составляет генеральную совокупность. Из обеих совокупностей делаются выборки: из первой - объема n₁, а из второй - объема n₂ (отметим, что объем выборки не всегда можно определить заранее, как например в случае, если он равен количеству рыб, попавших в сеть). По каждой выборке рассчитывается исправленная выборочная дисперсия: s₁² для выборки из первой совокупности и s₂² для выборки из второй совокупности.

Поставим задачу: с помощью выборочных данных проверить статистическую гипотезу H₀: D = D. В качестве конкурирующей гипотезы будем рассматривать идею, заключающуюся в том, что дисперсия той совокупности, для которой исправленная выборочная дисперсия оказалась наибольшей, больше дисперсии другой совокупности. Критерий берется в следующем виде:

.

Здесь S**- наибольшая из двух оценок s₁² и s₂², а S*- наименьшая из тех же двух оценок. Критерий F распределен по закону Фишера с k₁ и k₂ степенями свободы. Здесь k₁ = n₁-1, k₂ = n₂-1, если S**= s₁²; k₁ = n₂-1, k₂ = n₁-1, если S**= s₂².

В этой задаче естественно рассматривать правостороннюю критическую область, так как достаточно большие выборочные значения критерия F свидетельствуют в пользу конкурирующей гипотезы.

При заданном уровне значимости q (обычно q =0,05 или q =0,01) критическое значение F_кр определяется из таблицы распределения Фишера. В случае F > F_кр гипотеза H₀ отвергается, а в случае F < F_кр - принимается.

Пусть два множества некоторых объектов, обладающих количественным признаком, подвергнуты выборочному контролю. Значения количественного признака есть распределенные по нормальному закону случайные величины, которые мы обозначим ₁ и ₂, соответственно, для первого и для второго множеств. Из первого множества сделана выборка объема n₁=21 и подсчитана исправленная выборочная дисперсия, оказавшаяся равной 0,75. Из второго множества сделана выборка объема n₂=11. Эта выборка дала значение исправленной выборочной дисперсии, равное 0,25. Выдвигаем гипотезу H₀: D₁=D₂. Конкурирующая гипотеза H₁ заключается в том, что D₁>D₂. В данном случае выборочное значение F_в критерия Фишера равно 3. При выбранном уровне значимости q = 0,05 по числам степеней свободы k₁=20, k₂=10 находим по таблице распределения Фишера F_кр=2,77. Так как F_в > F_кр, гипотеза о равенстве дисперсий должна быть отвергнута.

Проверка статистической значимости выборочного коэффициента корреляции

Проверкой статистической значимости выборочной оценки параметра генеральной совокупности называется проверка статистической гипотезы H₀: = 0, при конкурирующей гипотезе H₁: 0. Если гипотеза H₀ отвергается, то оценка считается статистически значимой.

Пусть имеются две случайные величины и , определенные на множестве объектов одной и той же генеральной совокупности, причем обе имеют нормальное распределение. Задача заключается в проверке статистической гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости между случайными величинами и . H₀: = 0; H₁: 0. Здесь - коэффициент линейной корреляции.

Производится выборка объема n и вычисляется выборочный коэффициент корреляции r. За статистический критерий принимается случайная величина

,

которая распределена по закону Стьюдента с n - 2 степенями свободы.

Отметим сначала, что все возможные значения выборочного коэффициента корреляции r лежат в промежутке [-1;1]. Очевидно, что относительно большие отклонения в любую сторону значений t от нуля получаются при относительно больших, то есть близких к 1, значениях модуля r. Близкие к 1 значения модуля r противоречат гипотезе H₀, поэтому здесь естественно рассматривать двустороннюю критическую область для критерия t.

По уровню значимости и по числу степеней свободы n - 2 находим из таблицы распределения Стьюдента значение t_кр. Если модуль выборочного значения критерия t_в превосходит t_кр, то гипотеза H₀ отвергается и выборочный коэффициент корреляции считается статистически значимым. В противном случае, то есть если t_в < t_кр и принимается гипотеза H₀, выборочный коэффициент корреляции считается статистически незначимым.

Размещено на Allbest.ru