Метод Монте-Карло, предельные теоремы, погрешность

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники

Дисциплина

«Основы вычислительной математики»

Контрольная работа

на тему

Метод Монте-Карло, предельные теоремы, погрешность

Выполнил:

магистрант каф. РЭС

Дусь А.В.

Проверил: профессор

каф. ВМиП Синицын А.К.

Минск,

2012

Содержание

• Введение 3
• 1 Предельные теоремы теории вероятностей 5
• 1.1 Центральная предельная теорема 5
• 2 Общая схема метода Монте-Карло 8
• 3 Оценка погрешности метода Монте-Карло 9
• 4 Моделирование систем массового обслуживания и метод Монте-Карло 12
• 5 Вычисление интегралов методом Монте-Карло 15
• 5.1 Решение определенного интеграла методом Монте-Карло 15
• 5.2 Способ усреднения подынтегральной функции 18
• 5.3 Способ, основанный на истолковании интеграла как площади 21
• 5.4 Способ «выделения главной части» 23
• 5.5 Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло 24
• Заключение 28
• Список использованной литературы 29

Введение

теория вероятность погрешность подынтегральная функция

Метод Монте-Карло - это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Датой рождение метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «Метод Монте-Карло» (Н. Метрополис, С. Улам). Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В СССР первые статьи были опубликованы в 1955-56 гг. (В.В. Чавчанидзе, Ю.А. Шрейдер, В.С. Владимиров)

Однако теоретическая основа метода была известна давно. Кроме того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т.е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную - очень трудоёмкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

Название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом, а одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий круг задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. К разделам науки, где всё в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественность получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

В подавляющем большинстве задач, решаемых методами Монте-Карло, вычисляют математические ожидания некоторых случайных величин. Так как чаще всего математические ожидания представляют собой обычные интегралы, в том числе и кратные, то центральное положение в теории методов Монте-Карло занимают методы вычисления интегралов.

1. Предельные теоремы теории вероятностей

В конце XIX века в теории вероятностей возникло направление исследований, которое получило название: предельные теоремы теории вероятностей. В этом направлении, начало которого было положено П.Л.Чебышевым, А.А.Марковым, А.М.Ляпуновым, по сей день ведутся интенсивные исследования. Предельные теоремы теории вероятностей можно разбить на две большие группы.

1. Одна группа теорем составляет «закон больших чисел». Закон больших чисел формулирует условия, при которых совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату почти не зависящему от случая (т.е. практически постоянный результат).

2. Вторая группа теорем связана с выяснением вопроса о распределении сумм большого числа случайных величин. В этих теоремах выясняется, какие законы распределения может иметь сумма случайных величин, если число слагаемых неограниченно увеличивается, и какие условия при этом нужно наложить на сами величины. В частности, центральная предельная теорема посвящена установлению сумм, при которых возникает нормальный закон распределения.

1.1 Центральная предельная теорема

Первый вариант этой теоремы был доказан в 1912 г. А.М.Ляпуновым. В настоящее время имеется несколько формулировок этой теоремы, различающихся условиями, которые накладываются на случайные величины. Приведём простейший вариант центральной предельной теоремы для одинаково распределённых независимых случайных величин.

Пусть последовательность одинаково распределённых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями .

Теорема. Если случайные величины независимы и , то при достаточно большом n закон распределения суммы будет сколь угодно близок к нормальному закону распределения .

Так как в условиях теоремы случайные величины независимы, то

т.е. в условиях теоремы сумма имеет закон распределения близкий к . Так как na и с ростом n, возрастают, то удобнее рассматривать не просто суммы , а нормированные суммы . Такие суммы при имеют закон распределения .

Доказательства теоремы не приведены потому, что оно требует введения многих дополнительных понятий и утверждений. Было потрачено немало усилий, чтобы ослабить условия, налагаемые на случайные величины в центральной предельной теореме. В частности, оказалось, что утверждение теоремы остаётся в силе и для слабо зависимых случайных величин. Как уже отмечалось, существует много вариантов и соответственно формулировок центральной предельной теоремы, но во всех этих вариантах суть условий одна: Если случайная величина может быть представлена в виде суммы большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, каждая из которых мала по сравнению с суммой, то эта сумма имеет закон распределения близкий к нормальному.

Пример 1. Наглядной иллюстрацией действия центральной предельной теоремы является рассеивание снарядов при артиллерийской стрельбе. На траекторию снаряда действует большое количество независимых факторов, влияние каждого из которых невелико. Этими факторами являются отклонения в размере заряда, в размере и весе снаряда, сила и направление ветра на разных высотах, плотность воздушных вихрей, зависящая от температуры и влажности воздуха, и т.д.

В результате отклонение снаряда от цели имеет приблизительно нормальный закон распределения.

Пример 2. Другими широко известным примером может служить ошибка, возникшая при измерениях. Ошибка, как правило, является суммой малых ошибок возникающих из-за действия случайных факторов таких, как температура окружающей среды, состояние наблюдателя, состояние измерительного прибора и т.д.

2. Общая схема метода Монте-Карло

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение a некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:

.(2.1)

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания a его оценкой а*.

3. Оценка погрешности метода Монте-Карло

Пусть для получения оценки a* математического ожидания a случайной величины Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений Х) и по ним была найдена выборочная средняя , которая принята в качестве искомой оценки: . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью) : .

Интересующая нас верхняя грань ошибки есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Рассмотрим следующие три случая.

Случайная величина Х распределена нормально и её среднее квадратичное отклонение известно.

В этом случае с надёжностью верхняя граница ошибки

, (3.1)

где n число испытаний (разыгранных значений Х); t - значение аргумента функции Лапласа, при котором , - известное среднее квадратичное отклонение Х.

Случайная величина Х распределена нормально, причём её среднеквадратическое отклонение неизвестно.

В этом случае с надёжностью верхняя граница ошибки

,(3.2)

где n - число испытаний; s - «исправленное» среднее квадратическое отклонение, находят по таблице.

Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального. В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо равной , верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (3.1), если среднеквадратическое отклонение случайной величины Х известно; если же неизвестно, то можно подставить в формулу (3.1) его оценку s - «исправленное» среднеквадратическое отклонение, либо воспользоваться формулой (3.2). Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых) существенную роль играют также методы теории чисел.

Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании.

4. Моделирование систем массового обслуживания и метод Монте-Карло

Суть математического моделирования системы заключается в следующем. Время функционирования системы разделяется на достаточно большое количество подинтервалов (единиц времени, в течение которых не может возникнуть более одной заявки или завершиться выполнение более одной заявки). Для каждого такого подинтервала последовательно моделируется факт появления новой заявки (да/нет), проверяется наличие свободного канала (закончено ли обслуживание какой-то заявки) и загрузка его заявкой из очереди, проверяется наличие мест в очереди с последующим выводом (принять в очередь/отказать в обслуживании) и т.д. При этом фиксируется число отказов, время ожидания заявок в очереди и в системе вообще, число заявок в очереди в каждый момент и другие значения, которые позволяют найти вероятность отказа, распределение времени ожидания и среднее время, вероятность простоя каналов и т.п. Для надежности выводов такое разовое моделирование повторяется достаточно много раз.

Очевидно, что ни о каком ручном моделировании не может быть речи (объем работы здесь слишком велик для нормального индивида). Здесь приходится использовать компьютер с встроенным или программным датчиком псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения в интервале от 0 до 1. Псевдослучайные числа получаются по какому-то алгоритму, но в совокупности подчиняются всем законам проверки на случайность.

В процессе моделирования возникает необходимость генерации случайных чисел с законом распределения, отличным от вышеуказанного.

Пусть R - случайные числа с равномерным законом распределения в [0,1] и X - создаваемые случайные числа с плотностью распределения p(X). Между ними можно установить соотношение

(4.1)

Так для показательного распределения p(X)=lexp(-lx) для X>0 легко установить, что X= -ln(1-R)/l. Для равномерного распределения в [a,b] c очевидностью X=a+(b-a)R. Получение дискретных случайных чисел сводится к поиску наименьшего значения X, при котором

(4.2)

Если взятие интеграла и представление X через R составит затруднение, можно воспользоваться методом Неймана. Здесь при неограниченности области значений X усекаем ее до некоторого интервала [a,b]; например для нормального распределения концы интервала берем отстоящими от среднего на 3-4 стандартных отклонения. Затем генерируется пара случайных чисел R₁ и R₂; если то берем X=a+(b-a)R₂ и в противном случае берем следующую пару случайных чисел.

Таким путем мы можем моделировать интервалы времени между заявками входного потока, продолжительность обслуживания заявки, вероятность выхода канала из строя и т.п.

Вопрос о числе N отдельных реализаций системы решается на основе закона больших чисел и вывода о том, что погрешность оценок имеет порядок

Существуют многочисленные примеры успешного моделирования вполне реальных СМО.

Описанный подход к поиску характеристик сложной системы называют методом статистических испытаний (методом Монте-Карло), который обычно используют там, где другие методы терпят фиаско (моделирование сложных систем, вычисление интегралов кратности 10 и выше, поиск экстремумов функций с очень большим числом переменных и др.).

5. Вычисление интегралов методом Монте-Карло

5.1 Решение определенного интеграла методом Монте-Карло

Метод Монте-Карло занимает особое положение среди методов вычисления определенных интегралов по двум причинам. Во-первых, это единственный метод, позволяющий вычислять интегралы высокой кратности. И, во-вторых, это метод, который дает лишь вероятностные гарантии степени точности вычисления интегралов.

Метод Монте-Карло - это статистический метод, его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации и массового обслуживания, при исследовании сложных систем (экономических, биологических и т. д.).

Сущность метода состоит в том, что в решаемую задачу вводят случайную величину о, изменяющуюся по какому-то закону p(о). Как правило, случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина стала математическим ожиданием от случайной величины.

Таким образом, искомая величина определяется лишь теоретически. А вот чтобы найти ее численно, пользуются статистическими методами: берут выборку случайной величины о объемом элементов. В результате получают вариант случайной величины о_i, для которых вычисляют их среднее арифметическое (выборочное среднее)

(5.1.1)

которое и принимают в качестве приближенного значения (оценки) искомой величины :

(5.1.2)

Для получения результата приемлемой точности по методу Монте-Карло требуется большое число статистических испытаний. Именно поэтому этот метод иногда так и называют: метод статистических испытаний.

Теория метода Монте-Карло изучает способы выбора случайных величин о для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин. Уменьшение дисперсии играет большую роль, поскольку при равных объемах выборок, выборка с меньшей дисперсией имеет меньшую погрешность.

Итак, для вычисления однократного интеграла методом Монте-Карло может быть применена формула

(5.1.3)

где x_i равномерно распределенное на интервале [a, b] случайное число. Справедлива следующая оценка точности вычисления интеграла по формуле (5.1.3) с вероятностью p=1-з выполняется неравенство

(5.1.4)

Например, если положить p=99%, тогда з = 0.01 и можно утверждать, что с вероятностью 99% справедливо неравенство

(5.1.5)

где

(5.1.6)

Все, что нужно для вычисления интегральной суммы по формуле (5.1.1) - это научиться получать случайные числа, равномерно распределенные на интервале [a, b]. Для этой цели можно использовать генератор случайных чисел, входящий в состав стандартных библиотек, поставляемых с компилятором. С помощью функции random легко получить случайное вещественное число, равномерно распределенное на интервале [0, 1] - например, результатом выполнения оператора x=random является случайное вещественное число из интервала [0, 1]. Имея случайное вещественное число из интервала [0, 1] легко получить случайное число из любого интервала. Например, если z - случайное число из интервала [0, 1],тогда x=a+(b-a)*z - случайное число из интервала [a, b].

Как видно из приведенных выше оценок погрешности формулы (5.1.3) точность вычисления интеграла и в методе Монте-Карло определяется числом слагаемых N в интегральной сумме - чем больше слагаемых, тем точнее результат. Ниже приведен пример и программа, вычисляющая определенный интеграл методом Монте-Карло.

Метод Монте-Карло легко обобщается на интегралы произвольной кратности. Например, двукратный интеграл может быть вычислен по формуле

(5.1.7)

где x_i, y_i - случайные числа, равномерно распределенные на интервалах [a, b] и [c, d] соответственно. Оценка точности вычисления интеграла по формуле (5.1.6) совершенно аналогично приведенной выше для случая однократного интеграла и поэтому здесь не приводится.

5.2 Способ усреднения подынтегральной функции

В качестве оценки определённого интеграла принимают

,(5.2.1)

где n - число испытаний; - возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования , их разыгрывают по формуле , где - случайное число.

Дисперсия усредняемой функции равна

,(5.2.2)

где , . Если точное значение дисперсии вычислить трудно или невозможно, то находят выборочную дисперсию (при n>30) , или исправленную дисперсию (при n<30)

, где .

Эти формулы для вычисления дисперсии применяют и при других способах интегрирования, когда усредняемая функция не совпадает с подынтегральной функцией.

В качестве оценки интеграла , где область интегрирования D принадлежит единичному квадрату , , принимают

,(5.2.3)

где S - площадь области интегрирования; N - число случайных точек , принадлежащих области интегрирования.

Если вычислить площадь S трудно, то в качестве её оценки можно принять ; в этом случае формула (5.2.3) имеет вид

,(5.2.4)

где n - число испытаний.

В качестве оценки интеграла , где область интегрирования V принадлежит единичному кубу , , , принимают , где V - объём области интегрирования, N - число случайных точек , принадлежащих области интегрирования.

Если вычислить объём трудно, то в качестве его оценки можно принять , в этом случае формула (5.2.4) имеет вид , где n - число испытаний.

Задача: найти оценку определённого интеграла .

Решение. Используем формулу . По условию, a=1, b=3, . Примем для простоты число испытаний n=10.Тогда оценка , где возможные значения разыгрывается по формуле .

Результаты десяти испытаний приведены в таблице 5.2.1.

Случайные числа взяты из таблицы приложения.

Таблица 5.2.1 - Результаты испытаний

Номер i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876	1,200 2,946 1,506 1,752 2,040 1,270 2,726 1,934 1,708 2,752	2,200 3,946 2,506 2,752 3,040 2,270 3,726 2,934 2,708 3,752

Из таблицы 5.2.1 находим . Искомая оценка

5.3 Способ, основанный на истолковании интеграла как площади

Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: , а двумерная случайная величина распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием и высотой . Тогда двумерная плотность вероятности для точек, принадлежащих D; вне D.

В качестве оценки интеграла принимают

, (5.3.1)

где n - общее число случайных точек , принадлежащих D; - число случайных точек, которые расположены под кривой .

Задача. Найти оценку интеграла .

Решение. Используем формулу .

В интервале (0,2) подынтегральная функция неотрицательна и ограничена, причём ; следовательно, можно принять c=4.

Введём в рассмотрение двумерную случайную величину (X,Y), распределённую равномерно в прямоугольнике D с основанием и высотой с=4, плотность вероятности которой .

Разыгрываем n=10 случайных точек , принадлежащих прямоугольнику D. Учитывая, что составляющая X в интервале (0,2) распределена равномерно с плотностью и составляющая Y в интервале (0,4) распределена равномерно с плотностью , разыграем координаты случайной точки , принадлежащей прямоугольнику D, по паре независимых случайных чисел : , .

Отсюда , .

Таблица 5.3.1 - Результаты испытаний

Номер i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,100 0,253 0,520 0,863 0,354 0,809 0,911 0,542 0,056 0,474	0,200 0,506 1,040 1,726 0,708 1,618 1,822 1,084 0,112 0,948	0,040 0,256 1,082 2,979 0,501 2,618 3,320 1,175 0,013 0,899	3,960 3,744 2,918 1,021 3,499 1,382 0,680 2,825 3,987 3,101	0,973 0,376 ,135 0,467 0,876 0,590 0,737 0,048 0,489 0,296	3,892 1,504 0,540 1,868 3,504 2,360 2,948 0,192 1,956 1,184	1 1 1 1 1 1

Если окажется, что , то точка лежит под кривой и в «счётчик » надо добавить единицу.

Результаты десяти испытаний приведены в таблице 5.3.1.

Из таблицы 5.3.1 находим . Искомая оценка интеграла



5.4 Способ «выделения главной части»

В качестве оценки интеграла принимают

,(5.4.1)

где - возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования , которые разыгрывают по формуле ; функция , причём интеграл можно вычислить обычными методами.

Задача. Найти оценку интеграла .

Решение. Так как , то примем . Тогда, полагая число испытаний n=10, имеем оценку

.

Выполнив элементарные преобразования, получим

.

Учитывая, что a=0, b=1, возможные значения разыграем по формуле . Результаты вычислений приведены в таблице 5.4.1.

Таблица 5.4.1 - Результаты вычислений

Номер i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876	0,010 0,947 0,064 0,141 0,270 0,018 0,745 0,218 0,125 0,767	1,010 1,947 1,064 1,141 1,270 1,018 1,745 1,218 1,125 1,767	1,005 1,395 1,032 1,068 1,127 1,009 1,321 1,104 1,061 1,329	2,000 1,843 2,000 1,995 1,984 2,000 1,897 1,990 1,997 1,891

Сложив числа последнего столбца таблицы 5.4.1, найдём сумму 19,597, подставив которую в соотношение , получим искомую оценку интеграла

.

Заметим, что точное значение I=1,147.

5.5 Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло

Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области S и требуется вычислить m-кратный интеграл

.(5.5.1)

Геометрически число I представляет собой (m+1)-мерный объём прямого цилиндроида в пространстве , построенного на основании S и ограниченного сверху данной поверхностью , где .

Преобразуем интеграл (5.5.1) так, чтобы новая область интегрирования целиком содержалась внутри единичного m-мерного куба. Пусть область S расположена в m-мерном параллелепипеде

.(5.5.2)

Сделаем замену переменных

(5.5.3)

Тогда, очевидно, m-мерный параллелепипед (5.5.2) преобразуется в m-мерный единичный куб

(5.5.4)

и, следовательно, новая область интегрирования у, которая находится по обычным правилам, будет целиком расположена внутри этого куба.

Вычисляя якобиан преобразования, будем иметь:

.

Таким образом,

, (5.5.5)

где . Введя обозначения и , запишем интеграл (5.5.5) короче в следующем виде:

. (5.5.5')

Укажем способ вычисления интеграла (5.5.5') методом случайных испытаний.

Выбираем m равномерно распределённых на отрезке [0, 1] последовательностей случайных чисел:

Точки можно рассматривать как случайные. Выбрав достаточно большое N число точек , проверяем, какие из них принадлежат области у (первая категория) и какие не принадлежат ей (вторая категория). Пусть

1. при i=1, 2, …, n(5.5.6)

2. при i=n+1, n+2, …,N(5.5.6')

(для удобства изменяем нумерацию точек).

Заметим, что относительно границы Г области у следует заранее договориться, причисляются ли граничные точки или часть их к области у, или не причисляются к ней. В общем случае при гладкой границе Г это не имеет существенного значения; в отдельных случаях нужно решать вопрос с учётом конкретной обстановки.

Взяв достаточно большое число n точек , приближённо можно положить: ; отсюда искомый интеграл выражается формулой , где под у понимается m-мерный объём области интегрирования у. Если вычисление объёма у затруднительно, то можно принять: , отсюда . В частном случае, когда у есть единичный куб, проверка становится излишней, то есть n=N и мы имеем просто .

Заключение

Процесс выполнения данной работы представлял большой интерес и послужил хорошей возможностью для приобретения новых знаний и навыков, а также закрепления уже полученных.

Были рассмотрены предельные теоремы теории вероятности, в частности, центральная предельная теорема; рассмотрено моделирование систем массового обслуживания, основные свойства метода Монте-Карло и способы вычисления интегралов с помощью данного метода.

Было выяснено, что методом Монте-Карло можно решать разнообразные задачи, в том числе вычисление интегралов, не прибегая к сложным математическим вычислениям. Простота алгоритма метода Монте-Карло позволяет успешно реализовывать их на ЭВМ.

Список использованной литературы

1. Бусленко Н.П. Метод статистического моделирования - М.: Статистика, 1970. - 112 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1966. - 664 с.

3. Соболь И.М. Метод Монте-Карло - М.: Наука, 1985. - 80 c.

4. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы - М.: Наука, 1975-472 с.

Размещено на Allbest.ru