Дифференциальные уравнения и их приложение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Реферат

Введение

1. Аналитический обзор

1.1 Дифференциальное уравнение I порядка

1.2 Метод изоклин

1.3 Дифференциальное уравнение II порядка

2. Цели и задачи работы

3. Расчетная часть

3.1 Построение интегральной кривой дифференциального уравнения I порядка методом изоклин

3.2 Решение практической задачи с помощью дифференциального уравнения I порядка

3.3 Нахождение закона движения материальной точки с помощью дифференциального уравнения II порядка

Выводы по работе

Список литературы

Реферат

В данной работе объектом изучения являются обыкновенные дифференциальные уравнения I и II порядков, а также их приложение к различным практическим задачам.

Целью данной работы заключается изучение обыкновенных дифференциальных уравнений и их применение к конкретным задачам.

Результаты работы:

1. Построение интегральной кривой обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методом изоклин;

2. Решение физической задачи при помощи составления обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка;

3. Нахождение закона движения материальной точки при помощи обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Введение

Теория дифференциальных уравнений - один из важнейших разделов математики, имеющий огромное практическое значение. Одной из черт теории дифференциальных уравнений - ее тесная связь с приложениями. Другими словами, теория дифференциальных уравнений родилась из приложений. В этом своем разделе - теории дифференциальных уравнений - математика прежде всего выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе.

Дифференциальные уравнения используются во многих науках: механике, физике, различных разделах химии и даже в экономике.

Причиной столь широкого применения можно назвать то, что при помощи дифференциальных уравнений можно создать математическую модель конкретного процесса. Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени.

Дифференциальные уравнения позволяют выразить соотношения между изменениями каких-либо (к примеру, физических) величин .

В данной работе будут более глубоко рассмотрены обыкновенные дифференциальные уравнения и способы их применения к реальным практическим задачам.

1. Аналитический обзор

1.1 Дифференциальное уравнение I порядка

Дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение одного из 3х видов:

1. F (x, y, y') = 0 (1)

2. y' = f (x, y) (2)

3. P(x, y)dx + Q(x, y)dy=0 (3)

Где y(x) - неизвестная функция, x - независимая переменная [2]

Начальными условиями дифференциального уравнения I порядка (1-3) называется условие вида , то есть при [2]

Решением дифференциального уравнения (1) на промежутке (a,b) называется дифференцируемая на (a,b) функция при подстановке, которой в (1) уравнение обращается в тождество

[2]

Задачей Коши для дифференциального уравнения I порядка называются задачи нахождения такого его решения удовлетворяющее начальному условию

С геометрической точки зрения при выполнении условий теоремы о существовании единственного решения задачи Коши, (которая гласит, что функции определены и непрерывны в ограниченной области), через любую точку области D (x0, y0) проходит единственная интегральная кривая [2]



Дифференциальное уравнение I порядка (2) имеет бесчисленное множество решений. Как правило, через данную точку рассматриваемой области проходит одна-единственная интегральная линия. Предполагается, что функция f (x, y) однозначно определена и непрерывна в некоторой области; ищутся интегралы, принадлежащие этой области [3]

Общим решением дифференциального уравнения I порядка (1-3) называется однопараметрическое семейство функций: удовлетворяющее 2 условиям:

1. - решение дифференциального уравнения I порядка при любой константе с (решение дифференциального уравнения)

2. для (D - область в которой функции определены и непрерывны)

удовлетворяющее начальному условию (то есть [2]

Частным решением дифференциального уравнения I порядка называется каждая функция , полученная из формулы общего решения при конкретной постоянной [2]

Дифференциальным уравнением I порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

(4)

или уравнение вида (5) [2]

Общим интегралом дифференциального уравнения I порядка называется общее решение этого дифференциального уравнения заданное в неявном виде, то есть

Частный интеграл это частное решение, заданное в неявном виде [2]

План 1

Метод решения дифференциального уравнения I порядка с разделяющимися переменными:

1. Если (5), , (5)dx сводится к (4)

2. Уравнение (4) разделить на то что мешает, то есть на и

- дифференциальное уравнение с разделенными переменными

3. -общий интеграл

, где F(х), Ф(у) - первообразные P(x) и Q(y) соответственно [2]

1.2 Метод изоклин

Поле направлений, заданное дифференциальным уравнением (2) - это нанесенные на координатную плоскость короткие отрезки, показывающие направление интегральных кривых в тех точках, в которых эти отрезки построены [2]

Построение поля направлений уравнения (2) упрощается, если предварительно начертить линии равного наклона (изоклины) [3]

Изоклиной дифференциального уравнения (2) называется линия, в каждой точке которой сохраняется тангенс угла наклона касательной к интегральным кривым, то есть в каждой точке, которой выполняется равенство (k =const)

То есть уравнение изоклин имеет вид [2]

Замечание: на практике при использовании изоклинами нет необходимости изображать поле направлений черточками. Достаточно снабдить каждую изоклину числовой пометкой, дающей значение углового коэффициента. На чертеже, где нанесены изоклины, изображается, кроме того, густой пучок лучей и при каждом луче помечается его угловой коэффициент. Решение получается построением черточек, параллельных соответствующим лучам. [3]

Уравнение линии возможных экстремумов:

(6) [2]

Уравнение линии возможных перегибов:

(7) [2]

План 2

План построения интегральной кривой дифференциального уравнения (2), проходящей через точку M0(x0,y0) :

1. Выписать уравнение изоклин:.

Найти чему равняется

2. Составить следующую таблицу

k	k	0	1/2	1	2	…
			…	…	…	…
		0	(1/2)		…	…

3. Выписать уравнение возможных экстремумов (6)

4. Выписать уравнение линий возможных перегибов (7)

5. На координатной плоскости нарисовать красным цветом линию возможных экстремумов из 3 пункта

Зеленым цветом линию возможных перегибов из 4 пункта

6. По таблице из 2 пункта по второй строчке построить все изоклины и подписать значение k у каждой из них

7. На каждой изоклине построить короткие отрезки под углом

В частности:

8. Построить точку

9. Из точки провести кривую так чтобы построенные отрезки были касательными к ней

10. Сделать проверку:

11. Решить уравнение (2) при начальных условиях и построить его графически, он должен совпасть с графиком на рисунке [2]

1.3 Дифференциальное уравнение II порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением II порядка называется уравнение вида:

(8) или (9)

где х - независимая переменная

у(х) - неизвестная функция

F,f - заданные функции [2]

Предполагается, что функция трех аргументов однозначно определена и непрерывна в некоторой области изменения этих аргументов.

Как правило, задание начальных значений х=х0, у=у0, (принадлежащих рассматриваемой области) определяет одно-единственное решение уравнения

[3]

Начальными условиями дифференциального уравнения II порядка (8,9) называются условия вида:

(10)

где R (то есть вещественным числам) [2]

Задачей Коши для дифференциального уравнения II порядка называется задача такого его решения , которая удовлетворяет начальным условиям (10) [2]

Общим решением дифференциального уравнения II порядка (8,9) называется параметрическое семейство функций , удовлетворяющее двум условиям:

1. - решение уравнений при

2. для , (где D - область в которой функции определены и непрерывны): удовлетворяющая (10) [2]

Частным решением дифференциального уравнения II порядка (8,9) называется любая функция , полученная из формулы общего решения при конкретном наборе постоянных [2]

Линейным однородным дифференциальным уравнением II порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида Ly=0, то есть уравнение вида

(11)

где а1, а2 -const и а1, а2 R, [2]

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) II порядка называется уравнение вида:

то есть (12) [2]

Геометрическая и механическая интерпретация задачи Коши для дифференциального уравнения II порядка

или

Условия задачи Коши: [2]

Задача Коши с геометрической точки зрения - это задача нахождения такой интегральной кривой, которая проходит через точку , имеет заданный тангенс угла наклона и заданное направление выпуклой, соответствующая знаку [2]

Система функций y1(x), y2(x), …, yn(x), определенных на промежутке [a,b] (x[a,b]) называется линейно зависимой на этом промежутке, если

1.

2. [2]

Система функций y1(x), y2(x), …, yn(x), определенная на промежутке [a,b] (x[a,b]) называется линейно независимой на этом промежутке, если

[2]

Определителем Вронского для системы функций y1(x), y2(x) для которых существует производная I порядка включительно, называется определитель вида:

W(x)= - определитель Вронского [2]

Фундаментальной системой решений (ФСР) линейного однородного дифференциального уравнения Ly=0 называется любая система 2х линейно независимых решений y1, y2 - этого уравнения на (a,b) то есть система решений y1, y2 для которого определитель Вронского

[2]

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ II порядка:

Если y1, y2 - ФСР ЛОДУ Ly=0, где a1(x), a2(x) - непрерывны на (a,b), то общее решение ЛОДУ будет иметь вид

,

с1,с2 - произвольные постоянные [2]

Характеристическим уравнением ЛОДУ II называется уравнение

,

где а1, а2 -const и а1, а2 R [2]

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ II порядка:

Общее решение ЛНДУ:

, ,

где - определены непрерывно на (a,b), имеет вид:

[2]

План 3

План решения ЛОДУ II порядка с постоянными коэффициентами

а1, а2 R

1. Выписать соответствующее характеристическое уравнение

2. Найти его корни и соответствующие ему кратность k

3. Выписать ФСР y1, y2 ЛОДУ следующим образом

3.1 Если

k=1

k=1

3.2 Если D=0

k=2

3.3 Если D<0

k=1

4. Выписать общее решение ЛОДУ

, где [2]

План 4

План решения ЛНДУ II порядка методом вариаций произвольных постоянных:

1. Выписать соответствующее ЛОДУ

и найти

2.

(13)

3. Составить систему

4.

5. подставить в (13)

2. Цели и задачи работы

Целью курсовой работы является изучение дифференциальных уравнений и их приложений для решения различных практических задач, а также наглядная демонстрация роли дифференциальных уравнений для решения поставленных задач.

Задача 1 (вариант №1).

Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку .

Задача 2 (вариант 4)

В культуре пивных дрожжей быстрота прироста, действующего фермента пропорциональна наличному его количеству х. Первоначально количество фермента было а . Через час оно увеличилось в r раз.

1. Во сколько раз оно увеличилось через t1 часов?

2. Через сколько часов оно увеличится в b раз?

Задача 3 (вариант А1)

Материальная точка массой 1 грамм отталкивается вдоль прямой от некоторого центра с силой, пропорциональной её расстоянию от этого центра (коэффициент пропорциональности ). Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности ). В начале движения расстояние от центра , а скорость

Найти закон движения для 2 ситуаций:

1. В отсутствии внешней силы;

2. При наличии внешней силы .

Построить графики для этих ситуаций.

3. Расчетная часть

3.1 Построение интегральной кривой дифференциального уравнения I порядка методом изоклин

Задача 1 (вариант №1).

Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку .

Решение.

Решим задачу 1 по плану 3.

1. Выпишем уравнение изоклин.

Найдем .

2. Составим таблицу.

3. Выпишем уравнение линии возможных экстремумов.

4. Выпишем уравнение линии возможных перегибов.

5. Проведем на координатной плоскости линию возможных экстремумов красным цветом, линию возможных перегибов - зеленым цветом.

6. Построим все изоклины по второй строке таблицы.

7. На каждой изоклине построим короткие отрезки под углами, указанными в третьей строке таблицы.

8. Построим точку .

9. Из точки проведем кривую так, чтобы короткие отрезки были касательными к ней. Мы получим интегральную кривую.

Рис. 3. Интегральная кривая дифференциального уравнения , построенная методом изоклин через точку .

10. Проверка.

Выпишем дифференциальное уравнение, данное в условии задачи.

(14)

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим его по плану 2.

1. Выпишем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение и решим его как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными по плану 1.

1. Представим как и домножим уравнение на .

2. Разделим переменные:

(15)

3. Проинтегрируем (15):

(16)

2. В полученном общем решении линейного однородного дифференциального уравнения (16) представим как , найдем производную (16) и подставим в уравнение (14), откуда выразим .

3. Проинтегрируем и найдем частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Запишем общее решение уравнения (14):

(17)

Найдем частное решение данного уравнения при начальном условии . Подставим и в (17).

Выразим отсюда .

Подставим в (17).

(18)

Построим график полученного частного решения (26).

Рис. 4. График частного решения дифференциального уравнения (14), удовлетворяющего начальному условию .

Графики кривых, проходящих через точку , на рисунках 3 и 4 совпадают, следовательно, интегральная кривая дифференциального уравнения (14) построена методом изоклин верно.

3.2 Решение практической задачи с помощью дифференциального уравнения первого порядка

Задача 2 (вариант 4)

В культуре пивных дрожжей быстрота прироста, действующего фермента пропорциональна наличному его количеству х. Первоначально количество фермента было а . Через час оно увеличилось в r раз.

1. Во сколько раз оно увеличилось через t1 часов?

2. Через сколько часов оно увеличится в b раз?

Дано:

1. t1=3 , r=1,9+0,1N , N=4.1

2. r=2 , b=2+2N , N=4.2

Решение:

Пусть x(t) - количество ферментов в момент времени t

x'(t)=kx - быстрота прироста пивных дрожжей

Решим данную задачу по Плану 1

1. x'(t)=kx

Представим x' как

2. Разделим переменные на x

3. Проинтегрируем

При начальных условиях х=0, с=а

Значит (19)

Через час количество ферментов увеличилось в r раз, то есть при t=0, x=ar

Следовательно

(20)

Подставим (20) в (19)

(21)

Теперь можно решить задачу, подставив данные в формулу (21)

1. Во сколько раз оно увеличилось через t1 часов?

t1=3 , r=1,9+0,1N , N=4.1

Ответ: количество ферментов через 3 часа увеличилось примерно в 12,33

2. Через сколько часов оно увеличится в b раз?

r=2 , b=2+2N , N=4.2

через t

Ответ: примерно через 3,4 часа количество ферментов увеличится в b раз

3.3 Нахождение закона движения материальной точки с помощью дифференциального уравнения II порядка

Задача 3 (вариант А1)

Материальная точка массой 1 грамм отталкивается вдоль прямой от некоторого центра с силой, пропорциональной её расстоянию от этого центра (коэффициент пропорциональности ). Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности ). В начале движения расстояние от центра , а скорость

Найти закон движения для 2 ситуаций:

1. В отсутствии внешней силы;

2. При наличии внешней силы .

Построить графики для этих ситуаций.

Решение.

Рассмотрим ситуацию 1 (в отсутствии внешней силы).

Пусть - расстояние материальной точки от начала координат в момент времени . Тогда - это её скорость движения, а - ускорение. дифференциальный уравнение изоклина интегральный

По 2 закону Ньютона выпишем, согласно рис.9, дифференциальное уравнение для нахождения закона движения материальной точки.

(22)

(22) - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Решим его по плану 3.

1. Выпишем соответствующее характеристическое уравнение.

2. Найдем корни уравнения и их кратность.

3. Выпишем фундаментальную систему решений уравнения (22). Так как дискриминант характеристического уравнения больше нуля, то фундаментальная система решений имеет вид:

4. Выпишем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (22):

(23)

Теперь найдем частное решение из уравнения (23). Из условия задачи известны начальные условия: , , . Подставим их в (23).

Для нахождения необходимо составить систему.

Для этого продифференцируем (23), затем подставим начальные условия.

Решим систему.

Вычтем из первого уравнения второе.

(24)

(24) - частное решение дифференциального уравнения (22). Оно является законом движения материальной точки в данной задаче.

Проверка.

Проверим, будет ли являться частное решение (24) верным. Для этого подставим его в уравнение, должно получиться тождество.

Действительно, в результате подстановки мы получили тождество. Следовательно, решение найдено верно.

Построим график зависимости пройденного пути от времени .

Рис. 10. График закона движения материальной точки.

Рассмотрим ситуацию 2 (при наличии внешней силы ).

Пусть - расстояние материальной точки от начала координат в момент времени . Тогда - это её скорость движения, а - ускорение.

По 2 закону Ньютона выпишем, согласно рис.9, дифференциальное уравнение для нахождения закона движения материальной точки.

(25)

(25) - линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Решим его по плану 4.

1. Выпишем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и решим его по плану 3.

(26)

1) Выпишем соответствующее характеристическое уравнение.

2) Найдем корни уравнения и их кратность.

3) Выпишем фундаментальную систему решений уравнения (26). Так как дискриминант характеристического уравнения больше нуля, то фундаментальная система решений имеет вид:

4) Выпишем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (26):

(27)

1. Представим постоянные и подставим их в формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.

2. Составим следующую систему:

Найдем из данной системы по теореме Крамера.

3. Проинтегрируем.

4. Подставить найденные в формулу общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка .

(28)

(28) - общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (25).

Найдем теперь частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (25). Для этого используем начальные условия: , , . Подставим их в (28).

Для нахождения необходимо составить систему. Для этого продифференцируем (28), затем подставим начальные условия.

Вычтем из первого уравнения второе.

(29)

Проверим, будет ли являться частное решение (29) верным. Для этого подставим его в уравнение, должно получиться тождество.

В результате подстановки мы получили тождество. Следовательно, решение также найдено верно.

Построим график зависимости пройденного пути от времени .

Выводы к работе

В ходе данной курсовой работы были изучены обыкновенные дифференциальные уравнения I и II порядков. Были рассмотрены некоторые виды дифференциальных уравнений для решения следующих задач:

1. Построение интегральной кривой дифференциального уравнения первого порядка методом изоклин (в ходе работы также было выяснено, что при верном построении интегральная кривая, проходящая через заданную точку, совпадает с графиком частного решения дифференциального уравнения)

2. Решение химической задачи при помощи дифференциального уравнения первого порядка

3. Определение закона движения материальной точки при помощи дифференциального уравнения второго порядка

Список литературы

1. http://dic.academic.ru (13.11.11)

2. Шаляпина, О.В. Курс лекций по высшей математике / О.В. Шаляпина. - СПб. : СПБГТИ (ТУ), 2011.

3. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. - М. : ООО «Издательство Астрель», 2003. - 991 с.

Размещено на Allbest.ru