Кривые второго порядка

отсюда

и

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1-- е², тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=a и е=0.

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением

Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а?b и, следовательно, е=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а>b.

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую--правой. Так как для эллипса е<1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса; аналогично, левая директриса расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:

х² + у² = R².

ГИПЕРБОЛА

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F₁ и F₂, а расстояние между ними -- через 2с.

Пусть М -- произвольная точка гиперболы с фокусами F₁ и F₂. Отрезки F₁М и F₂М (так же, как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусами точки М и обозначаются через r₁ и r₂ (r₁= F₁М, r₂= F₂М). По определению гиперболы разность фокальных радиусов ее точки М есть постоянная величина; эту постоянную принято обозначать через 2а.

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F₁ и F₂. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F₁М и F₂М через r₁ и r₂. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда

r₁-- r₂= ±2а.

Так как F₁ F₂=2с и так как фокусы F₁ и F₂ расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (--с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим:

, .

Заменяя r₁ и r₂, получаем:

.

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе.

Возведём обе части равенства в квадрат; получим

,

.

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

c²x² - 2a²cx + a⁴ = a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y² ,

откуда

(c² - a²)x² - a²y² = a²(c² - a²) .

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

с>a, следовательно, с²--а²>0 и величина b--вещественна.

b2= с2--а2,

b²x² -- a²y² = a²b² ,

или

.

Уравнение

,

определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет буквой е, получим:

Так как для гиперболы с>a, то е>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заметив, что c² = a²+ b², находим:

;