Числовые ряды

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Числовые ряды

1. Понятие сходимости числового ряда

Пусть последовательность действительных чисел,

- числовой ряд (1).

Составим последовательность частичных сумм:

последовательность частичных сумм

Если для ряда (1) существует предел последовательность частичных сумм при , равный числу , то ряд называется сходящимся, а число S - его сумма. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.

Пример. Исследовать сходимость и найти сумму ряда

Составляем последовательность частичных сумм:

2. Свойства сходящихся рядов

остаток сходящегося ряда, последовательность остатка.

1. Необходимое условие сходимости: частичные суммы сходящегося ряда - ограничены: (это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена).

Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться:

2. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда предел общего члена равен нулю

Доказательство. Доказано.

Рассмотрим пример расходящегося ряда, для которого

неограниченная, наименьшее слагаемое .

Пример. расходится, т.к.

Предположим, что

противоречие.

3. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда

2. Сходимость положительных рядов

1) Критерий сходимости положительного ряда

положительный ряд (1)

Теорема. Ряд (1) - сходится тогда и только тогда, когда последовательность ограниченная.

Доказательство. Необходимость.

Известно как необходимое условие сходимости.

Достаточность.

ограниченная т.е. сходится (по теореме Коши о пределе монотонной последовательности). Доказано.

Замечание. У положительного ряда достаточно проверять ограниченность только некоторой подпоследовательности частичных сумм.

2) Признак сравнения

Теорема. Если даны два ряда то:

1) если - сходится, то - сходится;

2) если - расходится, то - расходится.

Доказательство.

1) подпоследовательность частичных сумм ряда , подпоследовательность частичных сумм ряда ограниченная сверху (по необходимому условию сходимости), ограниченная сверху сходится.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Доказано.

Замечание. В признаке сравнения выполнение неравенства достаточно требовать для

При использовании признака сравнения можно использовать сравнение последовательностей:

1. если и ряд сходится;

2. если то сходимости и эквиваленты;

3. то сходимости и эквивалентны.

Доказательство.

1) Имеем или или или - сходится.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Доказано.

Замечание. В обобщённом признаке сравнения выполнение неравенств достаточно требовать для

3) Признак Даламбера

Если для ряда то

Доказательство. Пусть тогда ряд сходится, расходится, но

Пусть тогда и для сходится и по обобщённому признаку сравнения исходный ряд сходится.

Пусть

Значит, ряд расходится. Доказано.

3. Сходимость положительных рядов

1. Признак Даламбера с использованием нижнего и верхнего предела

1) Если то ряд сходится.

2) Если то ряд расходится и

В признаке Даламбера исследуются отношения и в случае нужно уточнение этого представления. Предположим, что имеет место уточнение Если , то ряд сходится, а при нельзя сделать определённого вывода; нужно некоторое уточнение. Указанный признак сходимости называется признаком Раабе.

Объединённый признак Раабе и Даламбера называют признаком Гаусса:

1) ряд расходится;

2) ряд сходится;

3) ряд сходится;

4) ряд расходится.

Доказательство (признак Раабе). Доказательство основано на применении обобщённого признака сравнения при сравнении с обобщённым гармоническим рядом .

Пусть сходится. Имеем:

Доказано.

Пример. Исследовать сходимость ряда в зависимости от параметра р .



если ряд сходится;

ряд расходится;

при нужны дополнительные исследования.

Применим формулу Стирлинга

ряд расходится;

ряд сходится.

2. Радикальный признак Коши

Пусть тогда:

1) ряд сходится;

2) ряд расходится

Доказательство. Верхний предел последовательности - это наибольший частичный предел, или

1)

2)

Если и для

и по признаку сравнения со сходящейся геометрической прогрессией данный ряд сходится.

Пусть и для

Доказано.

Радикальный признак Коши «сильнее», чем признак Даламбера, т.е. любой ряд, который можно исследовать при помощи признака Даламбера, можно и исследовать при помощи признака Коши. Но есть такие ряда, которые нельзя исследовать при помощи признака Даламбера, но можно исследовать при помощи признака Коши.

Пример.

По радикальному признаку Коши ряд сходится.

Используем признак Даламбера.



Получаем неясность.

3. Признак Коши для рядов с монотонными членами

Пусть невозрастающая

Тогда - сходится сходится.

Доказательство. Необходимость.

Пусть ряд - сходится ограниченная

ограниченная ряд - сходится.

Достаточность.

Пусть ряд - сходится ограниченная

ограниченная ряд - сходится.

Пример 1. убывающая.

сходится

Пример 2. сходится сходится при

4. Сходимость положительных рядов

1) Интегральный признак Коши

Пусть невозрастающая. Тогда ряд сходится сходится и для остатка

Пример. сходится.

сходится.

Доказательство. Будем использовать геометрическую интерпретацию.

Размещено на http://www.allbest.ru/

или

Так как сходимость ряда эквивалентны ограниченности и , то утверждение признака вытекает из этих неравенств.

Оценим остаток.

Доказано.

Пример. Исследовать сходимость .

при расходится. Значит, исходный ряд расходится.

Ряды с членами произвольного знака

ряд с положительными членами (2)

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

1) Признак абсолютной сходимости

Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Доказательство. Основано на применении критерия Коши.

Ряд (2) - сходится (по критерию Коши)

(по критерию Коши) ряд (1) - сходится. Доказано.

Сходящийся ряд (1) называют условно сходящимся, если он абсолютно расходится.

Существуют условно сходящиеся ряды.

Рассмотрим класс знакочередующихся рядов: (3).

Признак Лейбница.

Если для ряда (3) выполнены условия:

1) невозрастающая;

2)

то ряд (3) сходится и справедлива оценка остатка

Доказательство. Рассмотрим т.е. неубывающая. С другой стороны Итак, последовательность неубывающая и ограниченная сверху и . Для последовательности частичных сумм с нечётными номерами Значит,

Остаётся оценить остаток:

Доказано.

Пример.

расходится

Исходный ряд сходится условно.

5. Ряды вида

1) Преобразование Абеля

Пусть дан ряд (1).

Введём преобразования Абеля

Доказательство.

Доказано.

С помощью преобразования Абеля доказываются следующие признаки сходимости ряда (1).

Признак Дирихле.

Если

1) невозрастающая и стремится к нулю ;

2) ограниченная,

то ряд (1) - сходится.

Доказательство. Воспользуемся критерием Коши и будем оценивать суммы: (по преобразованию Абеля)

и по критерию Коши ряд (1) сходится.

Доказано.

Признак Абеля.

Если

1) монотонная и ограниченная;

2) сходится,

то ряд (1) - сходится.

Доказательство аналогично доказательству признака Дирихле.

Частным случаем признака Дирихле является признак Абеля.

Если монотонно убывает и стремится к нулю, то сходится (2).

ограниченные, значит ряд (2) сходится.

Рассмотрим ряд

Оценим суммы



Справедливы оценки

и по признаку Дирихле ряд сходится.

Задача. Исследовать на сходимость ряд

Указание. Рассмотреть

6. Перестановки числовых рядов

Биекция называется числовой перестановкой N.

Если числовой ряд (1), то ряд вида называется его перестановкой.

Пример. называется его перестановкой.

Если ряд (1) сходится для любой перестановки и к той же сумме, то он называется безусловно сходящимся.

Теорема Римана. Если ряд (1) сходится условно, то и существуют перестановки, для которых представленный ряд расходится.

Введем некоторые обозначения:

Доказательство. Пусть ряд (1) - сходится условно,

В итоге построен ряд . Получили ряд, являющийся перестановкой исходного ряда.

Нужно показать, что эта перестановка сходится к числу S. Возможны четыре случая, пусть тогда

1) ;

2)

3)

4)

Оценим разность в каждом из четырёх случаев.

1)

2)

3)

4)

Доказано.

Ряд (1) называется универсальным относительно перестановок, если

Теорема (об универсальных рядах). Ряд (1) - универсальный относительно перестановок

1)

2)

Следствие: условно сходящийся ряд является универсальным относительно перестановок.

Задача. Проверить выполнение условий (1), (2) теоремы об универсальных рядах для условно сходящегося ряда.

сходимость ряд даламбер коши

противоречие.

Можно определить и другие понятия универсального числового ряда, например, универсальный относительно знака: ряд (1) - универсальный относительно знака, если

Задача. Пусть ряд сходится. Что можно сказать о сходимости рядов

Ряд не обязан сходиться, например

Ряд также не обязан сходиться.

Теорема (о безусловной сходимости). Ряд (1) - сходится безусловно тогда и только тогда, когда ряд (1) сходится абсолютно.

Доказательство. Необходимость.

(1) - сходится безусловно (от противного) (1) - сходится условно (по теореме Римана) (1) - не сходится безусловно - противоречие (1) - сходится абсолютно.

Достаточность.

перестановка

Доказано.

Замечание. Для абсолютно сходящегося ряда модуль суммы будет:

т.к. при

Размещено на Allbest.ru