Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт

(Технический Университет)

Кафедра Прикладной Математики

Группа 383

Учебная Дисциплина: прикладная математика.

Курсовая работа

Тема: «Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне»

Студентки:

Пополитовой А.А.

Преподаватель:

Милованович Е.В.

Санкт-Петербург

2010 г.

Задание на курсовую работу

Тема: Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне.

Цель и задачи работы: Решение практической задачи с использованием различных разделов математики и различных методов в рамках одного и. того же раздела.

Структура аналитического обзора: Физические и математические модели, постановка задачи.

Методы исследования и обработки экспериментальных данных (включая использование ЭВМ): Метод наименьших квадратов, решение краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с использованием ЭВМ.

Рекомендуемая литература: Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне./ЛТИ им. Ленсовета.-Л.,1988.-28с.

Срок представления к защите 29 мая 2010 г

Руководитель Милованович Е.В.

Студент Пополитова А.А.



Оглавление

• Введение. 5
• Аналитический обзор. 5
• Цели и задачи работы 7
• 1.Задача регрессии. Метод наименьших квадратов. 8
• 2. Нахождение значения коэффициента 11
• 2.1 Метод трапеций 12
• 2.2 Метод парабол 14
• 3. Вычисление времени установления режима т₀ 17
• 3.1 Решение уравнения комбинированным методом 17
• 3.2 Решение уравнения методом итераций 20
• 4. Решение краевой задачи. 23
• Заключение. 32
• Список литературы. 33

• Вариант № 94
• Исходные данные:
• 1. Длина стержня L=0,0344 м
• 2. Диаметр стержня D=0,00344м
• 3. Температура потока И=570 °С .
• 4. Температура на концах стержня И₀ =57 °С
• 5. Начальное значение коэффициента теплопроводности =66,05 Вт/(м*К).
• 6. Коэффициент , .
• 7. Значение коэффициента теплоотдачи при =,Вт/(м*К).
• 8. Коэффициент ,
• 9. Время Т=437 , с ,
• 10. Коэффициент ,
• 11. Таблица экспериментальных данных зависимости :

Таблица 1

№	х	U
0	0	106
1	0,00344	104
2	0,00688	99
3	0,01032	89
4	0,01376	75
5	0,01720	57



Введение

Необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа возникает при изучении теплофизических и теплотехнических свойств новых материалов. Это исследование может производиться либо на основании результатов эксперимента, либо путём анализа соответствующей математической модели. В настоящей работе используются оба подхода.

Аналитический обзор

Рассматривается тонкий цилиндрический стержень, изготовленный из исследуемого материала и помещенный в высокотемпературный поток жидкости или газа. На концах стержня поддерживается постоянная температура. Совместим ось абсцисс с продольной осью стержня, помещая начало координат в середине стержня, и обозначим через U(х) функцию, описывающую в установившемся режиме температуру точек стержня с координатой х. Так как стержень предполагается тонким, изменением температуры в направлении, перпендикулярном оси стержня, можно пренебречь.

Первая математическая модель использует экспериментальные данные. При этом измеряют температуры U, в нескольких точках стержня с координатами х_i . Значения U_i считаем случайными величинами с математическими ожиданиями U(х_i). Рассматриваем U(х) как соответствующую функцию регрессии и получаем её оценку, используя методы математической статистики. Учитывая четность U(х), будем искать её в виде многочлена



Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров , , , например, с помощью метода наименьших квадратов. Предполагаем, что x_i измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величин U_i независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией , которая неизвестна. Вторая математическая модель также использует экспериментальные данные. Она заключается в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерения температур U_i пренебрежимо мала.

Третья математическая модель использует законы теплофизики. Можно показать, что искомая функция U (х) удовлетворяет уравнению:

цилиндрический стержень температура регрессия функция

где

-теплопроводность;

- коэффициент теплопередачи;

D- диаметр стержня;

- температура потока, в который помещен стержень.

Ищем U(х) как решение краевой задачи для этого уравнения с граничными условиями:

на отрезке , где

L- длина стержня ;

- постоянная температура, поддерживаемая на концах

стержня.

Цели и задачи работы

Цель работы - освоить альтернативные подходы к решению одной и той же задачи, используя различные разделы курса прикладной математики. Работа содержит 4 этапов:

1) построение оценочной функции регрессии;

2) нахождение значения коэффициента теплоотдачи б с использованием для вычисления интеграла методов трапеций и парабол;

3) определение времени установления режима Т₀ с использованием для решения трансцендентного уравнения методов хорд и касательных;

4) приближённое решение краевой задачи с помощью метода малого параметра и построение графика решения.



1.Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

Ищем распределение температуры в виду:

(1.1)

Оценки коэффициентов ищем методом наименьших квадратов, суть которого заключается в следующем: наилучшими считаются такие оценки , которые обеспечивают минимум суммы квадратов отклонений экспериментальных значений от значений оценочной теоретической функции , вычисленных в точках , то есть в нашем случае должны обеспечивать минимум функции:

(1.2)

Можно доказать, что минимум данной функции достигается, если

В результате преобразований получаем систему:



(1.3)

где (1.4)

Система в принимает вид:

Обозначим матрицу коэффициентов нормальной системы уравнений (4) через р, а обратную матрицу через р^-1

Получим:

°С

°С/м²

°С/м⁴

Также в результате расчетов были получены границы доверительных интервалов:

Результат расчетов для сравнения приведен в Таблице 1.1:

Таблица 1.1

0	106	106.08042
0,00344	104	104.21527
0,00688	99	98.56917
0,01032	89	88.99022
0,01376	75	75.22522
0,01720	57	56.9197

U(рD)= 87.3027

2. Нахождение значения коэффициента

Значение коэффициента вычисляется по формуле:

Преобразовав формулу получим:

(2.1)

Задача сводится к вычислению интеграла:

Найдем сначала допустимую абсолютную погрешность вычисления интеграла . Поскольку требуется, чтобы относительная погрешность вычисления б не превышала 0,1%, то

(2.2)

Из (2.1) очевидно, что , поэтому неравенство (2.2) заведомо будет выполнено, если записать его в таком виде:

(2.3)



Из (2.1) также можно записать:

(2.4)

В результате из (2.3) и (2.4) получаем:

(2.5)

Обозначим предельную допустимую погрешность интервала через :

(2.6)

Вычислять интеграл будем 2 способами:

1. Метод трапеций

2. Метод парабол

2.1 Метод трапеций

Рассмотрим интеграл

Разобьем отрезок интегрирования [a,b] на n равных отрезков длиной точками , . На каждом из образовавшихся маленьких отрезков заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом (Лагранжа) I-ого порядка, график которого прямая:



Геометрическая интерпретация метода трапеций

Рисунок 2.1

В качестве приближенного значения интеграла возьмем сумму площадей образовавшихся трапеций. Обозначим :

(2.7)

Абсолютная погрешность интеграла в методе трапеций оценивается неравенством

, где (2.8)

(2.9)

Если трудно найти , пользуются приближенной практической оценкой погрешности.



В качестве приближенного значения интеграла берем:

(2.10)

(2.11)

Расчет:

Результаты вычислений сведем в таблицу 2.1:

Таблица 2.1

n	Jn	J2n-Jn
4	212.	0.
8	212.

В результате вычислений были получены следующие результаты для данного метода:

Вт/м²

Вт/м²К

2.2 Метод парабол

Рассмотрим интеграл



Разобьем отрезок интегрирования [a,b] на четное число n равных отрезков длиной точками , . На каждом из сдвоенных отрезков: заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом (Лагранжа) II-ого порядка, график которого парабола:

Геометрическая интерпретация метода парабол

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2.2

В качестве приближенного значения интеграла возьмем сумму площадей под параболами, обозначив .

Получаем формулу:

(2.12)

Абсолютная погрешность интеграла в методе парабол оценивается неравенством



, где (2.12)

(2.14

Если трудно найти , пользуются приближенной практической оценкой погрешности.

В качестве приближенного значения интеграла берем:

(2.15)

(2.16)

Расчет

Результаты вычислений сведем в таблицу: 2.2

Таблица 2.2

N	Jn	J2n-Jn
4	21	0.
8	212.	0.
16	212.

В результате вычислений были получены следующие результаты для данного метода:

Вт/м²

Вт/м²К



3. Вычисление времени установления режима Т0

Время Т₀ определяется по формуле

, (3.1)

где о- наименьший положительный корень уравнения

3.1 Решение уравнения комбинированным методом

Проведем сначала отделение корней. Для этого построим два графика:

(3.2)

где

Графическое определение корня

Рисунок 3.1



Графики показывают, что .

Приведем исходное уравнение к виду , положив

.

Найдем значения на концах интервала:

Так как непрерывна и на концах интервала имеет значения противоположного знака, то на данном интервале действительно существует (хотя бы один) корень уравнения.

Найдем производную :

(3.3)

Очевидно, что на данном интервале . Производная сохраняет свой знак. Значит, здесь только один корень уравнения. Найдем вторую производную:

(3.4)

Необходимо убедиться, что на интервале (0,02; 0,04) не меняет знак.



Нетрудно видеть, что на данном интервале - убывающая функция.

Исходя из знаков и , можно заключить, что метод хорд будет давать приближения корня слева:

(3.5)

а метод касательных - справа:

(3.6)

Вычисления будем вести до тех пор, пока не начнет выполняться неравенство

Результаты вычисления сведены в таблицу 3.1:

Таблица 3.1

n
0	0.02	0.04	0.02
1	0.03088	0.03316	0.002278
2	0.03243	0.03245	2.5054410-5
3	0.03245	0.03245	2.9505310-9
4	0.03245	0.03245	0

Таким образом, с погрешностью, меньшей 10^-4, имеем и

3.2 Решение уравнения методом итераций

Приведем уравнение к виду:

Для этого умножим обе часта на произвольное число и добавим к обеим частям x:

(3.7)

Поскольку на отрезке [0.02;0.04] , то в качестве м можно взять

, (3.8)

где ;

(учитывая монотонность ).

Таким образом, можно принять:

Итак, наше уравнение запишем в виде:

,



где

(3.9)

Найдем производную:

(3.10)

Значение

Тогда , следовательно, процесс итерации будет сходящимся. Для достижения заданной точности вычисления будем вести до тех пор, пока не начнет выполняться неравенство:

, (3.11)

где - предельно допустимая абсолютная погрешность вычисления корня и выражение =5.13110^-6

Приближения ищем по формуле:

, n=0,1,2… (3.12)

в качестве возьмем . В результате получим следующую последовательность:

Таблица 3.2

I
0	0.035	2.87103
1	0.0321	3.41110-4
2	0.0325	2.61810-5
3	0.0324	2.14710-6
4	0.0324

Итак с погрешностью, меньшей 10^-4, имеем .

Найдем время установления режима:

Выводы:

Как видно из результатов, значения о - наименьшего положительного корня уравнения , полученные решением двух различных методов (комбинированный метод и метод итераций), полностью совпадают в пределах допустимой погрешности 10^-4.



4.Решение краевой задачи

Используя законы теплофизики можно доказать, что функция U(x), описывающая распределение температуры в стержне в установившемся режиме, удовлетворяет уравнению:

(4.1)

Функцию U(x) ищем как решение краевой задачи для уравнения (4.1) с граничными условиями:

(4.2)

Упростим уравнение (4.1). Для этого перейдем от функции U(x), имеющей размерность температуры, к безразмерной функции

(4.3)

Получим:

(4.4)

Коэффициент теплопроводности представляет собой функцию температуры:

(4.5)

где (4.6)

Делим обе части уравнения (4.6) на и обозначим:

(4.7)

С учетом (4.5) получим:

(4.8)

Из (3.5) и (3.6) имеем: (4.9)

Уравнение (4.8) нелинейное, оно содержит параметр . Поскольку при уравнение становится линейным и легко решается можно искать его приближенное решение методом малого параметра. Ищем решение в виде:

(4.10)

Уравнение (4.8) с граничными условиями (4.9) принимает вид:

к=0,1,2…



Преобразуем уравнение (4.11):

Перегруппируем слагаемые:

Приравнивая слева и справа выражения при одинаковых степенях получим:

1. при :

2. при

В дальнейшем ограничимся двумя первыми членами ряда, т.е. положим:

(4.17)

Решение краевой задачи (4.13)-(4.14)

Общее решение уравнения (4.13) имеет вид:

(4.18)

где - частное решение уравнения (4.13)

- константы

- линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения.

Очевидно, что =1 (4.19)

Для нахождения составим характеристическое уравнение:

Обозначим (4.20)

Таким образом, можно положить:

(4.21)

Формула (4.18) с учетом (4.19) и (4.21) примет вид:

(4.22)

Константы ищем из граничных условий (4.14):

(4.23)

Решая систему (4.23) получим:



(4.24)

Следовательно из (4.22) и (4.24) окончательно получим:

(4.25)

Решение краевой задачи (4.15)-(4.16)

(4.26)

Так как из (4.20) (4.27), то из (4.26) окончательно получаем:

(4.28)

Следовательно, уравнение (4.15) имеет вид:

(4.29)

Его общее решение:

(4.30)

где - частное решение уравнения (4.29)

- константы

Ищем в виде:

(4.31)

Подставим (4.31) в левую часть уравнения (4.29)

(4.32)

Приравнивая выражения (4.32) и правую часть уравнения (4.29)

(4.33)

Найдем константы , приравнивая в левой и правой частях выражение (4.33) коэффициенты при одинаковых функциях

(4.34)

(4.35)

(4.36)

(4.37)

Из формулы (4.22) с учетом (4.35) и (4.36) получаем:

(4.38)



Константы ищем из граничных условий (4.16).

Получаем систему уравнений:

(4.39)

Решая ее находим:

(4.40)

(4.41)

Подставляя (4.29), (4.40) и (4.41) в формулу (4.30) получаем:

(4.42)

Используя формулы (4.25), (4.42) из формулы (4.17) получим:

(4.43)

Переходим от к , используя формулу (4.3), находим:

(4.44)

где

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Таблица 4.1

i	xi	U(xi)
1	0	106.416
2	0.00344	104.482
3	0.00688	98.659
4	0.01032	88.883
5	0.01376	75.048
6	0.0172	57

Составим сравнительную таблицу 4.2 результатов курсовой работы.

Обозначим:

- экспериментальные значения в точках x_i.

- значения оценочной функции регрессии.

- значения, полученные по формуле (4.35) при решении краевой задачи.



Таблица 4.2

0	106	106.661	106.416
0.00344	104	104.708	104.482
0.00688	99	98.832	98.659
0.01032	89	88.983	88.883
0.01376	75	75.078	75.048
0.0172	57	57	57

Рис.4.1 Распределение температуры в тонком цилиндрическом стержне

Заключение

В ходе курсовой работы были выполнены исследования о распределении температуры в тонком цилиндрическом стержне. Они проводились на основании результатов эксперимента (измерения температуры в различных точках стержня), и путем анализа соответствующей математической модели.

В ходе работы было выполнено следующее:

По экспериментальным данным была построена оценка функции регрессии с помощью метода наименьших квадратов.

Предполагая, что ошибки измерения распределены по нормальному закону, найдены доверительные интервалы для коэффициентов при доверительной вероятности 90%.

Используя таблицу вычислено значение в контрольной точке по интерполяционной формуле Лагранжа. Полученное значение совпало с оценкой функции регрессии в пределах допустимой погрешности.

Найдено значение коэффициента б (с относительной погрешностью не более 0,1%), вычислением интеграла (2.1) методом трапеций и парабол. Сравнены полученные значения.

Определено время установления режима , путем нахождения корня уравнения (2.4) с абсолютной погрешностью, не превосходящей 10^-4 (методами хорд, касательных, комбинированным и итераций).

Приближенно решена краевая задача (1)-(2) с помощью метода малого параметра и построен график решения. Был найден также и сравнен со значениями, полученными по интерполяционной формуле Лагранжа.

Список литературы

1. Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне. Курсовая работа №10 по вычислительной математике: Методические указания . ЛТИ им. Ленсовета. - Л., 1988. - с. 29.

2. Учебное пособие кафедры С:\Temp\mathsoft\...

Размещено на Allbest.ru