Векторно-координатный метод решения стереометрических задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет

им. И. Я. Яковлева»

Кафедра геометрии

Векторно-координатный метод решения стереометрических задач

Курсовая работа

Выполнил:

Кашкиров Николай Аркадьевич

Научный руководитель -

кандидат

физико-математических наук

доцент

Столярова Людмила Павловна

Чебоксары 2011

Оглавление

Введение

Глава 1. Основные формулы нахождения расстояний с помощью проекции вектора на ось

1.1 Проекция вектора на ось

1.2 Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости

1.3 Расстояние между скрещивающимися прямыми

1.4 Угол между прямыми

1.5 Угол между прямой и плоскостью

1.6 Угол между плоскостями

Глава 2. Решение метрических задач векторно-координатным методом

Литература

Введение

Векторная алгебра и координатный метод являются основными (базовыми) методами для решения многих геометрических задач и особенно геометрических задач метрического характера. Эти методы сводят геометрическую задачу к алгебраической, решить которую значительно проще, чем геометрическую. Координатный метод решения задач при правильном подходе позволяет решить фактически все виды математических, физических, астрономических, и технических задач. Кроме того, координатный метод в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно. В силу этого, обучение учащихся решению задач координатно-векторным методом должно найти свое место в обучении геометрии. При этом важно раскрыть суть метода на примере рассмотрения выразительной, показывающей достоинство данного метода задачи, дать ориентировочную основу действия для применения этого метода, организовать самостоятельную работу учащихся по решению задач этим методом, выделив их виды. Векторно-координатный метод не требует интуиции, догадок, дополнительных построений: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи. Можно с уверенностью говорить о том, что изучение данного метода является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Необходима методика изучения метода координат, позволяющая учащимся научиться решать разнообразные задачи векторно-координатным методом, однако не показывающая этот метод как основной для решения геометрических задач. В своей работе я поставил задачу показать, как решаются стереометрические задачи, если на них взглянуть «по-иному», то есть рассмотреть задачу в трехмерной системе координат. Итак, цели данной работы:

· раскрыть содержание метода, рассказать основные формулы и теоремы,

· показать применение метода при решении конкретных задач,

· решить сложные стереометрические задачи с использованием векторно-координатного метода.

Глава I. Основные формулы нахождения расстояний с помощью проекции вектора на ось

1.1 Проекция вектора на ось

Определение 1. На плоскости параллельной проекцией точки А на ось l называется точка - точка пересечения оси l с прямой, проведенной через точку А параллельно вектору , задающему направление проектирования.

Определение 2. Параллельной проекцией вектора на ось l (на вектор ) называется координата вектора , относительно базиса оси l, где точки и - параллельные проекции соответственно точек А и В на ось l (рис. 1).

Согласно определению имеем

.

Определение 3. если и базис оси l декартов, то есть , то проекция вектора на ось l называется ортогональной (рис. 2).

Рис. 2

В пространстве определение 2 проекции вектора на ось остается в силе, только направление проектирования задается двумя неколлинеарными векторами (рис. 3).

Рис. 3

Из определения проекции вектора на ось вытекает, что каждая координата вектора есть проекция этого вектора на ось, определяемую соответствующим базисным вектором. При этом направление проектирования задается двумя другими базисными векторами, если проектирование ведется (рассматривается) в пространстве, или другим базисным вектором, если проектирование рассматривается на плоскости (рис. 4).

Рис. 4

,

,

.

Теорема 1. Ортогональная проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между положительным направлением оси l и , т. е.

.(1)

?.

Рис. 5

С другой стороны

.(2)

Из находим

.(3)

Подставив АС в равенство (2), получим

.(4)

Так как числа xи одного знака в обоих рассматриваемых случаях ((рис. 5, а) ; (рис. 5, б) , то из равенства (4) следует

¦(5)

Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать только ортогональную проекцию вектора на ось и поэтому слово «орт» (ортогональная) в обозначении будем опускать.

Приведем ряд формул, которые используются в дальнейшем при решении задач.

а)Проекция вектора на ось.

Если , то ортогональная проекция на вектор согласно формуле (5) имеет вид

.(6)

б).

Поэтому

, .(7)

в) Расстояние от точки до плоскости.

Рис. 6

Пусть б - данная плоскость с нормальным вектором , M - данная точка,

d - расстояние от точки М до плоскости б (рис. 6).

Если N- произвольная точка плоскости б, а и - проекции точек Mи Nна ось , то

(8)

г) Расстояние между скрещивающимися прямыми.



Рис. 7

Пусть а и b- данные скрещивающиеся прямые, - перпендикулярный им вектор, А и В - произвольные точки прямых а и b соответственно (рис. 7), и - проекции точек Aи Bна , тогда

.(9)

д) Расстояние от точки до прямой.

Пусть l- данная прямая с направляющим вектором , M - данная точка,

N - ее проекция на прямую l, тогда - искомое расстояние (рис. 8).

Если А - произвольная точка прямой l, то в прямоугольном треугольнике MNAгипотенуза MAи катет могут быть найдены. Значит,

.



Рис. 8

е) Угол между прямой и плоскостью.

Рис. 9

Пусть - направляющий вектор данной прямой l, - нормальный вектор данной плоскости б, - проекция прямой l на плоскость б (рис. 9).

Как известно, угол ц между прямой l и ее проекцией на плоскость б называется углом между прямой и плоскостью. Имеем

.(10)

Приведем примеры решения метрических задач векторно-координатным методом.

1.2 Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости

Задача 1.1. Дан куб , длина ребра которого равна 4. Точки MN соответственно середины ребер и . Найти: расстояние от точки М до прямой AN; расстояние от точки М до плоскости, проходящей через прямую AN и параллельной прямой BD.

_ Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 10.

Относительно выбранной системы координат имеем:

B (0;0;0), A (4;0;0), D (4;4;0), N (2;0;4), M (0;2;4),

Найдем расстояние от точки М до прямой AN двумя способами.

_1-й способ. Пусть - ортогональная проекция точки М на прямуюAN. Тогда

Рис. 10

Исходя из формулы (7) имеем

.

Длина отрезка

.

По теореме Пифагора из находим

.

_ 2-й способ. Проведем через точку М плоскость (как известно, такая плоскость единственная) и пусть (рис. 10).

а) Так как, то - нормальный вектор плоскости . Уравнение плоскости получим по ее нормальному вектору и точке М:

(11)

б) Теперь найдем координаты точки . Действительно,

(12)

Параметр tопределим из условия, что точка . Подставляя координаты точки (12) в уравнение (11), получим t=6/5. Отсюда в силу равенств (12), имеем .

Поскольку , то - искомое расстояние. По координатам точек и М вычисляем расстояние от точки М до прямой AN:

,

Перейдем к нахождению расстояния от точки М до плоскости б, где б.

_ 1-й способ.

а) Пусть - нормальный вектор плоскости б, т. е.

от точки M до плоскости вычислим по формуле (8). Для этого нужно знать координаты какой-нибудь точки плоскости . Нам известны две точки A(4;0;0) иN (2;0;4) на прямой AN. Итак, если взять точку A, то:

Аналогичный результат получим, если на плоскости взять точку Nили, вообще, любую иную точку плоскости. Действительно. и поэтому

В качестве упражнения (задачи) можно вывести формулу расстояния от точки до плоскости, используя свойства скалярного умножения векторов.

Дано:

Найти: - расстояние от точки А до плоскости .

_ Пусть , где - ортогональная проекция точки А на плоскости (рис. 11).

Рис. 11

Имеем: 1) - нормальный вектор плоскости

По определению скалярного произведения векторов находим:

,(13)

причём знак «плюс» берётся, когда , а знак «минус» .

2) .(14)

3) Теперь выразим скалярное произведение через координаты, учитывая равенство (14):

.(15)

Берём по модулю обе части в равенствах (13) и (15) и, приравнивая правые части, получим:

.(16)

_ 2-й способ. Сначала найдём уравнение плоскости по её нормальному вектору и начальной точке А(4; 0; 0):

По формуле (16) вычисляем расстояние от точки М(0; 2; 4) до плоскости .

Ответ:1) 2) .?

1.3 Расстояние между скрещивающимися прямыми

Задача 1.2. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный со стороной, равной 2. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и SA=1. Точки P и Q соответственно середины рёбер SB и CB. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми SP иAQ.

_Построим прямоугольную систему координат так, как указано на рис. 12.

Рис. 12

_1-й способ.

а) В этой системе координат находим:

Отсюда следует, что

б) Пусть [MN] - общий перпендикуляр прямых SP и AQ (рис. 12).

По правилу многоугольника сложения векторов:

Учитывая, что

получим

.(17)

в) По свойству общего перпендикуляра прямых:

Из (17), в силу соотношений (18), окончательно имеем

Отсюда

_ 2-й способ.

Известно, что скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях. Пусть , а (рис.13). Тогда расстояние d =MN между плоскостями и есть расстояние между скрещивающимися прямыми CP и AQ.

а) Вводим систему координат так же как в пункте 1 а) и находим

.

Рис. 13

б) Пусть - нормальный вектор плоскостей и в.

В силу этого имеем

в) Берём любые две точки на скрещивающихся прямых, например , и по формуле (9) вычисляем расстояние между этими прямыми:

Ответ: .

1.4 Угол между прямыми

Задача 1.3. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, боковые рёбра которой наклонены к плоскости основания под углом точка К - середина ребра BS. Найти угол между прямыми AK и SC.

_Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рис. 14

Рис. 14

а) Пусть SC = m, тогда из прямоугольного треугольника SOC:



Относительно выбранной системы координат определим координаты точек A, B, S, C:

б) Угол между прямыми AKи SC найдём, если будем знать векторы -направляющие векторы этих прямых.

Координаты точек вычисляем по координатам точек и :

По теореме о середине отрезка (центроида отрезка):

Так как , то

Пусть - величина угла между прямымиAK и SC. Тогда

Ответ:.

Задача 1.4. На рёбрах и куба взяты соответственно точки P и Q такие, что BP: , . Плоскость, проходящая через точки A, P и Q пересекает прямые и соответственно в точках E и F. Найти угол между прямыми EF и .

Рис. 15

_При гомотетии величины углов между геометрическими объектами (между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью) не меняются. Поэтому куб можно взять произвольного размера. Так как по условию ребро куба делится точкой P в отношении 2:1 точкой Q в отношении 1:3 то, удобно например длину ребра куба взять равную 12 (единицам).

Построение сечения куба:

Точки A, P и Q мы можем построить, исходя из условия задачи. Точки A и P лежат на одной грани, поэтому отрезок AP будет являться линией пересечения плоскости сечения с гранью . Противоположная ей грань будет пересекаться с сечением по прямой, параллельной прямой АР (Свойство параллельных плоскостей: прямые, по которым две параллельные плоскости пересекают третью плоскость, параллельны). Проведем через точку Q прямую, параллельную прямой АР и обозначим точку Е пересечения её с ребром . Тогда QE - линия пересечения плоскости сечения с гранью . Аналогичным образом получаем точку F, проведя через точку Р прямую, параллельную прямой АЕ.

а) Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 15. Относительно выбранной системы координат найдём координаты точек и векторов:

б) Уравнение плоскости определим по её нормальному вектору и начальной точке. За начальную точку из плоскости можно взять любую из точек A, P, Q, а нормальный вектор найдём из условий:

Уравнение плоскости имеет вид

(19)

, а ,

в) Вычислим координаты точек Eи F. Поскольку точка , то две её координаты известны: x=12, y=12, так как

Координату zточки Eнайдём из условия, что точка

Итак, E(12; 12; 6)

Аналогично, , а . Отсюда следует, что x=0, z=12. Подставляя координаты точки F в уравнение плоскости (19), получим y=8. Значит, F(0; 8; 12).

Вектор и - направляющие векторы соответственно прямых EFи . Пусть - величина угла между прямыми EF и .

Тогда

Отсюда следует, что

Ответ: .?

1.5 Угол между прямой и плоскостью

Задача 1.5. Дан правильный тетраэдр SABC, M, N - середины соответственно рёбер AB и SC. Найти угол между прямой AB и плоскостью, параллельный прямым SM и BN.

а) плоскостей параллельных прямых SM и BN можно провести (существует) бесконечное множество. Нетрудно показать, что прямаяABпересекает все эти параллельные плоскости под одним и тем же углом.

Пусть плоскость - одна из этих плоскостей и пусть АВ образует с плоскостью угол . Для вычисления угла , как следует из формулы (10), достаточно знать направляющей вектор прямой АВ и нормальный вектор плоскости Кстати. Нормальный вектор плоскости является нормальным вектором каждой из плоскостей, параллельных плоскости

б) Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 16. При гомотетии угол между прямой и плоскостью не меняется. Поэтому длину ребра тетраэдра можно выбрать произвольно.

Рис. 16

Пусть АВ=2. Выполним предварительно некоторые вычисления:

1)Из находим

Отсюда

Учитывая, что - правильный и точка О - точка пересечения меридиан , имеем

2) По теореме Пифагора из :

3) NF - средняя линия , поэтому

Относительно выбранной системы координат теперь можем найти координаты точек и векторов

в) Нормальный вектор плоскости найдем из условий:

г) В силу формулы (10) имеем:

Следовательно,



Ответ: .?

1.6 Угол между плоскостями

Задача 1.6. Дан куб . M, N, P - середины соответственно рёбер , AB, BC. Найти угол между плоскостями (MNP) и

а) Введем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 17. Длину ребра куба можно выбрать произвольно, поскольку при гомотетии величина угла между плоскостями не меняется. Удобно, например, взять длину ребра куба, равную 2.

Относительно выбранной системы координат найдем координаты точек и векторов:

б) Пусть - нормальный вектор плоскости .

В этом случае выполняются условия



Рис. 17

Аналогично, если - нормальный вектор плоскости , тогда

в) Если , то

Откуда

Ответ:

Задача 1.7. В основании правильной треугольной пирамиды SABC лежит правильный со стороной, равной 2. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и SA = 1. Точки P, Q - соответственно середины ребер SB, СВ. Плоскость параллельна прямым SC и АВ, а плоскость параллельна прямым AQ и СР. Определить величину угла между плоскостями и .

а) Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 18. В выбранной системе координат имеем:

Рис. 18

б) - нормальный вектор плоскости , параллельной прямым SCи AB. тогда выполняются условия:

в) Обозначим через плоскость, которая параллельна прямым AQи CP, а через - ее нормальный вектор. В этом случае получаем систему вида

г) Если, то

Следовательно,

Ответ: .?

Глава II. Решение метрических задач векторно-координатным методом

Задача 2.1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD двугранный угол при основании равен . Точки M и N - середины боковых ребер SB и SC. Найдите угол между прямыми AM и BN.

_Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рис. 19

Рис. 19

Пусть AB = a, тогда OK = a/2 и из прямоугольного треугольника SOK:

Относительно выбранной системы координат определим координаты точек A, B, S, C:

Угол между прямыми AM и BN найдём, если будем знать векторы - направляющие векторы этих прямых.

По теореме о середине отрезка (центроида отрезка):

Так как , то

Аналогично

Так как , то

Пусть - величина угла между прямыми AM и BN. Тогда



Ответ:.

Задача 2.2. Ребро куба имеет длину а. На диагоналях и лежат соответственно точки М и К так, что . Найдите расстояние от вершины С до прямой МК.

Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 20.

Относительно выбранной системы координат имеем:

Найдем расстояние от точки C до прямой MK.

Пусть - ортогональная проекция точки C на прямую MK. Тогда

Рис. 20



По теореме Пифагора из находим

Ответ: .

Задача 2.3. Дан куб . Точка К - середина ребра , L - середина ребра AD, M - центр грани . Докажите, что прямые КМ и взаимно перпендикулярны.

Рис. 21

При гомотетии величины углов между геометрическими объектами (между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью) не меняются. Поэтому куб можно взять произвольного размера. Пусть ребро куба равно 2 (единицам).

Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 21. Относительно выбранной системы координат найдём координаты точек и векторов:

Векторы и - направляющие векторы соответственно прямых и KM. Пусть - величина угла между прямыми и KM.

Тогда

Отсюда следует, что

Задача 2.4. Ребро куба имеет длину а. Найдите угол между прямой и плоскостью.

Рис. 22

Пусть - искомый угол. Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 22. Относительно выбранной системы координат теперь можем найти координаты точек и векторов:

Нормальный вектор плоскости найдем из условий:

В силу формулы (10) имеем:

Следовательно,

Ответ: .

Задача 2.5. Дана прямая треугольная призма , основание которой правильный треугольник со стороной, равной 4. Точка М - середина стороны АВ. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми СМ и , если =6.

Известно, что скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях. Пусть , а (рис.24). Тогда расстояние d = PQ между плоскостями и есть расстояние между скрещивающимися прямыми СМ и .

Построим прямоугольную систему координат так, как указано на рис. 23. В этой системе координат находим:

Пусть - нормальный вектор плоскостей и в.

В силу этого имеем:

Рис. 23



Рис. 24

Берём любые две точки на скрещивающихся прямых, например , и по формуле (9) вычисляем расстояние между этими прямыми:

Ответ: .

Задача 2.6. В основании четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной, равной 4, ребро SB перпендикулярно плоскости основания и равно 5. Точки L и K - середины соответственно ребер AS и CD. Найдите угол между прямой АВ плоскостью, параллельной прямым LD и BK.

Плоскостей, параллельных прямых LD и BK, можно провести (существует) бесконечное множество. Нетрудно показать, что прямая AB пересекает все эти параллельные плоскости под одним и тем же углом.

Пусть плоскость - одна из этих плоскостей и пусть АВ образует с плоскостью угол . Для вычисления угла , как следует из формулы (10), достаточно знать направляющей вектор прямой АВ и нормальный вектор плоскости Кстати, нормальный вектор плоскости является нормальным вектором каждой из плоскостей, параллельных плоскости

Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 25.

Рис. 25

Относительно выбранной системы координат теперь можем найти координаты точек и векторов:

Нормальный вектор плоскости найдем из условий:

.

В силу формулы (10) имеем:

Следовательно,

Ответ: .

Литература

проекция векторный координатный метрический

1. Попов Ю. Н. Стереометрия. Методы и приемы решения задач, Калининград, Изд. Российского государственного университета, 2010 г., гл II, стр. 48-72.

2. Математика в школе №4 (2011). Холева О. В. Нахождение углов между прямыми и плоскостями (координатно-векторный метод).

3. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс, М.: Просвещение, 2008 г.

4. Гусев В. А. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. вузов, М.: AcademiA, 2004 г.

Размещено на Allbest.ru