Геометрическая алгебра

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Реферат

по дисциплине: «История развития математики»

на тему: «Геометрическая алгебра»

Нижний Новгород 2011

Введение

Древние египтяне и вавилоняне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. Они не знали ни отрицательных чисел, ни, тем более комплексных. Поэтому уравнения, не имеющие положительных корней, ими не рассматривались. Все задачи и их решения излагались словесно.

В одной из клинописных табличек встречается такая задача: “Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870” (можно догадаться, что речь идет о квадратном уравнении x2-x=870).

Его решение, опираясь на текст в табличке, рекомендуется искать следующим образом: “Ты берешь 1, число. Делишь 1 пополам, это ?. Умножаешь ? на ?, это. Ты складываешь это с 870, и это есть 3981/4, что является квадратом для 59/2.Ты складываешь ?, которую ты умножал, с 59/2, получаешь 30, сторона квадрата”.

В оригинальной табличке все числа записаны в 60-ричной системе счисления, а уже после расшифровки переведены в десятичную систему. В привычных для нас обозначениях предложенные действия принимают вид:

В этой записи угадывается формула вычисления корней приведенного квадратного уравнения.

Математика Древней Греции

Во времена Пифагора и ранних пифагорейцев руководящую высоту в греческой математике занимало понятие числа. Пифагорейцы считали: Бог положил числа в основу мирового порядка. Однако примерно в V веке до н.э. были открыты так называемые “несоизмеримые отрезки” - такие отрезки, у которых отношение длин не выражается никаким отношением целых чисел (рациональным числом). Ярким примером является диагональ квадрата единичной стороны. Мы знаем, что это , но тогда не было иррациональных чисел, и придуманы они будут гораздо позднее.

Это открытие потрясло основы пифагорейской философии. Получалось, что число не всемогуще, так как существуют отрезки, отношение которых не выражается отношением целых чисел (а других чисел пифагорейцы не знали). Не решаясь изменить свою трактовку числа, пифагорейцы перешли из области чисел в область геометрических величин, построив соответствующее исчисление. Для построения такого исчисления пифагорейская математика располагала всем необходимым. Нужно было только изменить взгляд на роль чертежей, превратив их из средства наглядности в основной элемент алгебры, и логически расположить весь имеющийся материал. Такой подход и зародил так называемую “Геометрическую алгебру”.

Геометрическая алгебра в современности

Основной источник трудов по Геометрической Алгебре, дошедший до нас - I-е и II-е “Начала” Евклида (касательно геом. алгебры - в основном 2-я книга), датирующиеся примерно 300 годом до нашей эры. На основе данных трудов строится вся классическая геометрия, которая изучается в школьном курсе математики (в виде Планиметрии и Стереометрии). А многие утверждения, кажущиеся алгебраическими, которые мы знаем как алгебраические равенства, были известны грекам в геометрической формулировке как отношения между длинами, площадями, объемами построенных определенным образом фигур.

Например, известные формулы сокращённого умножения

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и (a + b)(a - b) = a2 - b2

проиллюстрированы у Евклида следующим образом:

Рис. 1 - Квадрат суммы

Рис. 2 - Разность квадратов

математика пифагор геометрический алгебра

*(a + b)(a - b) = ACGE = ABFE + BCGF = BDHF + GHKI = BDKI - FGJI = a2 + b2

Из геометрии пришли названия 2-й и 3-й степеней числа как “квадрат” и “куб”. Очевидно, что a2 является площадью квадрата со стороной a, соответственно a3 - объёмом куба со стороной a. Так эти названия сложились исторически.

Геометрически был объяснён и дистрибутивный закон умножения:

Рис. 3 - Дистрибутивный закон

Наконец, была операция, эквивалентная извлечению квадратного корня из некоторого S, то есть решению уравнения x2 = S. В геометрических терминах - требовалось найти сторону (x) квадрата, равновеликого данному многоугольнику (площади S). Для этого вначале строился прямоугольник BCDE, равновеликий данному многоугольнику; если он оказался квадратом, то задача решена, если же нет, то большая сторона (пусть это будет BE) продлевалась на отрезок EI = ED. Затем находилась середина H отрезка BI и строилась окружность на отрезке BI как на диаметре. Если она пересекала продолжение прямую DE в точке G, то отрезок EG и был искомой стороной квадрата. В самом деле, по теореме Пифагора EH2 + EG2 = GH2 (в древнегреческих терминах «квадрат на GH равен сумме квадратов на EH и EG»), или EG2 = GH2 - EH2 = (GH - EH) (GH + EH) = (IH - EH) (BH + EH) = EI • BE = ED • BE = SBCDE.

Рис. 4

Евклид излагает это доказательство в книге II - до теории пропорций и подобных фигур. Если же знать эту теорию, то доказательство получается еще проще. Угол BGI прямой (как опирающийся на диаметр), треугольник BGI, с одной стороны, подобен треугольнику BEG (по двум углам - прямому и общему), а с другой стороны, подобен треугольнику GEI (аналогично), поэтому треугольники BEG и GEI подобны между собой и BE / EG = GE / EI, откуда EG2 = BE • EI = BE • ED = SBCDE.

Рис. 5 - Высота прямоугольного треугольника равна среднему геометрическому проекций его катетов

Отметим, что аналогичная операция существует и для трехмерного пространства - построение куба, равновеликого данному прямоугольному параллелепипеду - в общем случае неразрешима с помощью циркуля и линейки.

Ясно, что если даже эти простейшие алгебраические соотношения требуют в геометрической трактовке определенных усилий для понимания формулировки теоремы и изобретательности для ее доказательства, то далеко по этому пути продвинуться невозможно. Во всем, что касается собственно геометрии, греки проявили себя как искуснейшие мастера. Но это уже относится собственно к геометрии и изложено в III - XIII книгах “Начал” Евклида. А та линия развития математики, которая началась с алгебры, а затем породила анализ бесконечно малых и современные аксиоматические теории, т.е. линия, связанная с использованием не языка фигур, а языка символов, оказалась им совершенно недоступной. Греческая математика осталась ограниченной, сдавленной узкими рамками понятий, имеющих наглядный геометрический смысл.

Литература

1. Числа и величины в древнегреческой математике. «Геометрическая алгебра».

2. Турчин В.Ф. Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции. Изд. 2-е - М.: ЭТС. - 2000. - 368 с.

3. Ресурсы сайта “Машина времени. Геометрическая алгебра”.

Размещено на Allbest.ru