Основные виды уравнений, содержащих параметр

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основные виды уравнений, содержащих параметр

Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр, можно объединить в одну группу - группу уравнений с параметром не выше второй степени.

Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом . Для таких уравнений всякое частное уравнение не выше второй степени принадлежит одному из следующих типов:

1. , тогда ,

2. и , тогда решений нет,

3. и , тогда ,

4. , , тогда ,

5. , , тогда решений нет,

6. , , тогда .

Контрольные значения параметра определяются уравнением . На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов.

Тогда решением всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

1. На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

2. На области допустимых значений параметра исходного уравнения при помощи равносильных преобразований приводится к виду .

3. Выделяют множество контрольных значений параметра, для которых .

Если уравнение имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам.

На бесконечном множестве решений уравнения проводится решение уравнения , выделяются типы бесконечных и пустых особых частных уравнений. Множеству значений параметра, для которых и , соответствует третий тип не особых частных уравнений.

4. Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень .

5. Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта.

Множеству значений параметра, для которых и , соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значений параметра из множества, где и , частные уравнения имеют два различных действительных корня.

Пример. Решить уравнение

2а•(а-2)•х = а-2. (2)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются, а=0 и а=2. При этих значениях параметра а, невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а?0 и а?2 деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

A₁={0}, А₂={2} и А₃= {а?0, а?2}

и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т.е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=0; 2) а=2; 3) а?0, а?2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0•х=2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0•х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а?0, а?2 уравнение соответствует третьему типу откуда х ==.

0 твет: 1) если а=0, то корней нет;

2) если а=2, то х - любое действительное число;

3) если а?0, а?2, то х = .

Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр, сводящиеся к линейным

Процесс решения дробно-рациональных уравнений протекает по обычной схеме: данное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы посторонние корни исключить, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решать соответствующие уравнения относительно параметра (см. [Ошибка! Источник ссылки не найден.]).

Пример. Решить уравнение

. (4)

Решение. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а?0, то после преобразований уравнение (4) примет вид:

х²+2 (1 - а) х +а² - 2а - 3=0. (5)

Найдем дискриминант уравнения (5) = (1 - a)² - (a² - 2а - 3) = 4. Находим корни уравнения (5): х₁ =а + 1, х₂ = а - 3. При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых х₁+1=0, х₁+2=0, х₂+1=0, х₂+2=0.

Если х₁+1=0, т.е. (а+1)+1=0, то а = - 2.

Таким образом, при а = - 2 х₁-посторонний корень уравнения (4).

Если х₁+2=0, т.е. (а+1)+2=0, то а = - 3.

Таким образом, при а = - 3 x₁ - посторонний корень уравнения (4).

Если х₂+1 =0, т.е. (а-3)+1=0, то а=2.

Таким образом, при а=2 х₂ - посторонний корень уравнения (4)'.

Если х₂+2=0, т.е. (а - 3)+2=0, то а=1.

Таким образом, при а = 1 х₂ - посторонний корень уравнения (4).

При а = - 3 получаем х= - 6; при a = - 2 х = - 5;

При a=1 х = 1+1=2; при a=2 х=2+1=3. Итак, можно записать

Ответ: 1) если a = - 3, то х = - 6;

2) если a = -2, то х = - 5;

3) если a=0, то корней нет;

4) если a = 1, то х=2;

5) если а=2, то х=3;

6) если , то х₁ = а + 1, х₂ = а - 3.

Иррациональные уравнения, содержащие параметр

1. ограничение области определения неизвестной х, так как она меняется в зависимости от значения параметра.

2. в решении уравнений вида при возведении в квадрат необходимо учитывать знак и проводить проверку корней.

При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат мы переходим к решению квадратного уравнения с параметром.

Рассмотрим несколько примеров и попробуем заметить эти особенности при решении.

Пример. Решить уравнение

х - = 1. (6)

Решение: метод решения: возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

(7)

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:

2х² - 2х + (1 - а) = 0, D = 2а - 1.

Особое значение: а = 0,5. Отсюда:

1) при а > 0,5 х_1,2 = 0,5•(1 ± );

2) при а = 0,5 х = 0,5;

3) при а <0,5 уравнение не имеет решений.

Проверка:

1) при подстановке х = 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (7) и уравнения (6).

2) при подстановке х₂ = 0,5 (1 - ) в (7) получим:

-0,5 (1 + ) =

Так как левая часть равенства отрицательна, то х₂ не удовлетворяет исходному уравнению.

3) Подставим х₁ = 0,5 (1 + ) в уравнение (7):

.

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

.

Имеем истинное равенство при условии, что .

Это условие выполняется, если а?1. Так как равенство истинно при а?1, а х₁ может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х₁ - корень уравнения при а?1.

Ответ.

1. при а ? 1 х = 0,5•(1 + );

2. при а <1 уравнение не имеет решений

Показательные уравнения, содержащие параметр

Большинство показательных уравнений с параметрами сводится к показательным уравнениям вида: а ^{f (x)} = b ^ц(х) (*), где а>0, b>0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и ц (х). Для решения уравнения (*) необходимо рассмотреть следующие случаи:

1) При а=b=1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.

2) При а=1, b?1 решением уравнения (*) служит решение уравнения ц(х)=0 на области допустимых значений D.

3) При а?1, b=1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.

4) При а=b (а>0, а?1, b>0, b?1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = ц(х) на области D.

5) При а?b (а>0, а?1, b>0, b?1) уравнение (*) тождественно уравнению (c>0, c?1) на области D (см. [Ошибка! Источник ссылки не найден.]).

Пример. Решить уравнение: а ^{х + 1} = b ^{3 - х}

Решение. ОДЗ уравнения: х R, а > 0, b >0.

1) При а ? 0, b ? 0 уравнение не имеет смысла;

2) При а = b = 1, х R;

3) При а = 1, b ? 1 имеем: b ^{3 - х} = 1 или 3-х = 0 х = 3;

4) При а ? 1, b = 1 получим: а ^{х + 1} = 1 или х + 1 = 0 х = -1;

5) При а = b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) имеем: х + 1 =3-х х = 1;

6) При , получим: уравнение , которое не имеет решения;

7) При а ? b и (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию а, получим:

, х + 1 = (3-х) log _a b, .

Ответ: при а ? 0, b ? 0 или , уравнение не имеет решений;

при а = b = 1, х R;

при а = 1, b ? 1 х = 3;

при а ? 1, b = 1 х = -1;

при а = b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) х = 1;

при а ? b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) .

Логарифмические уравнения, содержащие параметр

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения (см. [Ошибка! Источник ссылки не найден.]).

Пример. Решить уравнение

2 - log (1 + х) = 3 log _а - log (х ² - 1)².

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ? 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log _а а² + log _a(х² - 1) = log _а () ³ + log _a,

log _а (а² (х² - 1)) = log _а (() ³),

а² (х² - 1) = (х - 1) ,

а² (х - 1) (х + 1) = (х - 1) .

Так как х ? -1 и х ? 1, сократим обе части уравнения на (х - 1) и на . Тогда получим = .

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а⁴ (х + 1) = х - 1 а⁴ х + а⁴ = х - 1 х (1 - а⁴) = а⁴ + 1.

Так как а ? -1 и а ? 1, то .

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть .

Выясним, при каких значениях параметра а, это неравенство истинно:

, .

квадратный уравнение дробный логарифмический

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 - а⁴ > 0, то есть при а < 1.

Итак, при 0 < a < 1 x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.

Ответ: при а ? 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;

при а > 1 решений нет;

при 0 < a < 1 .

Замечание: Тригонометрические уравнения, содержащие параметр, не рассматриваем, то есть, не рассматриваем методы решения уравнений такого вида, так как существует большое количество специфических методов решения, именно, тригонометрических уравнений, содержащих параметр. Для этих методов существует большое количество материала, исследование которого может рассматриваться, как отдельная тема.

Размещено на Allbest.ru