Равносильные уравнения и неравенства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Богучарский филиал ВГПГК

Реферат по математике:

Равносильные уравнения и неравенства

Выполнил:

Студент 1 курса, гр.КК-113б

Новиков Андрей

Проверил преподаватель:

Семеняченко Т.В.

1. Равносильные уравнения. Следствия уравнений

При решении уравнений выполняются различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными.

Определение: Уравнение

f(x)=g(x)

равносильно уравнению

f1(x)=g1(x),

если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.

Например, уравнения 3x-6=0; 2х-1=3 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х=2.

Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными.

Тот факт, что уравнения

f(x)=g(x) и f1(x)=g1(x)

равносильны, обозначают так:

f(x)=g(x) f1(x)=g1(x)

В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство: Докажем, что уравнение

f(x) = g(x)+q(x) (1)

равносильно уравнению

f(x) - q(x) = g(x) (2)

Пусть х=а - корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство

f(a)=g(a)+q(a)

Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство

f(a)-q(a)=g(a)

показывающее, что а - корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1).

Что и требовалось доказать.

Теорема 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство: докажем, что уравнение

6х-3=0

равносильно уравнению

2х-1=0

решим уравнение

6х-3=0

и уравнение

2х-1=0

6х=3 2х=1

х=0,5 х=0,5

так как корни уравнений равны, то уравнения равносильны.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим уравнение

ОДЗ этого уравнения {х ? 1, х ? -3}

Мы знаем, что дробь равна нулю в том случае, когда ее числитель равен нулю, т.е.

х?+х-2=0,

а знаменатель не равен 0. Решая уравнение

х?+х-2=0,

находим корни х1=1, х2 = -2 . Но число 1 не входит в ОДЗ данного уравнения и значит, исходное уравнение имеет один корень х=-2.

В этом случае говорят, что уравнение

х?+х-2=0,

есть следствие уравнения

пусть даны два уравнения:

f1 (x) = g1 (x) (3)

f2 (x) = g2 (x) (4)

Если каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то уравнение (4) называют следствием уравнения (3).

Этот факт записывают так:

В том случае, когда уравнение (3) - есть также следствие уравнения (4), эти уравнения равносильны.

Два уравнения равносильны в том, и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого.

В приведенном выше примере уравнение - следствие

х?+х-2=0,

имеет два корня x1=1 и х2 =-2, а исходное уравнение имеет один корень х=-2. В этом случае корень х=1 называют посторонним для исходного уравнения

В общем случае корни уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения, называют посторонними.

Итак, если при решении уравнения происходит переход к уравнению - следствию, то могли появиться посторонние корни. В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить, подставляя их в исходное уравнение. В некоторых случаях выявление посторонних корней облегчается знанием ОДЗ исходного уравнения - корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу отбросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х=1 не входит в ОДЗ уравнения

и потому отброшен.

Иногда посторонние корни могут появиться и при тождественных преобразованиях, если они приводят к изменению ОДЗ уравнения. Например, после приведения подобных членов в левой части уравнения

ОДЗ которого {х -2},

В тех случаях, когда в результате преобразований произошел переход от исходного уравнения к уравнению, не являющемуся его следствием, возможна потеря корней.

Например, уравнение

(х+1)(х+3)= х+1 (5)

Имеет два корня. Действительно, перенося все члены уравнения в левую часть и вынося х+1 за скобки, получим

(х+1)(х+2)=0,

откуда находим

х1=-1, х2=-2

Если же обе части уравнения (5) разделить («сократить») на х+1, то получим уравнение

х+3=1,

имеющее один корень х=-2. В результате такого преобразования корень х=-1 потерян. Поэтому делить обе части уравнения на выражение, содержащее переменную, можно лишь в том случае, когда это выражение отлично от нуля.

Для того, чтобы в процессе решения уравнения избежать потери корней, необходимо следить за тем, чтобы переход осуществлялся либо к равносильным уравнениям, либо к уравнениям-следствиям.

2. Правила преобразования уравнений

Правило 1. Если выражение p(x) определено при всех x , при которых определены выражения f(x) и g(x), то уравнения

f(x) =g(x) и f(x) + p(x) = g(x) + p(x)

равносильны.

В частности,

f(x) = g(x) f(x) - g(x) = 0.

Здесь

p(x) = - g(x).

То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

Правило 2. Если выражение p(x) определено при всех x , при которых определены выражения f(x) и g(x), то любое решение уравнения

f(x) = g(x)

будет и решением урвнения

f(x) · p(x) = g(x) ·p(x).

Значит, что

f(x)=g(x)f(x)(x)=g(x)(x)

является решением уравнения

Замечание. Естественно, уравнение

f(x) · p(x) = g(x) · p(x)

имеет больше корней, чем уравнение

f(x) = g(x),

например, его корнями будут ещё и корни уравнения p(x) = 0.Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней.Если же p(x) таково, что p(x) = 0 для тех x , для которых определены функции f(x) и g(x), то

f(x)=g(x)f(x)(x)=g(x)(x)

Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

Правило 3. Каждое решение уравнения

f(x) = g(x)

является решением уравнения

(f(x)) n = (g(x)) n

при любом натуральном n, то есть

f(x) = g(x) (f(x)) n = (g(x)) n

При этом, если n нечетного

(n = 2 k + 1),

то можно поставить знак равносильности:

f(x) = g(x) (f(x)) 2k +1 = (g(x)) 2k + 1

Для четных

n (n = 2k)

справедливо только

f(x) = g(x) (f(x)) 2k= (g(x))2k

Правило 4. Каждое решение уравнения

f (x) · g(x) = 0

является решением, по крайней мере, одного из уравнений: f(x) = 0 или g(x) = 0.

Другими словами, из уравнения

f(x) · g(x) = 0

следует, что либо

f(x) = 0, либо g(x) = 0: f(x)g(x)=0f(x)=0 g(x)=0

Обратное, вообще говоря, неверно.

Из этих четырех правил следует, что с помощью стандартных приемов и методов решения уравнений, а именно:

преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.);

разложения на множители (формально этот прием относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо);

введения вспомогательных неизвестных;

уравнение

f (x) = g(x)

может быть сведено к более простому и, самое главное,равносильному уравнению

f1 (x) = g1(x).

3. Метод интервалов

Алгоритм метода интервалов

Разложить многочлены P(x) и Q(x) на линейные множители. Количество множителей может быть любым, но обязательно в разностях каждого множителяx всегда является уменьшаемым и коэффициенты при переменной x должны быть положительными (канонический вид). Если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, не четное, то знак сравнения решаемого неравенства меняется на противоположный. Но если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, четное, то знак сравнения решаемого неравенства остается тем же.

Найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось. Найти все корни - значит решить уравнения P(x) = 0 и Q(x) = 0. Отметить на числовой оси корни уравнений в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.

Определить знак неравенства справа от большего корня. Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Так как все множители имеют канонический вид, то над правым интервалом всегда ставится знак «+» и далее знаки чередуются.

Проставить знаки в остальных интервалах, учитывая чентое или нечетное число раз встречается каждый корень. Если корень выражения имеет четную степень (например: (x - 5)2 = 0 x = 5 - корень второй степни), то около этого корня выражение не меняет знака. Если корень выражения имеет нечетную степень (например: (x - 5)3 = 0 x = 5 - корень третей степни), то переходя через этот кореньвыражение меняет знак.

Выписать ответы неравенства в виде интервалов. Для неравенства вида

P(x) > 0 (P(x) 0

Или

P(x)Q(x)0 (P(x)Q(x)0

ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак "+".

Для неравенства вида

P(x) < 0 (P(x) 0

Или

P(x)Q(x)0 (P(x)Q(x)0

ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак "-".

Рассмотрим два примера:



4. Числовые неравенства и их свойства

Ключевые слова: неравенство, равносильность, свойства числовых неравенств, действия с неравенствами, тождества

Числовым неравенством называется выражение вида

abababab, где abab a=b и abab a=b

Решить неравенство - значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.

Основные свойства.

a < b b > a

a < b и b < c a < c

a < b a + c < b + c или a - c < b - c

a < b и c < 0 acbc или cacb

a < b и c > 0 acbc или cacb

a + b > c a - c > - b

a >b - a < - b

Действия с неравенствами

a < b и c < d a + c < b + d

a < b и c > d a - c > b - d

a > b >0 и c > d >0 acbd

a > b akbk или nanb , где a > 0, b > 0 и nkN

Некоторые важные неравенства

|a + b| |a| + |b|,

где a и b произвольные числа

|a - b| |a| - |b|,

где a и b произвольные числа

2a+baba0b0

ba+ab2

Список литературы

равносильное уравнение неравенство тождественное преобразование

1) А.Г. Мордкович. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений - Москва: Издательство «Мнемозина», 1999.

2) М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике - Москва: Издательство «Наука», 1986.

3) А.П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика - Москва: Издательство «Педагогика», 1989.

4) А.И. Макушевич. Детская энциклопедия - Москва: Издательство «Педагогика», 1972.

5) Н.Я. Виленкин. Алгебра для 9 класс. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением изучением математики - Москва: Издательство «Просвещение», 1998.

Размещено на Allbest.ru