Функции комплексной переменной
Функции комплексной переменной и их значение. Понятие аналитической функции, дифференцирование первого и других равенств. Анализ функции комплексного аргумента. Основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций в комплексных случаях.
Рубрика | Математика |
Вид | реферат |
Язык | русский |
Дата добавления | 22.12.2011 |
Размер файла | 232,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
ГОУ ВПО "Дальневосточный государственный
Университет путей сообщения МПС РФ"
Кафедра «Высшая математика»
Реферат на тему:
«Функции комплексного переменного»
Выполнил: Митрохина Ю.А.
ст-ка 422 группы
Проверил: Марченко Л.В
Хабаровск, 2011
Понятие аналитической функции
Однозначную функцию можно назвать аналитической (также регулярной, голоморфной) в т.именуется аналитической в областипри условии, что она является аналитической в каждой точке.
Однозначные главные элементы функцииявляются аналитическими в.
В качестве примера диференцируемой, но не аналитической в точке функции можно записать. Таким образом,
иначе выражаясь, условия Коши -- Римана выполняются дляисключительно в т.. В результате можно заключить, что в этой точке она является дифференцируемой, но не аналитической.
Следует сказать, что аналитическая впредполагает в наличие производных любого порядка.
О: Функция двух переменныхпри условии, что у нее всуществуют непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лаплас
а:
Т: Действительная и мнимая части аналитической вфункции- это гармонические функции.
Для аналитической функции выполняются условия Коши -- Римана (14.2). Осуществим дифференцирование первого равенства условий по, второе -- по
Частные производные сущствуют и являются непрерывными по причине наличия производных любого порядка для аналитичекой функции, следовательно
В соответствиии с определениемпредставляет собой гармоническую функцию. Подобным образом можно доказать гармоничность.
О: Две гармонические функции,определяются в качестве сопряженных гармонических в случае, если они связаны условиями Коши -- Римана (14.2).
Т: Для любой гармонической функции, имеется единственная, с точностью до произвольной постоянной, сопряженная к ней функция.
Если т.- точка аналитичностиможно определитьс помощью формулы
здесьпредставлена в качестве действительной постоянной.
Пример:.
Допустим, что. В этом случае
Комплексный анализ
Комплексный аназиз, функций, переменных-- раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Каждая комплексная функция w = f(z) = f(x + iy) может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: , определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u, v называются компонентами комплексной функции f(z).
Общие понятия
Понятие предела для последовательности и функции вводится так же, как и в вещественном случае, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль. Если , то и . Верно и обратное: из существования пределов компонент вытекает существование предела самой функции, и компонентами предела будут пределы компонентов. Непрерывность комплексной функции тоже определяется так же, как в вещественном случае, и она равносильна непрерывности обеих её компонент.
Все основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций имеют место и в комплексном случае, если это расширение не связано со сравнением комплексных величин набольше-меньше. Например, нет аналога теореме о промежуточных значениях непрерывной функции.
е-окрестность числа z0 определяется как множество точек z, удалённых от z0 менее чем на е: . На комплексной плоскости е-окрестность представляет собой круг радиуса е с центром в z0.
Бесконечно удаленная точка
В комплексном анализе часто полезно рассматривать полную комплексную плоскость[2], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой: . При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:
е-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек z, модуль которых больше, чем е, то есть внешняя часть е-окрестностей начала координат.
Дифференцирование
Определение
Производная для комплексной функции одного аргумента w = f(z) определяется так же, как и для вещественной:
(здесь h -- комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом
Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к z с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши -- Римана):
Отсюда следует, что дифференцируемости компонент u и v недостаточно для дифференцируемости самой функции.
Более того, имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного:
§ Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и аналитична, то есть её ряд Тэйлора сходится к данной функции во всех точках этой окрестности (в литературе наряду с термином аналитическая функция используется также его синоним «голоморфная функция»).
§ (Теорема Лиувилля): Если функция дифференцируема на всей комплексной плоскости и не является константой, то её модуль не может быть ограничен.
§ Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:
Любая гармоническая функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий Коши -- Римана), с точностью до константы-слагаемого.
Таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция -- это функция вида u + iv, где -- взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.
Другие свойства
Пусть функции f(z) и g(z) дифференцируемы в области . Тогда и также дифференцируемы в этой области. Если g(z) в области G не обращается в ноль, то будет дифференцируема в G. Композиция функций f(g(z)) дифференцируема всюду, где она определена. Если производная функции w = f(z) в области G не обращается в ноль, то существует обратная к ней функция z = ц(w), и она будет дифференцируема.
Производные суммы, разности, произведения, частного от деления, композиции функций и обратной функции вычисляется по тем же формулам, что и в вещественном анализе.
Геометрический смысл производной
Каждая комплексная функция определяет некоторое отображение комплексной плоскости с координатами на другую комплексную плоскость с координатами . При этом выражение:
при малом h геометрически можно истолковать как коэффициент масштабирования, которое выполняет данное отображение при переходе от точки z к точке z +h. Существование предела , то есть модуля производной , означает, что коэффициент масштабирования одинаков в любом направлении от точки z, то есть не зависит от направления. Вообще говоря, коэффициент масштабирования меняется от точки к точке.
Если коэффициент масштабирования k > 1, то в окрестности точки z расстояния между точками увеличиваются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом растяжения. Если коэффициент масштабирования k < 1, то в окрестности точки z расстояния между точками уменьшаются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом сжатия.
Что касается аргумента производной, то он определяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через точку z. Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными; таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике.
Интегрирование
Понятие первообразной комплексной функции (неопределённого интеграла) вводится так же, как в вещественном случае. Однако аналог определённого интеграла в интервале от a до b на комплексной плоскости, вообще говоря, не существует, так как путь от начальной точки до конечной неоднозначен. Поэтому основным видом комплексного интеграла является криволинейный интеграл, зависящий от конкретного пути. Ниже будут указаны условия, при выполнении которых интеграл не зависит от пути, и тогда интеграл «от точки до точки» может быть определён корректно.
Пусть уравнение определяет некоторую кусочно-гладкую кривую г в комплексной плоскости, а функция f(z) определена в точках этой кривой. Разделим интервал задания параметра на n равных частей: и рассмотрим интегральную сумму:
Предел этой суммы при неограниченном возрастании n называется (комплексным) интегралом по кривой г от данной функции f(z); он обозначается:
Для любой функции f(z), непрерывной вдоль г, этот интеграл существует и может быть вычислен через обычный вещественный интеграл по параметру:
Здесь -- компоненты f(z). Из этого представления сразу следует, что свойства комплексного интеграла аналогичны свойствам вещественного криволинейного интеграла.
Теоремы единственности и аналитическое продолжение
Нулём функции f(z) называется точка z0, в которой функция обращается в ноль: f(z0) = 0.
Теорема о нулях аналитической функции. Если нули функции f(z), аналитической в области D, имеют предельную точку внутри D, то функция f(z) всюду в D равна нулю.
Следствие: если функция f(z) аналитическая в области D и не равна тождественно нулю, то в любой ограниченной замкнутой подобласти у неё может быть лишь конечное число нулей.
Теорема единственности аналитической функции. Пусть {zn} -- сходящаяся последовательность различных точек области D. Если две аналитические функции f(z),g(z) совпадают во всех точках этой последовательности, то они тождественно равны в D.
В частности, если две аналитические функции совпадают на некоторой кусочно-гладкой кривой в D, то они совпадают всюду в D. Это значит, что значения аналитической функции даже на небольшом участке области полностью определяют поведение функции во всей области её определения. Задав аналитическую функцию на кривой (например, на вещественной оси), мы однозначно определяем её расширение (если оно возможно) на более широкую область, которое называется аналитическим продолжением исходной функции.
Все стандартные функции анализа -- многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм-- допускают аналитическое продолжение на комплексную плоскость. При этом для их аналитических продолжений будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала, например:
комплексная функция равенство аргумент
Используемая литература
· http://ru.wikipedia.org
· http://wwwcdl.bmstu.ru
· http://bse.sci-lib.com
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение плоскости комплексного переменного, последовательностей комплексных чисел и пределов последовательностей. Дифференцирование функций, условия Коши, интеграл от функции. Числовые и степенные ряды, разложение функций, операционные исчисления.
курсовая работа [188,4 K], добавлен 17.11.2010Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
контрольная работа [84,3 K], добавлен 01.05.2010Предел для функции действительного аргумента и для функции комплексного переменного. Формулировка необходимого условия дифференцируемости функции комплексного переменного (условие Коши-Римана). Понятия и примеры правильных и особых точек функции.
презентация [74,9 K], добавлен 17.09.2013Обзор таблицы производных элементарных функций. Понятие промежуточного аргумента. Правила дифференцирования сложных функций. Способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям. Дифференцирование параметрически заданной функции.
контрольная работа [238,1 K], добавлен 11.08.2009Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры. Методы построения графика функции. Предел и непрерывность функции. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Определители и системы уравнений. Построение прямой и плоскости в пространстве.
методичка [1,0 M], добавлен 24.08.2009Поиск производной сложной функции как равной производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на его производную по независимой переменной. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций. Правило дифференцирования сложной функции.
презентация [62,1 K], добавлен 21.09.2013Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Схема полного исследования бесконечно больших и малых функций и построение их графика. Арифметические теоремы о пределе функции. Применение формулы Тейлора, Маклорена, Коши, Лопиталя-Бернулли. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины.
курс лекций [1,3 M], добавлен 14.12.2012Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.
презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
презентация [282,0 K], добавлен 14.11.2014