Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Теория вероятностей

1.1 Случайные события. Вероятности случайных событий

1.1.1 Предмет и задачи теории вероятностей

Случайными называются явления, исход или протекание которых во времени при одинаковом комплексе условий заранее не предсказуем. Например, невозможно достоверно предсказать число, выпадающее на игральной кости, выпадение «герба» или «решки» при подбрасывании монеты; время безотказной работы электрической лампы накаливания; температуру воздуха завтра в полдень; номер билета, выбираемого студентом на экзамене.

Однако при многократном воспроизведении указанных экспериментов можно заметить некоторые закономерности. Например, при многократном подбрасывании монеты количество выпадений «герба» и «решки» будут приблизительно одинаковы; числа на игральной кости так же появляются равновероятно; время безотказной работы лампы накаливания в среднем составляет приблизительно 5000 часов, и, как правило, не превышает 20 тыс. часов.

Зная закономерности явлений, исход которых однозначно не предсказуем, можно, однако, прогнозировать этот исход, подобно тому, как это делают синоптики, а следовательно принимать различные технические, организационные или управленческие решения в условиях неопределенности. Например, сколько необходимо запасных электрических ламп, чтобы в течение года с вероятностью 0,99 помещения университета всегда были освещены; каким по счету нужно тянуть билет, чтобы вероятность вытянуть неизвестные вопросы была минимальна.

Таким образом, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных явлений. Понятие «массовые» означает то, что закономерности случайных явлений проявляются, как правило, при их многократном воспроизведении. Свойство однородности указывает на то, что условия воспроизведения изучаемого явления должны быть фиксированы, иначе мы не обнаружим никаких устойчивых закономерностей исследуемого явления. Так при наблюдении чисел, выпадающих на игральном кубике, он должен быть недеформируемым. В противном случае закономерности выпадения того или иного числа на кубике (например, пластилиновом) будут меняться с каждым броском.

Основными задачами курса является изучение основных методов анализа закономерностей случайных явлений, формирование у будущих инженеров вероятностного мышления, умений и навыков решения производственных задач, принятия решений в условиях неопределённости.

1.1.2.Вероятностный эксперимент. Пространство элементарных исходов

Каждый эксперимент или наблюдение изучаемого физического явления заканчивается некоторым исходом (результатом). Если результат эксперимента заранее однозначно непредсказуем, то данный эксперимент называется вероятностным (в дальнейшем будет обозначаться символом «Е»).

Любой мысленно возможный неразложимый результат вероятностного эксперимента E называется элементарным исходом (элементарным событием) и обозначается «». Множество всех мыслимых взаимоисключающих результатов вероятностного эксперимента E образует пространство элементарных событий (пространство элементарных исходов), обозначаемое «».

Пример 1

E: подбрасывание игрального кубика;

Элементарные исходы: ₁={выпадение на кубике единицы}, ₂={выпадение двойки}, … ₆={выпадение шестерки}.

Пространство элементарных исходов - множество ={₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆}, т.е. множество шести возможных результатов эксперимента. <

Замечание. Фраза «мыслимый» в определении понятия пространства элементарных событий указывает на то, что в вероятностном эксперименте E следовало бы дополнительно рассмотреть два других элементарных исхода: ₇={кубик упал на ребро} и ₈={кубик завис в воздухе}, однако данные исходы будем считать невозможными и в дальнейшем учитывать их не будем. <

В зависимости от размерности множества возможных элементарных исходов различают конечное, счетное и несчетное пространство элементарных событий . Так в примере 1 пространство элементарных событий включает лишь шесть исходов. В эксперименте с исследованием числа вызовов, поступающих на АТС в течение суток, пространство элементарных событий счетно, поскольку каждому исходу эксперимента можно поставить в однозначное соответствие число натурального ряда. В эксперименте с исследованием времени обслуживания АТС некоторой заявки пространство элементарных исходов несчетно, т.к. время обслуживания может принимать любые положительные значения.

Случайным называется событие, о котором нельзя заведомо точно сказать произойдет оно или нет. Например, A={выпадение «герба» при бросании монеты}, B={выпадение четной цифры при подбрасывании игральной кости}, C={безотказная работа компьютера в течение гарантийного срока эксплуатации}. Случайные события будем обозначать большими латинскими буквами: A, B, C…. Случайное событие - подмножество пространства элементарных событий, т.е. для любого случайного события A верно соотношение A.

Элементарные исходы, которые принадлежат множеству A (т.е. _iA), называются благоприятными событию A. Так в примере 1, событие A={выпадение на игральной кости четной цифры} произойдет, если на кости выпадет или «2» или «4» или «6». Таким образом, событию A благоприятны элементарные исходы ₂, ₄, _6, т.е. A={₂, ₄, ₆}.

В частном случае множество элементарных исходов, благоприятных случайному событию A, может совпадать с пространством элементарных исходов или быть пустым множеством . В первом случае событие A=, которому благоприятны все возможные элементарные исходы пространства элементарных событий и которое в результате вероятностного эксперимента E происходит наверняка, называется достоверным и обозначается .

Событие A=, которому не благоприятен ни один из исходов пространства элементарных событий , и которое в результате вероятностного эксперимента E никогда не происходит, называется невозможным и обозначается .

В примере 1 достоверным является событие B={выпадение на игральной кости натурального числа}, а невозможным - событие C={выпадение на кости отрицательного числа}.

1.1.3 Операции над событиями

Рассмотрим операции над событиями на примере следующих экспериментов.

Пример 2.

E: в квадрат (см. рис. 1,а) наудачу бросается точка. Элементарный исход данного эксперимент - некоторая точка внутри квадрата; пространство элементарных исходов (в данном случае - несчетное) - все множество точек внутри квадрата. На множестве определены два события A и B. Если точка, брошенная в квадрат, попадет в круг A, то выполнится событие A, если - в круг B, то выполнится событие B.



а)	б)	в)
Рисунок 1

Таким образом, событию A благоприятны все элементарные исходы, принадлежащие заштрихованной области на рис. 1,б; событию B благоприятны все элементарные исходы, принадлежащие заштрихованной области на рис. 1,в. <

Пример 3

Пусть в примере 1 (с подбрасыванием игрального кубика) определены следующие случайные события:

A={выпадение чётной цифры}={_{2, 4, 6}}, которому благоприятны элементарные исходы _{2, 4} и _6;

B={выпадение нечётной цифры}={_{1, 3, 5}};

С={выпадение числа >3}={_{4, 5, 6}};

D={выпадение числа <3}={_{1, 2}};

F={выпадение числа от 2 до 5}={_{2, 3, 4, 5}};

G={выпадение тройки}={₃}=_3;

I={не выпадение пятёрки}={_{1, 2, 3, 4, 6}}. <

Событием, противоположным к событию A, называется событие , которое происходит тогда, когда событие A не происходит. Говорят, что событие дополняет множество A до множества , т.е. событию благоприятны элементарные исходы пространства , которые не благоприятны событию A.

Для примера 2 событию благоприятны все элементарные исходы (точки), принадлежащие области, заштрихованной на рис. 2,а.

а)	б) AB	в) AB
Рисунок 2

Для примера 3 событию A={выпадение на игральной кости четной цифры} противоположным будет событие =B={выпадение на кости нечетной цифры}; а событию C={выпадение на игральной кости цифры, большей трех} противоположным будет событие ={выпадение на кости цифры, меньшей или равной трем}, т.е. состоящее в выпадении на кости «единицы», «двойки» или «тройки».

Для события H={безотказная работа телевизора в течение гарантийного срока} противоположным является событие ={отказ телевизора в течение гарантийного срока}.

Суммой (объединением) двух событий A и B называется третье событие AB, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий A или B или оба вместе. Сумма событий AB, есть событие, которому благоприятны элементарные исходы, которые принадлежат хотя бы одному из событий A или B, или обоим исходным событиям одновременно.

В примере 2 событию AB благоприятны все элементарные исходы (точки), принадлежащие заштрихованной области на рис. 2,б, т.е. событие AB происходит, если точка, брошенная в квадрат, попадет в круг «A» или попадет в круг «B» или попадет сразу с оба круга.

Для примера 3 событию AB благоприятны все элементарные исходы пространства , т.е. AB=; событие BD={_{1, 2, 3, 5}}; BG=B={_{1, 3, 5}}=B; а событие DG={_{1, 2, 3}} является противоположным к событию C, т.е. DG=.

По аналогии с суммой двух событий, суммой нескольких событий A₁, A₂, … A_n называется событие A₁A₂…A_n, которое состоит в появлении хотя бы одного из исходных событий.

В устной речи, когда говорят о сумме событий, то связывают их между собой союзом «или». Например, для отказа компьютера необходим отказ системного блока или монитора или клавиатуры или других периферийных устройств.

Произведением (пересечением) двух событий A и B называется третье событие AB, которое происходит, если одновременно происходят события и A и B. Произведение событий AB, содержит элементарные исходы, которые одновременно принадлежат двум событиям A и B.

В примере 2 событию AB благоприятны все элементарные исходы (точки), принадлежащие заштрихованной области на рис. 2,в, т.е. событие AB происходит, если точка, брошенная в квадрат, попадет одновременно и в круг «A» и в круг «B».

Для примера 3 событию AC благоприятны элементарные исходы ₄ и _6, т.е. AC={_{4, 6}}; событие FI={_{2, 3, 4}}; событие BG={₃ }=_3, т.е. равно исходному событию G; а событие AB является невозможным, т.е. AB={}=, поскольку в одном эксперименте на игральной кости не может выпасть сразу четное и нечетное число очков.

По аналогии с произведением двух событий, произведением нескольких событий A₁, A₂, … A_n называется событие A₁A₂…A_n, которое состоит в одновременном появлении всех исходных событий.

В устной речи, когда говорят о произведении событий, то связывают их между собой союзом «и». Например, безотказная работа компьютера состоит в безотказной работе системного блока и монитора и клавиатуры и других устройств.

Несовместными называются события, произведение которых является пустым множеством, т.е. невозможным событием. На практике это означает, что несовместные события вместе произойти не могут. Для примера 2 случай несовместных событий A и B представлен на рис. 3,а. В примере 3 события A={выпадение на кости чётной цифры} и B={выпадение нечётной цифры} являются несовместными.

а) несовместные события	б) A\B	в) A
Рисунок 3

Разностью двух событий A и B называется третье событие A\B, которое происходит тогда, когда происходит событие A и одновременно с этим не происходит событие В. Событию А\В благоприятны элементарные исходы, которые благоприятны событию A и одновременно неблагоприятны событию B.

В примере 2 событию A\B благоприятны элементарные исходы (точки), принадлежащие заштрихованной области на рис. 3,б, т.е. событие A\B происходит, если точка, брошенная в квадрат, попадет в круг «A» и одновременно и не попадет в круг «B».

Для примера 3 событию A\F благоприятен единственный элементарный исход _6, т.е. A\F={₆}=_6; а событие F\A={_{3, 5}} состоит в появлении на кости «тройки» или «шестерки»; разность A\G={_{2, 4, 6}} соответствует событию A, т.е. A\G=A; а разность G\A={}= является невозможным событием.

Замечание. Не сложно убедиться, что операция разности событий A и B соответствует произведению события A на событие, противоположное к событию B, т.е. A\B=A. Поэтому, в отличие от алгебры чисел, в алгебре событий операция разности имеет приоритет, равный произведению. Т.е. сначала берут противоположные события, затем выполняется произведение и разность событий, и в конце - сложение событий. Изменение приоритетов возможно с помощью скобок.

События A₁, A₂, … A_n образуют полную группу событий, если их сумма равна пространству элементарных исходов (A₁A₂…A_n =), т.е. в результате вероятностного эксперимента E происходит хотя бы одно из событий A₁, A₂, … A_n.

1.1.4 Относительная частота случайного события. Понятие вероятности случайного события. Аксиомы ТВ

Пусть проведено n повторных вероятностных экспериментов E, в которых случайное событие A произошло m раз. Число m - называется частотой появления случайного события A, а отношение P^*=m/n называется относительной частотой (или частостью) случайного события A.

Например, если обычную монету подбрасывать n=10 раз, и герб выпадает 4 раза, то m=4, а P^*=m/n=0,4. При n=400 подбрасываниях __кто-то__ наблюдал 207 появлений герба, а относительная частота появления герба составила 0,51.

Следует отметить, что относительная частота наступления некоторого случайного события не является постоянной величиной, однако она обладает устойчивостью, стремлением к некоторому постоянному числу и колебания её тем меньше, чем больше проведено экспериментов. Так Карл Пирсон в начале XX века, подбросив монету 24000 раз, получил относительную частоту появления герба равную 0,5005. В данном эксперименте число «0,5» есть ни что иное, как вероятность выпадения герба.

Вероятностью случайного события A называется числовая функция P(A), характеризующая меру объективной (не зависящей от воли исследователя) возможности наступления события A и удовлетворяющая для каждого случайного события аксиомам Колмогорова А.Н.:

Аксиома 1. P(A)0, т.е. вероятность произвольного случайного события - неотрицательная функция.

Аксиома 2. P()=1, т.е. вероятность появления достоверного события равна 1.

Аксиома 3. P(A_i)=P(A_i), A_iA_j = ij, т.е. вероятность суммы счётного множества попарно несовместных событий A_i, равна сумме вероятностей этих событий.

Таким образом, случайные события характеризуются вероятностями. Однако задача определения вероятностей случайных событий по результатам многократного воспроизведения экспериментов на практике требует значительных временных и материальных затрат.

Например, чтобы оценка P^*=m/n вероятности выпадения на монете герба с вероятностью 0,95 принадлежала интервалу 0,490,51 (т.е. не отклонялась от истинного значения более чем на 0,01), необходимо провести n=9608 экспериментов. Чтобы с вероятностью ошибки 0,01 гарантировать, что вероятность безотказной работы нового микропроцессора в течение года превышает значение 0.999, требуется провести статистическое исследование (в течение года) не менее 4603 микропроцессоров.

Основной задачей теории вероятностей является отыскание вероятностей случайных событий без проведения экспериментов. Это возможно

либо с помощью непосредственного анализа случайных событий и условий проведения эксперимента,

либо через известные вероятности других событий, связанных с первым некоторыми соотношениями.

Рассмотрим методы непосредственного вычисления вероятностей случайных событий, к которым относятся классический, геометрический, статистический и экспертный способы.

1.1.5 Классический способ вычисления вероятностей

По классическому способу, вероятность случайного события A равна отношению числа элементарных исходов N_A, благоприятных событию A, к общему количеству элементарных исходов N пространства элементарных событий ; т.е. P(A)=N_A/N. Учитывая, что A и - множества (элементарных исходов), можно записать:

P(A)=|A|/||, (1)

где|A| - размерность (количество элементов) множества события A;

|| - размерность пространства элементарных событий .

Пример 4

Найти вероятность того, что на кости выпадет двойка, а также вероятность выпадения числа, большего четырех.

E: подбрасывание игральной кости;

A={выпадение «двойки»}; B={выпадение числа, большего «четырех»}; P(A)=? P(B)=?

Решение. В данном вероятностном эксперименте E возможны следующие элементарные исходы: _i ={выпадение на кости i-го числа очков}, i=. Таким образом, пространство элементарных событий ={₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆} является множеством шести исходов, т.е. ||=6.

Событию A благоприятен единственный элементарный исход ₂ (A={₂}), т.е. |A|=1. Следовательно, вероятность события A вычисляется по (1) как P(A)=|A|/||=1/6. Т.е. цифра «2» выпадает на кости с вероятностью 1/6, или, другими словами, в среднем двойка выпадает на кости в каждом шестом случае.

Событию B благоприятны два элементарных исхода ₂ (B={_{5, 6}}), т.е. |B|=2. Следовательно, вероятность события B вычисляется по (1) как P(B)=|B|/||=2/6=1/3. Т.е. в среднем в каждом третьем случае на кости выпадает число, большее четырех.

Ответ: P(A)=1/6; P(B)=2/6. <

Классический способ вычисления вероятностей имеет следующие ограничения:

все элементарные исходы вероятностного эксперимента E должны быть равновозможными, т.е. P(_i)=P(_j), i, j. Например, классический способ не применим к вычислению вероятности того, что на спичечном коробке выпадет грань с этикеткой;

количество элементарных исходов пространства должно быть конечным или счётным, чтобы отношение |A|/|| не являлось неопределённостью /.

Пример 5

В коробке находятся 10 транзисторов, три из которых неисправны. С какой вероятностью для сборки однокаскадного усилителя будет выбран исправный транзистор?

E: выбор транзистора из коробки с 7-ю исправными и 3-мя неисправными транзисторами;

A={выбор исправного транзистора}; P(A)=?

Решение. Условно пронумеруем транзисторы, находящиеся в коробке. Тогда в проводимом вероятностном эксперименте E можно определить следующие элементарные исходы: _i ={выбор i-го транзистора}, где i=. Количество всех элементарных исходов || равно числу способов выбора одного из 10-ти транзисторов (||=10). Событию A благоприятны исходы выбора одного из 7-ми исправных транзисторов (|A|=7). Учитывая, что элементарные исходы равновозможны, вероятность события A определяется классическим способом по формуле (1):

P(A)=|A|/||=7/10=0,7.

Ответ: P(A)=0,7. <

Пример 6

Бросается две игральные кости. Какова вероятность выпадения шести в сумме?

E: подбрасывание двух игральных костей;

A={выпадение шести в сумме}.

Решение. Данный вероятностный эксперимент заканчивается наблюдением двух чисел на костях. Условно пронумеруем бросаемые кости, тогда в проводимом эксперименте E можно определить следующие элементарные исходы (комбинации двух чисел на костях): =(i, j), где i - число, выпавшее на первой кости, j - число, выпавшее на второй кости. Пространство элементарных событий - есть множество элементарных исходов, т.е. комбинаций двух чисел (i, j), каждое их которых может принимать значение от 1 до 6. Таким образом, ={=(i, j)| i, j=}.

Замечание. Здесь и в дальнейшем знак «|» означает буквально: «при условии, что».

Событию A благоприятно множество элементарных исходов, т.е. комбинаций двух чисел (i, j), каждое их которых может принимать значение от 1 до 6 и, при этом, сумма которых равна шести. Таким образом, A={=(i, j)| i, j=, i+j=6}.

Нетрудно убедиться (см. таблицу 1), что общее число возможных элементарных исходов данного эксперимента E равно ||=36. Элементарные исходы, благоприятные событию A помечены в таблице жирным шрифтом, таким образом, A={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}, |A|=5.

Таблица 1 - Пространство элементарных исходов при бросании двух игральных костей

={=(i, j)| i, j=}	J
	1	2	3	4	5	6
i	1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
	2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
	3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
	4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
	5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
	6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

Учитывая, что элементарные исходы =(i, j) равновозможны (т.к. равномозможны значения на каждой игральной кости), вероятность события A вычислим классическим способом: P(A)=|A|/||=5/360,139. Следовательно, в среднем в пяти случаях из 36 сумма очков на двух костях будет равна шести.

Ответ: P(A)=5/36. <

1.1.6.Элементы комбинаторики

Пример 7

Проводится игра спортлото 6 из 49. Требуется найти вероятность получения максимального выигрыша, если для этого необходимо угадать все шесть номеров, выбранных лототроном, в произвольном порядке.

E: игра спортлото 6 из 49;

A={получение максимального выигрыша}; P(A)=?

Решение. В данном вероятностном эксперименте элементарные исходы могут быть представлены в виде: =(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x₆), где x_i - число, выбираемое лототроном в i-ой попытке, причем x_i = и x_ix_j ij, i,j=, т.е. выбираемые лототроном цифры принимают значения от 1 до 49 и не повторяются. Таким образом, пространство элементарных исходов - есть множество ={=(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x₆)| x_i =, x_ix_j ij, i,j=}.

Событию A благоприятны элементарные исходы =(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x₆), в которых числа x_i принимают одно из шести значений, выбранных лототроном, в произвольном порядке и без возвращения, т.е. A={=(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x₆)| x_i =, x_ix_j ij, i,j=}

Непосредственно перечислить все элементарные исходы множества и исходы, благоприятные событию A, практически невозможно. В данном случае требуется исследовать закономерности количества комбинаций чисел, выбираемых лототроном, методами комбинаторики. Решение данной задачи будет приведено ниже. <

Комбинаторика - раздел математики, изучающий количества комбинаций, подчиненных некоторым условиям.

Лемма 1 (основная лемма комбинаторики)

Из n₁ элементов 1-го множества {a₁, a₂,…a_n1} и n₂ элементов 2-го множества {b₁,b₂,…b_n2} можно составить n₁n₂ различных комбинаций (a_i, b_j), содержащих по одному элементу из каждого множества.

Доказательство (не строгое):

(a₁, b₁) (a₁, b₂) … (a₁, b_n2)

………………………………

(a_n1, b₁) (a_n1, b₂) … (a_n1, b_n2) <

Замечание. По индукции: из n₁ элементов 1-го множества, n₂ элементов 2-го множества, n₃ элементов 3-го множества и т.д., n_k элементов k-го множества может быть составлено n₁n₂n₃…n_k комбинаций (a_i, b_j, c_l, …x_s), содержащих по одному элементу из каждого множества.

Пример 8

На «горном» велосипеде 3 передние и 6 задних звездочек. Сколько скоростей на «горном» велосипеде?

Решение. Поскольку каждая скорость велосипеда - комбинация одной из 3-х передних (n₁=3) и одной из 6-ти задних (n₂=6) звездочек, то количество скоростей на «горном» велосипеде равно количеству комбинаций звездочек двух типов и определяется в соответствии с леммой 1 произведением n₁n₂=36=18.

Ответ: на «горном» велосипеде 18 скоростей. <

Пример 9

Сколько возможно вариантов паролей для доступа к данным Internet сервера, если пароль содержит ровно 4 символа, включая 10 цифр и 26 букв латинского алфавита?

Решение. Поскольку пароль - упорядоченная комбинация четырех символов, каждый из которых может принимать n_i=36 значений (10 цифр и 26 букв; i=), то в соответствии с замечанием к лемме 1, количество возможных вариантов паролей определяется произведением n₁n₂n₃n₄=36⁴=1679616.

Ответ: количество возможных вариантов паролей равно 1679616. <

Дадим несколько важных определений.

Перестановками называют комбинации n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество возможных перестановок n различных элементов обозначается P_n.

Упорядоченными выборками (или размещениями) называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, различающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Количество возможных размещений m элементов из n различных элементов обозначается .

Неупорядоченными выборками (или сочетаниями) называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, различающиеся только составом элементов. Количество возможных сочетаний m элементов из n различных элементов обозначается .

Упорядоченные и неупорядоченные выборки, элементы которых могут повторяться, называются соответственно упорядоченными и неупорядоченными выборками с повторением. Количество возможных упорядоченных и неупорядоченных выборок m элементов из n различных элементов с повторением обозначается соответственно и .

Пример 10

Сколькими способами можно расположить три шара, пронумерованных цифрами «1», «2», «3»?

Решение. Поскольку комбинации расположения трех различных шаров отличаются лишь порядком расположения, то данные комбинации называются перестановками. Перечислим все возможные способы перестановки трех шаров: «1-2-3», «2-1-3», «2-3-1», «1-3-2», «3-2-1», «3-1-2». Очевидно, что таких перестановок шесть.

Ответ: 6 комбинаций. <

Пример 11

Перечислить все возможные способы выбора двух шаров из урны с тремя шарами, пронумерованными числами «1», «2», «3».

Таблица 2 - Способы выбора двух шаров из урны с тремя пронумерованными шарами

(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,1)	(1,2)	(1,3)	с повторением (с возвращением)
(2,1)	(2,2)	(2,3)		(2,2)	(2,3)
(3,1)	(3,2)	(3,3)			(3,3)
	(1,2)	(1,3)		(1,2)	(1,3)	без повторения (без возвращения)
(2,1)		(2,3)			(2,3)
(3,1)	(3,2)
упорядоченные (размещения)	неупорядоченные (сочетания)	Выборки	<

На основании доказанной ранее основной леммы комбинаторики выведем формулу для вычисления количества упорядоченных выборок с возвращением. Каждый очередной элемент выбирается из n элементов, после чего участвует в следующем выборе. Поэтому, в соответствии с замечанием к лемме 1, общее количество способов упорядоченного выбора m элементов из n элементов с повторением определяется произведением:

, (2)

где каждое множимое (n) - количество способов очередного выбора одного из n элементов; m - количество выбираемых элементов.

Теперь отыщем формулу для вычисления количества упорядоченных выборок без возвращения. Поскольку выбранные элементы в дальнейшем выборе не участвуют, то каждый i-ы выбираемый элемент выбирается из (n-i+1) оставшихся элементов. В соответствии с замечанием к лемме 1, общее количество способов упорядоченного выбора m элементов из n элементов без повторения определяется произведением:

,(3)

где каждое множимое - количество способов очередного выбора одного из элементов (при первом выборе таких способов n, при втором (n-1) и т.д., при m-м выборе количество способов выбора (n-m+1)); m - количество выбираемых элементов (mn).

Домножив выражение (3) на дробь получаем:

, (4)

Для вывода формулы, вычисляющей число возможных перестановок n элементов, заметим, что оно равно количеству упорядоченных выборок всех n элементов из n элементов без возвращения (см. пример 10). Таким образом,

. (5)

Для определения количества неупорядоченных выборок без возвращения заметим, что: , т.е. количество способов упорядоченного выбора m элементов из n без возвращения равно произведению (в соответствии с леммой 1) числа способов, которыми можно отобрать эти m (mn) элементов из n, на количество способов, которыми можно переставить выбранные m элементов между собой. Отсюда:

. (6)

Формулу для вычисления количества возможных неупорядоченных выборок с возвращением приведем без доказательства:

. (7)

Пример 11

Решим задачу из примера 9. Выше указывалось, что поскольку комбинации расположения трех различных шаров отличаются лишь порядком расположения, то данные комбинации называются перестановками. Количество перестановок трех различных элементов (шаров) определяется выражением (5) P₃=3!=6. Естественно, что данный результат совпадает с результатом, полученным в примере 9 непосредственным перечислением всех перестановок. <

Пример 12

В распределительном шкафу три различных потребителя энергии (a, b, c) подключаются к трехфазной сети переменного тока (см. рис. 4). Сколько возможно вариантов подключения потребителей к фазам переменного тока, если каждый потребитель подключается только к одной фазе?

Рисунок 4 - Схема подключения потребителей в распределительном шкафу

Решение. Каждое соединение есть комбинация некоторой фазы (из трех) и одного из трех потребителей. Предполагая, что клеммы фаз в распределительном шкафу фиксированы, различные комбинации соединений возможны вследствие перепутывания клемм потребителей. Поскольку варианты соединения различаются лишь порядком подключения потребителей к фазам «A» «B» «C», то данные комбинации являются перестановками трех потребителей. Число возможных перестановок определяется выражением (5) P₃=3!=6. Аналогичный результат можно получить непосредственным перебором всех способов подключения (см. рис. 5).

Рисунок 5 - Схема подключения потребителей в распределительном шкафу

Ответ: шесть способов. <

вероятность случайный событие бернулли

Пример 13

Вернемся к примеру 7 для определения вероятности получения максимального выигрыша в лотерее 6 из 49.

Решение. Определим элементарные исходы, пространство элементарных событий и интересующее нас событие, как в примере 7: =(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x₆), где x_i - число, выбираемое лототроном в i-ой попытке; ={=(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x₆) | x_i =, x_ix_j ij, i,j=}; A={получение максимального выигрыша}={=(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x₆) | x_i =, x_ix_j ij, i,j=}.

Общее количество элементарных исходов || данного вероятностного эксперимента E определяется числом способов упорядоченного (важен порядок) выбора шести шаров из 49 шаров, находящихся в лототроне. Причем шары извлекаются без возвращения. Поэтому ||=.

Событию A благоприятны элементарные исходы, состоящие в угадывании всех шести шаров, выбранных лототроном. Таким образом, для получения максимального выигрыша необходимо выбрать без повторения все шесть шаров из тех, что были выбраны лототроном. Число таких способов определяется выражением .

Учитывая, что все элементарные исходы пространства равновозможны, вероятность события A определяется классическим способом по формуле (1):

P(A)=|A|/||=/=6!43!/49!=6!/(444546474849)7,15110-^8.

Замечание. Поскольку порядок угадывания чисел в лотерее 6 из 49 не имеет значение, то аналогичный результат может быть получен с использованием неупорядоченных выборок без повторения.

Ответ: вероятность получения максимального выигрыша составляет 7,15110-^8. <

Пример 14

Сколько игр необходимо провести шести командам в первенстве факультетов по волейболу, если каждая команда должна встретиться со всеми другими командами?

Решение. Условно пронумеруем волейбольные команды цифрами 1, 2,…6. Каждая игра - есть встреча двух различных команд, поэтому для каждой очередной игры выбираются две команды из шести. При этом, во-первых, последовательность выбора для игры двух команд не имеет значения (каждая из комбинаций 2-4 и 4-2 означает игру между «второй» и «четвертой» командами). Во-вторых, комбинации 1-1, 2-2, 3-3 и т.д. являются невозможными (команды не могут играть сами с собой).

Таким образом, количество игр, которые необходимо сыграть в первенстве по волейболу, равно числу способов неупорядоченного выбора двух команд из шести без повторения, т.е. . По формуле (6) получаем .

Ответ: в первенстве необходимо провести 15 игр. <

Пример 15

В коробке находятся 12 транзисторов, четыре из которых неисправны. С какой вероятностью для сборки трехкаскадного усилителя будет выбран только один исправный транзистор?

E: выбор 3-х транзисторов из 12;

A={выбор одного исправного и двух неисправных транзисторов}; P(A)=?

Решение. Для сборки трехкаскадного усилителя выбираются три транзистора. Элементарным исходом данного эксперимента E является выбор трех различных транзисторов. Общее число элементарных исходов || равно числу неупорядоченных (порядок выбора транзисторов не важен) выборок трех транзисторов из 12 без возвращения, т.е. ||=.

Событию A благоприятны исходы, которые состоят в выборе одного исправного и двух неисправных транзисторов. Для этого буквально необходимо выбрать неупорядоченно и без возвращения один транзистор из восьми исправных, а также два неисправных транзистора из четырех неисправных, находящихся в коробке. Общее число элементарных исходов, благоприятных событию A, определяется леммой 1 комбинаторики, как произведение |A|=.

Учитывая, что элементарные исходы вероятностного эксперимента E равновозможны, вероятность события A определяется классическим способом по формуле (1):

P(A)=|A|/||=/=86/220=0,2182.

Ответ: вероятность выбора только одного исправного транзистора для сборки усилителя равна 0,2182. <

1.1.7 Геометрический способ вычисления вероятностей

Одним из ограничений классического способа вычисления вероятностей (см. п._1.1.5.) является то, что пространство элементарных исходов вероятностного эксперимента E должно быть конечным или счетным. В случае если пространство является несчетным, для вычисления вероятностей случайных событий может применяться геометрический способ.

Пусть пространство эксперимента E содержит несчетное множество элементарных исходов (т.е. ||=) и их можно трактовать как точки в евклидовом пространстве, а события эксперимента E - как некоторые области этого пространства. Тогда вероятность случайного события A может быть вычислена как отношение геометрической меры пространства (длины, площади, объема, гиперобъема) интересующего нас события A к геометрической мере пространства элементарных событий

P(A)=es(A)/es(), (7)

где es() - геометрическая мера пространства события A; es() - геометрическая мера пространства элементарных исходов .

Пример 16

Стержень длиной L изгибается в произвольной точке. Причем положение точки изгиба равно возможно на интервале (O,L). Найти вероятность того, что точка изгиба окажется на отрезке [L/3, 2L/3].

E: излом стержня;

A={точка изгиба принадлежит отрезку [L/3, 2L/3]}; P(A)=?

Рисунок 6 - Геометрическая интерпретация вероятностного эксперимента

Решение. Элементарным исходом данного вероятностного эксперимента является изгиб стержня в некоторой точке. Различаются исходы координатами точки изгиба. Поэтому элементарные исходы определим как координаты x точки изгиба стержня, т.е. =x.

Пространство элементарных исходов - множество всех возможных точек изгиба стержня, т.е. ={=x | O<x<L}.

Случайное событие A - также множество элементарных исходов (координат x точек изгиба стержня), которые принадлежат отрезку [L/3, 2L/3] (на рис. 6 обозначены жирной линией). Таким образом, A={=x | (L/3)<x<(2L/3)}.

Поскольку по условию все элементарные исходы равновозможны, то для вычисления вероятности события A можно воспользоваться геометрическим способом (7). В данном случае геометрической мерой пространств событий A и является длина.

P(A)=es(A)/es()=(2L/3-L/3)/L=1/3.

Ответ: вероятность того, что точка изгиба стержня окажется на отрезке [L/3, 2L/3] равна 1/3. <

Геометрический способ вычисления вероятностей случайных событий имеет следующие ограничения: во-первых, все элементарные исходы эксперимента должны быть равновозможными (как и в классическом способе). Так, если в примере 16 значение 1/3 получено при допущении о равномерном распределении предполагаемой точки изгиба стержня по всей его длине. Во-вторых, построить геометрическую интерпретацию вероятностного эксперимента порой бывает сложно.

Пример 17

Программный генератор случайных чисел возвращает значения, равномерно распределенные на отрезке [0;1]. С какой вероятностью произведение двух чисел, полученных с помощью генератора, превысит 0,5?

E: генерация двух случайных чисел x₁, x₂[0;1];

A={произведение x₁x₂ превышает 0,5}; P(A)=?.

Решение. Данный вероятностный эксперимент E заканчивается генерацией двух случайных чисел x и y, равномерно распределенных на интервале [0;1]. Это отличает один результат эксперимента E от других возможных результатов. Поэтому элементарным исходом вероятностного эксперимента E обозначим комбинацию двух случайных чисел (x, y), т.е. =(x,y). Поскольку элементарный исход определяется двумя числами (является двумерным вектором), то его можно представить как точку на плоскости (см. рис. 7).

Рисунок 7 - Геометрическая интерпретация вероятностного эксперимента

Пространство - все множество элементарных исходов =(x,y), где 0<x<1, 0<y<1. Таким образом, ={=(x,y) | 0<x<1; 0<y<1}, а на плоскости пространство элементарных исходов образует квадрат с вершинами (0;0);(0;1);(1;0);(1;1) (см. рис. 7).

Событие A - множество элементарных исходов пространства для которых выполняется условие xy>0,5. Таким образом, A={=(x,y) | xy>0,5}={=(x,y) | 0<x<1; 0<y<1; y>0,5/x}. Первые два неравенства определяют на плоскости квадрат, а последнее неравенство определяет на плоскости область, ограниченную гиперболой y=0,5/x, и заштрихованную на рис. 7 следующим образом: .

В итоге, множество элементарных исходов, благоприятных событию A - есть геометрическое место точек на плоскости, принадлежащих фигуре, заштрихованной на рис. 7 следующим образом: . Нетрудно убедиться в выполнении всех перечисленных условий для элементарного исхода ₂=(0.7, 0.95) (см. рис. 7).

Учитывая, что все элементарные исходы эксперимента E равновозможны (поскольку равновозможны числа x и y), то для вычисления вероятности события A воспользуемся геометрическим способом (7). В данном случае геометрическими мерами пространств событий A и являются площади фигур:

es(A)=S_DFG=S_KDFH-S_KDGH=;

es()=S_BCFH=1;

P(A)=es(A)/es()=0,153/1=0,153.

Ответ: вероятность того, что произведение двух случайных чисел из отрезка [0;1] не превысит Ѕ, примерно равна 0,153. <

1.1.8 Другие способы определения вероятностей

Наряду с классическим (Лапласовским) и геометрическим способами вычисления вероятностей случайных событий можно выделить еще два способа непосредственного определения вероятностей. Это статистический и экспертный способы. Статистический способ заключается в оценке вероятности случайного события по результатам многократного воспроизведения вероятностного эксперимента E, например, по относительной частоте появления случайного события (см. _п.1.1.4).

Метод экспертных оценок заключается в опросе мнения некоторого количества специалистов (экспертов) о значении вероятности случайного события. Анализируя полученные значения экспертных оценок (например, усреднив их) можно получить представление о реальном значении вероятности исследуемого случайного события.

Статистический и экспертный способы оценки вероятностей являются универсальными, однако, предоставляемый с их помощью результат не является точным. Для увеличения достоверности и точности оценки вероятности требуется проведение большего количества повторных экспериментов и привлечение большего числа опытных специалистов - экспертов.

1.1.9 Вопросы для самоконтроля

Что изучает теория вероятностей?

Что называется случайным событием?

Что называется элементарным исходом?

Какое событие будет противоположным событию выпадение на кости четной цифры?

Какое событие будет противоположным событию «идет дождь»?

Какое событие будет противоположным достоверному событию?

Что называется суммой двух событий?

В чем состоит событие A?

Что называется произведением двух событий?

В чем состоит событие A?

Что называется разностью двух событий?

Будут ли совместными противоположные события?

Образуют ли полную группу противоположные события?

Чем характеризуются случайные события?

Что называется вероятностью случайного события?

Какие существуют способы непосредственного вычисления вероятностей случайных событий?

В чем состоит классический способ вычисления вероятностей?

Какие существуют ограничения классического способа вычисления вероятностей?

Что называется перестановками?

Что называется сочетаниями?

Что такое размещения?

В чем состоят различия выборок с возвращением и без возвращения?

В чем состоит геометрический способ вычисления вероятностей?

Какие существуют ограничения геометрического способа вычисления вероятностей?

1.1.10 Свойства вероятностей

Наибольший интерес в теории вероятностей представляют способы определения вероятностей случайных событий через известные вероятности других событий, связанных с первым. Перед рассмотрением данных способов следует рассмотреть важные свойства вероятностей случайных событий.

Свойство 1: P()=0, т.е. вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство. Тождество = будет справедливым и в случае =…, причём события в правой части тождества являются несовместными.

Применяя аксиому 3 Колмогорова для попарно несовместных событий: P()=P()+P()+P()+P()+….

По аксиоме 2: 1=1+P()+P()+… P()+P()+P()+…=0.

Очевидно, последнее равенство выполняется, если только P()=0. <

Свойство 2: Если в пространстве , содержащем конечное или счётное множество возможных исходов ₁, ₂,… _i,… (={₁, ₂,…_i,…}), заданы вероятности элементарных исходов P(₁)=p₁, P(₂)=p₂,… P(_i)=p_i, …, то вероятность произвольного события A={_j, _k,… _l} равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятных событию A, т.е. .

Доказательство свойства следует непосредственно из аксиомы 3 Колмогорова, т.к. элементарные события являются (по определению) несовместными событиями. <

Говорят, что событие A влечёт событие B (АВ), если все элементарные исходы , благоприятные событию A, благоприятны событию В.

Свойство 3: Если событие A влечёт событие B (AB), то P(B\A)=P(B)-P(A).

Рисунок 8 - Пример события A, которое влечёт событие B

Доказательство. Если AB, то верно тождество B=A(B\A) (см. рис. 8); причём события A (на рис. 8 обозначено штриховкой ) и B\A (на рис. 8 обозначено штриховкой ) являются несовместными. Тогда по аксиоме 3 Колмогорова: P(B)=P(A)+P(B\A). Следовательно, если AB, то P(B\A)=P(B)-P(A). <

Свойство 4: (следствие свойства 3) Если AB, то P(A)P(B).

Доказательство: из свойства 3: P(B)-P(A)=P(B\A). Вероятность P(B\A)0 по аксиоме 1 Колмогорова. Следовательно, P(A)P(B). <

Свойство 5: P()=1-P(A), т.е. вероятность события , противоположного к событию A, дополняет вероятность события A до единицы.

Рисунок 9 - Пример противоположных событий A и

Доказательство. Очевидно, что =\A, следовательно, P()=P(\A). Т.к. A, то по свойству 3: P()=P(\A)=P()-P(A). По аксиоме 2 P()=1, следовательно, P(\A)=1-P(A). А значит P()=1-P(A). <

Свойство 6: 0P(A)1, т.е. вероятность произвольного события принадлежит отрезку [0;1].

Доказательство. Т.к. A, то по свойству 4 P(A)P(), следовательно P(A)1. А по аксиоме 1 Колмогорова P(A)0. Таким образом, P(A)[0;1]. <

Свойство 7: Вероятность произведения двух несовместных событий равна нулю. Т.е. если события A и B несовместны, то P(AB)=0.

Доказательство. Т.к. A и B несовместные события (у данных событий отсутствуют общие элементарные исходы), то их произведение есть невозможное событие (AB=). Следовательно, P(AB)=P()=0 по свойству 1. <

Говорят, что события А₁, А₂,…, А_n образуют полную группу событий, если их сумма равна пространству элементарных событий , т.е. А₁А₂…А_n=.

Несовместные события H₁, H₂, … H_n, которые образуют полную группу событий, называются гипотезами.

Свойство 8: Сумма вероятностей гипотез H₁, H₂, … H_n равна единице.

Доказательство. Т.к. гипотезы - несовместные события, которые образуют полную группу, т.е. H₁H₂…H_n =, то по аксиоме 3 Колмогорова для несовместных событий P(H₁)+P(H₂)+…P(H_n )=P(H₁H₂…H_n )=P(). По аксиоме 2 P()=1, следовательно, P(H₁)+P(H₂)+…P(H_n )=1. <

1.1.11 Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей двух событий: Пусть A и B -произвольные случайные события, принадлежащие , тогда вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). (8)

Рисунок 10 - Сумма событий A и B

Доказательство. Из диаграммы на рис. 10 видно, что сумма произвольных событий AB равна сумме несовместных событий A (на рис. 10 обозначено штриховкой ) и события B\(AB) (на рис. 10 обозначено штриховкой ), т.е. AB=AB\(AB). По аксиоме 3 Колмогорова P(AB)=P(A)+P(B\(AB)). Т.к. (AB)B, то по свойству 3 P(B\(AB))=P(B)-P(AB). Следовательно, P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). <

Следствие. Вероятность появления суммы двух несовместных событий (AB=): P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B), т.к. вероятность произведения несовместных событий по свойству 7 равна нулю.

Проиллюстрируем теорему сложения вероятностей на рис. 10 с помощью геометрического способа вычисления вероятностей:

; ; ;

.

Теорема сложения вероятностей трех произвольных событий:

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).(9)

По аналогии можно записать теоремы сложения для большего количества событий.

Пример 18

Известно, что 40% выпускаемых заводом транзисторов, удовлетворяют классу «А» (имеют маркировку «А»), 45% продукции удовлетворяют классу «Б», а 10% удовлетворяют классу «В». Найти вероятность того, что случайно отобранный транзистор будет принадлежать классу выше «В».

E: выбор одного транзистора;

A={выбранный транзистор имеет класс «A»}; P(A)=0,4;

B={выбранный транзистор имеет класс «Б»}; P(B)=0,45;

C={выбранный транзистор имеет класс «В»}; P(C)=0,1;

D={выбранный транзистор имеет класс выше «В»}; P(D)=?

Решение. Выразим событие D через события A, B и C с помощью операций над событиями. Очевидно, что для наступления события D необходимо наступление или события A или события B. Поэтому D=AB.

Для определения вероятности события D воспользуемся теоремой сложения вероятностей (8). P(D)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). Поскольку события A и B несовместны (транзистор не может принадлежать одновременно к двум классам «A» и «Б»), то P(AB)=P()=0. Следовательно, P(D)=P(AB)=P(A)+P(B)=0,4+0,45=0,85.

Ответ: вероятность того, что отобранный транзистор имеет класс выше «В» равна 0,85. <

1.1.12 Условная вероятность. Независимость событий

Рассмотрим следующий вероятностный эксперимент E. Пусть в пространстве определены случайные события A, B, C,… и их вероятности. Предположим, что в ходе нашего эксперимента E событие A уже произошло. Получение дополнительной информации о ходе эксперимента E может привести к естественному желанию пересмотреть вероятности других событий пространства , связанных с событием A. Ведь логично предположить, что появление события A, каким то образом может изменить вероятность появления событий, связанных (зависимых) с ним.

Событие B называется зависимым от события A, если появление (или не появление) события A изменяет вероятность появления события B. Если наступление события A не изменяет вероятности появления B, событие B называется независимым от события A.

Условной вероятностью P(B|A) или P_A(B) называют вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.

Пример 19

В коробке находятся две исправные и одна неисправная микросхема (MS). Вероятностный эксперимент состоит в последовательном выборе (без возвращения) из урны двух MS. Найти условную вероятность события B={вторая MS - исправна}, при условии, что произошло (не произошло) событие A={первая MS - исправна}.

E: выбор двух MS;

A={первая MS - исправна};

B={вторая MS - исправна};

P(B|A)=? P(B|)=?

Решение. Определим P(B|A) - вероятность того, что наступит событие B, если событие A уже наступило. Поскольку событие A произошло, т.е. из коробки уже достали одну исправную MS, то в ней остались две MS, причем одна из них неисправна. Следовательно, вероятность выбора второй исправной MS равна Ѕ. Таким образом, P(B|A)=0,5.