Криволинейные и поверхностные интегралы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

I. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и вычисление

2. Криволинейный интеграл второго рода

3. Формула Грина

4. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

5. Поверхностный интеграл первого рода

6. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода

7. Поверхностный интеграл второго рода, его свойства и Вычисление

8. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода

9. Формула Гаусса-Остроградского

10. Формула Стокса

II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ, КРИВОЛИНЕЙНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Двойной интеграл

2. Тройной интеграл

3. Криволинейные интегралы

4. Поверхностный интеграл 1-го рода

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие посвящено изложению различных специальных разделов математики в рамках курса математического анализа как части общего курса высшей математики. Пособие предназначено в помощь как студентам МАТИ-РГТУ им. К.Э.Циолковского, так и студентам других технических университетов, а также может быть интересно и для преподавателей этих учебных заведений. В нем рассматриваются следующие темы: кратные (двойные и тройные) интегралы, криволинейные и поверхностные интегралы, дифференциальные операции второго порядка, специальные виды векторных полей; даны основные определения и формулировки, доказаны базовые теоремы, в том числе теоремы Грина, Стокса, Гаусса-Остроградского. Основное внимание уделяется применению изложенных теоретических сведений к решению соответствующих задач геометрии и механики.

В каждой главе приводится большое количество примеров, иллюстрирующих применение исследуемых теоретических вопросов, а также приведены подробные решения задач на нахождение площадей, объемов, центров масс и моментов инерции различных тел и фигур, определение циркуляции и потока векторного поля, вычисление ротора и дивергенции - величин, широко используемых в гидроаэродинамике и в механике сплошных сред. В пособии представлено значительное количество рисунков, иллюстрирующих основные понятия и определения. В связи с этим полагаем, что пособие может быть использовано как студентами очного отделения университетов для подготовки к экзаменам, курсовым и контрольным работам, так и студентами очно-заочной формы обучения.

Для углубленного изучения рассмотренных разделов математики приводится список используемой литературы.

I. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и вычисление

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части ?si длиной ?si и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму

Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: .

Определение 7. Если существует конечный предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается

. (37)

Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (36) равен массе рассматриваемой кривой.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

1. Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует.

2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую - конечной. Если назвать эти точки А и В, то

(38)

Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.

Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

,

где - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определенного интеграла Следовательно,

= (39)

Если же кривая L задана в параметрической форме:

 x = ?(t), y = ?(t), z = ?(t), t0 ? t ? T,

то, применяя в интеграле (39) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

получим:

(40)

В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:

у=?(х), где х1 ? х ? х2, формула (40) преобразуется к виду:

. (41)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

Пример 7.

Вычислить где L: Применяя формулу (40), получим:



Если кривая задана на плоскости в полярных координатах:

, то элемент длины дуги , и

. (42)

2. Криволинейный интеграл второго рода

Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку Mi и умножим значение функции в этой точке не на длину i-го отрезка, как в случае криволинейного интеграла 1-го рода, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi - xi-1 = ?xi. Составим из полученных произведений интегральную сумму .

Определение 8. Если существует конечный предел при интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

. (43)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

Определение 9. Если вдоль кривой L определены функции P(M) =

=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно считать компонентами некоторого вектора , и существуют интегралы

,

тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

. (44)

Замечание. Если считать, что вектор представляет собой силу , действующую на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

,

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (44) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 9).

2. При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

(45)

Действительно, при этом изменяется знак ?xi в интегральной сумме.

Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода

Теорема 4. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = ?(t), y = ?(t), z = ?(t), ? ? t ? ? ,

где ?, ?, ? - непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (40) существует и имеет место равенство

. (46)

Доказательство.

Запишем ?xi = xi - xi-1 = ?(ti) - ?(ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: ?(ti) - ?(ti-1) = ??(?i)?ti, где ?i - некоторое значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному ?i : Mi(?(?i), ?(?i), ?(?i)). Подставив эти значения в формулу (43), получим:

.

Справа получен предел интегральной суммы для функции f(?(t),?(t),?(t))??(t) на отрезке [?, ?], равный определенному интегралу от этой функции:

,

что и требовалось доказать.

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегралов вида , откуда следует, что

(47)

Пример 8.

Вычислим интеграл , где L - отрезок прямой от точки А(1,2,-2) до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде:

Следовательно, ??(t) = -1, ??(t) = -3, ??(t) = 2. Тогда

3. Формула Грина

Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе L этой области.

Пусть в плоскости Оху дана ограниченная замкнутым контуром L правильная область D. Кривые, ограничивающие эту область снизу и сверху, заданы уравнениями

y = y1(x) и y = y2(x), y1(x) ? y2(x), a ? x ? b (рис.13).

y

Рис. 13.

Зададим в области D непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), имею-щие непрерывные частные производные, и рассмотрим интеграл

 .

Переходя к двукратному интегралу, получим:

(48)

Так как у = у2(х) - параметрическое выражение кривой МSN, то

где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MSN. Аналогично получаем, что

.

Подставим полученные результаты в формулу (48):

(49)

так как контур L представляет собой объединение кривых MSN и NTM.

Так же можно получить, что

 (50)

Вычтем из равенства (49) равенство (50):

При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Изменим направление обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид:

(51)

Эта формула, задающая связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода, называется формулой Грина.

Замечание. Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода, то предполагается, что он производится против часовой стрелки. Это направление считается положительным.

Пример 9.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода где по контуру L, состоящему из частей кривых

у = -х2 и у = -1 (направление обхода положительно).



Применим формулу (51):

4. Условия независимости криволинейного интеграла

2-го рода от пути интегрирования

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода , где L - кривая, соединяющая точки M и N. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D, в которой целиком лежит кривая L. Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L, а только от расположения точек M и N.

Проведем две произвольные кривые MSN и MTN, лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.14).



Рис. 14

Предположим, что, то есть

.

Тогда ,

где L - замкнутый контур, составленный из кривых MSN и NTM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Теорема 5 (теорема Грина). Пусть во всех точках некоторой области D непрерывны функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные и . Тогда для того, чтобы для любого замкнутого контура L, лежащего в области D, выполнялось условие

,

необходимо и достаточно, чтобы = во всех точках области D.

Доказательство.

1) Достаточность: пусть условие = выполнено. Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в области D, ограничивающий область S, и напишем для него формулу Грина:

.

Итак, достаточность доказана.

2) Необходимость: предположим, что условие выполнено в каждой точке области D, но найдется хотя бы одна точка этой области, в которой - ? 0. Пусть, например, в точке P(x0, y0) имеем: - > 0. Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, она будет положительна и больше некоторого ? > 0 в некоторой малой области D`, содержащей точку Р. Следовательно,

Отсюда по формуле Грина получаем, что

,

где L` - контур, ограничивающий область D`. Этот результат противоречит условию . Следовательно, = во всех точках области D, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Аналогичным образом для трехмерного пространства можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования являются:

. (52)

Замечание 2. При выполнении условий (52) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

При этом функцию и можно найти по формуле

(53)

где (x0, y0, z0) - точка из области D, a C - произвольная постоянная. Действительно, легко убедиться, что частные производные функции и, заданной формулой (53), равны P, Q и R.

Пример 10.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

по произвольной кривой, соединяющей точки (1, 1, 1) и (2, 3, 4).

Убедимся, что выполнены условия (52):

Следовательно, функция и существует. Найдем ее по формуле (53), положив x0 = y0 = z0 = 0. Тогда

Таким образом, функция и определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Примем С = 0, тогда u = xyz. Следовательно,

5. Поверхностный интеграл первого рода

Если при определении длины кривой она задавалась как предел вписанной в данную кривую ломаной при стремлении к нулю длины наибольшего ее отрезка, то попытка распространить это определение на площадь криволинейной поверхности может привести к противо-речию (пример Шварца: можно рассмотреть последовательность вписанных в цилиндр многогранников, у которых наибольшее расстояние между точками какой-либо грани стремится к нулю, а площадь стремится к бесконечности). Поэтому определим площадь поверхности иным способом. Рассмотрим незамкнутую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее какими-либо кривыми на части S1, S2,…, Sn. Выберем в каждой части точку Mi и спроектируем эту часть на касательную плоскость к поверхности, проходящую через эту точку. Получим в проекции плоскую фигуру с площадью Ti. Назовем ? наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности S.

Определение 10. Назовем площадью S поверхности предел суммы площадей Ti при :

. (54)

Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Si точку

Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму

. (55)

Определение 11. Если существует конечный предел при интегральной суммы (55), не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверх-ностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается

. (56)

Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными свойствами интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).

Геометрический и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода

Если подынтегральная функция f(M) ? 1, то из определения 11

следует, что равен площади рассматриваемой поверхности S.

Если же считать, что f(M) задает плотность в точке М поверхности S, то масса этой поверхности равна

. (57)

6. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода

Ограничимся случаем, когда поверхность S задается явным образом, то есть уравнением вида z = ?(x, y). При этом из определения пло-щади поверхности следует, что Si = , где ??i - площадь проекции Si на плоскость Оху, а ?i - угол между осью Oz и нормалью к поверхности S в точке Mi. Известно, что

,

где (xi, yi, zi) - координаты точки Mi. Cледовательно,

.

Подставляя это выражение в формулу (55), получим, что

где суммирование справа проводится по области ? плоскости Оху, являющейся проекцией на эту плоскость поверхности S (рис.15).

Рис. 15

При этом в правой части получена интегральная сумма для функции двух переменных по плоской области, которая в пределе при

дает двойной интеграл

Таким образом, получена формула, позволяющая свести вычисление поверхностного интеграла 1-го рода к вычислению двойного интеграла:

(58)

Замечание. Уточним еще раз, что в левой части формулы (58) стоит поверхностный интеграл, а в правой - двойной.

Пример 11.

1. Вычислим , где S - часть плоскости 3х + 4у + 5z = 36, расположенная в первом октанте. Преобразуем это уравнение к виду

,

откуда , , .

Проекцией плоскости S на плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках (0, 0), (12, 0) и (0, 9). Тогда из формулы (58) получим:

7. Поверхностный интеграл второго рода, его свойства и вычисление

Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) точку М0 и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке М0. Рассмотрим точку М, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке М0 в первоначаль-ное положение при любом выборе точки М0 на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противо-положное, поверхность называется односторонней (примером односторонней поверхности служит лист Мебиуса).

Из вышесказанного следует, что выбор направления нормали в одной точке однозначно определяет направление нормали во всех точках поверхности.

Определение 12. Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлением нормали называется стороной поверхности.

Ориентация поверхности

Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.

Определение 13. Назовем положительным направление обхода контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверхности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.

Введем определение поверхностного интеграла 2-го рода по аналогии с соответствующим криволинейным интегралом. Рассмотрим гладкую двустороннюю поверхность S, заданную уравнением z = z(x, y), в каждой точке которой определена функция f(M) = f(x, y, z), и выберем какую-либо из ее сторон (или, что то же самое, определенную ориентацию). Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sп, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на плоскость Оху. При этом будем считать, проекция части верхней по отношению к плоскости Оху стороны рассматриваемой поверхности имеет знак «+», а нижней - знак «-». Составим сумму

. (59)

Определение 14. Если существует конечный предел суммы (59) при ?>0, не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается

(60)

Замечание. В этой символической записи не содержится указания на то, какая сторона поверхности выбрана, поэтому это требуется оговаривать отдельно.

Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxz и Оyz (при условии, что уравнение поверхности можно представить в виде y = y(x, z) или x = x(y, z) ). Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:

и . (61)

Рассмотрев сумму интегралов вида (60) и (61) по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z),

R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:

 (62)

Замечание. Здесь вновь функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) можно рассматривать как компоненты некоторого вектора

Отметим основное свойство поверхностного интеграла 2-го рода:

При замене рассматриваемой стороны поверхности на противоположную поверхностный интеграл 2-го рода меняет знак:

(63)

Справедливость этого утверждения следует из определения 14.

Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода

Если задать единичный вектор выбранной нормали к поверхности S в виде п = {cos ?, cos ?, cos ?}, где ?, ?, ? - углы, образованные нормалью с осями координат, то (выбор знака зависит от направления нормали). Тогда из (59), (60) следует, что

(64)

Здесь D - проекция поверхности S на плоскость Оху, а выражение для dS взято из формулы (58). Таким образом, вычисление поверх-ностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению обычного двойного интеграла по области D от функции f, в которую вместо координаты z подставлено ее выражение из уравнения поверхности S. Обобщая эти рассуждения, получим, что

(65)

где D? и D?? - проекции поверхности S на координатные плоскости Oxz и Oyz.

Пример 12.

Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода где S - нижняя сторона части конуса при

Применим формулу (64), учитывая, что выбрана нижняя сторона поверхности и что проекцией части конуса на плоскость Оху является круг :

8. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода

Учитывая, что проекции элемента поверхности Si на координатные плоскости имеют вид Sicos?, Sicos?, Sicos?, из (64) получим:



, (66)

где векторное поле , а - векторное поле единичных нормалей заданного направления в каждой точке поверхности. Следовательно, поверхностный интеграл 2-го рода (65) равен поверхностному интегралу 1-го рода (66). Эта формула предоставляет еще одну возможность вычисления поверхностного интеграла 2-го рода. Заметим, что при смене стороны поверхности меняют знак направляющие косинусы нормали, и, соответственно, интеграл в правой части равенства (66), который сам по себе, как поверхностный интеграл 1-го рода, от выбора стороны поверхности не зависит.

Пример 13.

Рассмотрим интеграл , где S - внешняя сторона верхней половины сферы x? + y? + z? = R?. Так как радиус сферы, проведенный в любую ее точку, можно считать нормалью к сфере в этой точке, единичный вектор нормали можно задать в виде п = . Тогда, используя формулу (66), получаем, что требуется вычислить поверхностный интеграл 1-го рода

(Область D - круг с центром в начале координат радиуса R, поэтому удобно в конце расчета перейти к полярным координатам).

9. Формула Гаусса-Остроградского

Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.

Рис. 16.

Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S1, заданную уравнением z = f1(x, y), S2: z = f2 (x, y) и S3 - цилиндричес-кую поверхность с образующей, параллельной оси Oz (рис.16).

Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) или, иначе говоря, вектор

и вычислим интеграл

Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S1 cos(n, z) < 0, на S2 cos(n, z) > 0, a на S3

cos(n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой части предыду-щего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:

,

.

(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, что элементы площади поверхности S1 и области D связаны соотношением dxdy = ?S(-cos(n, z)) ). Следовательно, исходный интеграл можно представить в виде:

Окончательный результат можно записать так:

Таким же образом можно получить соотношения

Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:

(67)

Воспользовавшись формулой (66), задающей связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:

(68)

где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

Пример 14.

Вычислим поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности

Применим формулу Гаусса-Остроградского:

Перейдем к сферическим координатам:



10. Формула Стокса

Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает ее не более чем в одной точке. Обозначим границу поверхности ? и выберем в качестве положительного направления нормали такое, при котором она образует с положительным направлением оси Оz острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие косинусы нормали задаются формулами

, ,

.

Рассмотрим некоторую трехмерную область V, в которой целиком лежит поверхность S, и зададим в этой области функцию P(x, y, z), непрерывную вместе с частными производными первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл 2-го рода по кривой ?:

.

Рис. 17.

Уравнение линии ? имеет вид z = f(x, y), где х, у - координаты точек линии L, являющейся проекцией ? на плоскость Оху (рис.17). Поэтому, используя формулу (46), получаем:

=.

Обозначим P(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу Грина:

где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное выражение, используя формулу производной сложной функции:

и подставим его в предыдущее равенство:

.

Тогда

=

Теперь применим к интегралам, стоящим справа, формулу (64) и перейдем к поверхностным интегралам 1-го рода по поверхности ?:

так как . Следовательно, окончательный результат преобразований выглядит так:

=.

При этом направление обхода контура ? выбирается соответствующим положительному направлению нормали (рис.17).

Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функции

Q(x, y, z) и R(x, y, z), можно получить для них аналогичные соотноше-ния:

=,

=.

Складывая левые и правые части полученных равенств, получим формулу Стокса, устанавливающую связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности ? и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру ? с учетом ориентации поверхности:

(69)

Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное выражение в правой части формулы Стокса, которое можно получить, раскрывая определитель по первой строке и учитывая, что во второй его строке стоят операторы частного дифференцирования по соответствующим переменным, применяемые к функциям, стоящим в третьей строке.

Используя связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода (формула (66)), можно записать формулу Стокса в ином виде:

Пример 15.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

по контуру при положительном направлении обхода контура.

Вычислим

.

Выберем в качестве поверхности, натянутой на контур ?, часть плоскости Оху, ограниченную этим контуром, и применим формулу Стокса:

II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ, КРИВОЛИНЕЙНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Двойной интеграл

1. Площадь плоской области

Из формулы (1) следует, что при f(x,y) ? 0 предел интегральной суммы при равен площади области интегрирования S, то есть

(71)

Пример 16.

Найти площадь области, ограниченной линиями у = 16 - х2, у = -9.

криволинейный интеграл формула

Для определения пределов интегрирования приравняем правые части уравнений, задающих границы области:

Тогда



2. Объем цилиндроида

Рассмотрим тело, ограниченное частью поверхности S: z = f(x,y) , ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху. Такое тело будем называть цилиндроидом. Тогда из формул (1) и (2) получим, что объем этого тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по проекции D области S на координатную плоскость Оху:

(72)

Пример 17.

Найти объем цилиндроида, ограниченного поверхностью

,

цилиндром x2 + y2 = 4 и частью координатной плос-кости Оху.



Проекцией D поверхности S: на координатную плос-кость Оху является круг x2 + y2 = 4. Применим формулу (72):

.

Перейдем к полярным координатам:

3. Площадь криволинейной поверхности

Вычислим площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L. Вспомним еще раз, что площадь элемента поверхности ?Si равна

,

где ?Di - проекция ?Si на плоскость Оху, ? - угол между осью Оz и нормалью к ?Si в некоторой ее точке Составив интегральную сумму

и устремив ее к пределу при , получим формулу для площади поверхности:

(73)

Пример 18.

Найти площадь верхней поверхности цилиндроида из примера 15.

Эта поверхность представляет собой часть сферы х2 + у2 + z2 = 9, вырезанную цилиндром x2 + y2 = 4.

Найдем частные производные функции по х и у:

.

Применим формулу (73):



4. Момент инерции плоской фигуры

Рис. 18.

Вспомним определение момента инерции

а) материальной точки М с массой т относительно точки О: I = mr? (r -

расстояние от М до О);

б) системы материальных точек m1, m2,…, mn относительно точки О:

.

Определим теперь момент инерции относительно точки О материальной плоской фигуры D.

Найдем момент инерции фигуры D (рис.18) относительно начала координат, считая, что плотность в каждой точке равна 1. Разобьем область D на части ?Si (i = 1, 2,… n) и выберем в каждой части точку Pi (?i, ?i). Назовем элементарным моментом инерции площадки ?Si выражение вида ?Ii = (?i? + ?i?)?Si и составим интегральную сумму

(74)

для функции ?2(x, y) = x? + y? (квадрата расстояния от любой текущей точки Р(х,у) до начала координат) по области D.

Определение 15. Предел интегральной суммы (74) при стремлении максимального диаметра d элементарной подобласти к нулю () называется моментом инерции фигуры D относительно начала координат:

(75)

Определение 16. Интегралы

(76)

называются моментами инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу.

Замечание. Если поверхностная плотность не равна 1, а является некоторой функцией ? = ?(х, у), то момент инерции фигуры относительно начала координат вычисляется по формуле

(77)

Пример 19.

Вычислить момент инерции плоской пластины с поверхностной плотностью ?(х, у) = 3ху, имеющей форму треугольника, ограниченного

отрезками прямых х + у =3, х = 3, у = 3, относительно оси Ох.

у

Размещено на http://www.allbest.ru/

х

Применим формулу (76):

5. Координаты центра масс плоской фигуры

Как известно, координаты центра масс системы материальных точек P1, P2,…, Pn с массами т1, т2,…, тп определяются по формулам

.

Если разбить плоскую фигуру D с поверхностной плотностью, равной 1, на части, то масса каждой части будет равна ее площади. Будем считать теперь, что вся масса элементарной площадки ?Si сосредоточена в какой-либо ее точке Pi (?i, ?i). Тогда фигуру D можно рассматривать как систему материальных точек, центр масс которой определяется равенствами

.

Переходя к пределу при , получим точные формулы для координат центра масс плоской фигуры:

. (78)

В случае переменной поверхностной плотности ? = ? (х, у) эти формулы примут вид

. (79)

Пример 20.

Найти координаты центра тяжести кругового сектора радиуса 2 с центром в начале координат и центральным углом 60о, если ?(х, у) = 1.



Найдем М, Мх и Му в полярных координатах, учитывая, что область интегрирования симметрична относительно оси Ох.

Применим формулы (78):

2. Тройной интеграл

1. Объем тела

Из определения 3 следует, что при f(x, y, z) ? 1 тройной интеграл по некоторой замкнутой области V равен объему тела V:

(80)

Пример 21.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 = 2у, , z = 0.

Преобразуем уравнение первой поверхности: х2 + (у - 1)2 = 1. Следова-тельно, это круговой цилиндр с образующими, параллельными оси Oz, радиуса 1 с центром в точке (0; 1).

Второе уравнение задает параболический цилиндр с образующими, параллельными оси Оу, поверхность которого ограничивает данное тело сверху. Нижняя граница тела представляет собой часть координатной плоскости Оху.

Проекцией тела на плоскость Оху является круг, граница которого задается уравнением х2 + (у - 1)2 = 1.

Учитывая все сказанное, применим формулу (80):



.

Перейдем в полученном интеграле к полярным координатам, в которых уравнение окружности х2+ у2 = 2у преобразуется к виду:

,

а угол ? меняется от 0 до ?:

2. Масса тела

Если ? = ? (x, y, z) - функция, задающая плотность вещества, из которого состоит тело V, то масса тела выражается формулой

(81)

3. Момент инерции тела

Используя формулы для моментов инерции точки М (x, y, z) массы т относительно координатных осей:

и проводя те же рассуждения, что и при определении моментов плоской фигуры, можно задать моменты инерции тела относительно координатных осей и начала координат в виде:

(82)

(83)

где ? (х, y, z) - плотность вещества.

Пример 22.

Вычислить момент инерции пирамиды, ограниченной плоскостями x = 0,

y = 0, z = 0, , относительно начала координат при ?(x,y,z) = 1.

z

Размещено на http://www.allbest.ru/

x

Плоскость пересекает координатную плоскость Оху по прямой , уравнение которой получено из уравнения плоскости при z = 0. Соответственно проекцией всей пирамиды на плоскость Оху является треугольник, стороны которого задаются уравнениями x = 0,

y = 0, . Воспользуемся формулой (83):



4. Координаты центра масс тела

Формулы для координат центра масс тела тоже задаются аналогично случаю плоской фигуры:

(84)

Здесь

статические моменты тела отностиельно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy соответственно.

3. Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл 1-го рода

1. Длина кривой

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ? 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

(85)

2. Масса кривой

Считая, что подынтегральная функция ? (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

(86)

Пример 23.

Найти массу кривой с линейной плотностью , заданной в полярных координатах уравнением

Используем формулу (86):

3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области:

- (87)

- статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

- (88)

- момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

- (89)

- моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4. Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

. (90)

Криволинейный интеграл 2-го рода

Если считать, что сила действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

, (91)

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

Пример 24.

Вычислить работу силы , действующей на точку, движущуюся по прямой от точки А(2; 1; 0) до точки В(-3; 2; 1).

Параметрические уравнения прямой АВ имеют вид:

При этом dx = -5dt, dy = dt, dz = dt.

Работа

4. Поверхностный интеграл 1-го рода

1. Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

(92)

(? - проекция S на плоскость Оху).

2. Масса поверхности

(93)

Пример 25.

Найти массу поверхности S: x2 + y2 + z2 = 4, с поверхностной плотностью .

Зададим поверхность S в явном виде: и найдем dS:

.

Поверхность S представляет собой часть сферы радиуса 2 с центром в начале координат, вырезанную плоскостью . Найдем проекцию этой поверхности на координатную плоскость Оху. Линией пересечения сферы и плоскости является окружность , то есть х2 + у2 = 1. Следовательно, проекцией S на плоскость Оху является круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Вычислим массу поверхности в полярных координатах:

3. Моменты:

- (94)

- статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

(95)

- моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

- (96)

- моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

- (97)

- момент инерции поверхности относительно начала координат.

4. Координаты центра масс поверхности:

. (98)

Замечание. Так как формулы, задающие значения геометрических и физических величин с помощью интегралов, выводятся с помощью одних и тех же приемов для интегралов всех рассматриваемых типов, подробный их вывод дается только в начале главы. При желании можно провести аналогичные рассуждения для тройных, криволинейных и поверхностных интегралов и получить все формулы, приводимые без подробного вывода.

Литература

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969.

2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.

4. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 1965.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Т.2. М.: Наука, 1981.

7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). - Т.2. М.: Наука, 1981.

8. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1973.

Размещено на Allbest.ru