Введение в математический анализ

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Практическое занятие №1. Введение в математический анализ

область определение функция четность предел

Основные результаты обучения:

находить область определения функции;

исследовать функцию на «четность-нечетность»;

преобразовывать графики элементарных функций;

вычислять пределы функций, раскрывать неопределенности.

Примеры решения типовых задач

Пример 1.1

Найти область определения функции:

;

.

Решение:

Область определения функции находится из условия

.

Корни квадратного трехчлена x=2 иx=3, следовательно, это условие выполняется на двух интервалах:

(-?; 2) и (3; +?).

График функции отсутствует на интервале (2; 3). Следовательно, область определения данной функции:

.

Так как выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательно, и знаменатель дроби отличен от нуля, то область определения функции найдем из системы:

 или т.е.

следовательно,

Область определения данной функции - это значения переменной x, которые удовлетворяют всем условиям системы одновременно:

.

Пример 1.2

Выяснить четность (нечетность) функции:

;

.

Решение:

Найдем .

Так как ,

функция является четной.

.

Так как и ,

функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример 1.3

Построить график функции:

.

Решение:

Преобразуем функцию. Выделим полный квадрат:

.

Воспользуемся преобразованиями графиков: 1) строим график

(график 1 на рис.1а); 2) строим график

параллельным переносом

на 1 единицу влево (график 2 на рис. 1а); 3) строим график

,

растягивая график

в два раза вдоль оси Oy (график 3 на рис. 1б); 4) строим график

,

отображая график

симметрично относительно оси Ox (график 4 на рис 1б); 5) строим график

перемещая график

на 3 единицы вверх вдоль оси Oy (график 5 на рис. 1б).

Рис.1

Пример 1.4.

Найти пределы функций:

;

;

;

.

.

.

Решение:

Для того, чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения этой функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение.

Подставляем вместо х в выражение под знаком предела 3, получим

.

Знаменатель дроби

при

является бесконечно большой величиной, по свойствам бесконечно больших и бесконечно малых величин при

является бесконечно малой величиной, следовательно, по определению бесконечно малой величины, искомый предел равен нулю.

Знаменатель дроби

при

является бесконечно малой величиной, тогда - бесконечно большая величина; числитель дроби является функцией, предел которой отличен от нуля

().

Следовательно, функция

является бесконечно большой величиной, т.е. искомый предел равен .

Подставив в функцию предельное значение

,

получим:

(неопределенность).

Разделим числитель и знаменатель дроби на x в наибольшей степени, получим:

,

так как - величины бесконечно малые при .

Имеем неопределенность вида. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: числитель по формуле сокращенного умножения

,

а знаменатель - по формуле разложения квадратного трехчлена на множители при

:

, где .

Получим:

.

Имеем неопределенность вида,

так как .

Раскроем эту неопределенность, используя второй замечательный предел:

.

Имеем: .

Так как ,

имеем неопределенность вида.

Раскроем ее, используя первый замечательный предел:

.

Имеем:

Воспользуемся свойствами пределови домножим числитель и знаменатель дроби на 3. Получим:

.

Задачи для самостоятельного решения

Найти область определения функции

.

.

.

.

Выяснить четность (нечетность) функции

.

.

.

.

Построить графики функций

.

.

.

.

.

Найти пределы функций

;

;

;

Размещено на Allbest.ru