Дифференциальные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифференциальные уравнения

§ 1. Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях

дифференциальное уравнение интегрирующий множитель

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n - го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида

(1.1),

где F - заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин - «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x, искомую функцию и любые ее производные, но старшая производная обязана входить в уравнение n-го порядка. Например

а) - уравнение первого порядка;

б) - уравнение третьего порядка.

При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:

в) - уравнение второго порядка;

г) - уравнение первого порядка,

образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения: .

Функция называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество.

Например, уравнение 3-го порядка

имеет решение .

Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение - значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно y(x): В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1).

Например, общим решением дифференциального уравнения является следующее выражение: , причем второе слагаемое может быть записано и как , так как произвольная постоянная , делённая на 2, может быть заменена новой произвольной постоянной .

Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при (1.2)

В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.

Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.

§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка - основные понятия

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n=1) имеет вид: или, если его удается разрешить относительно производной: . Общее решение y=y(x,С) или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Теорема 2.1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости XOY , и в этой области задана точка , то существует и притом единственное решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию .

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром - значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: . Другими словами, уравнение задается в плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым. Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению приводится уравнение и так называемое уравнение в симметрической форме.

§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (3.1)

или уравнение вида (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:

;

Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :

,

что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2):

(3.3)

Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.

Пример.

Решить уравнение

.

Решение

Разделяем переменные:

.

Интегрируя, получаем

Далее из уравнений и находим x=1, y=-1. Эти решения - частные решения.

§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция - однородная нулевого измерения.

Решение

,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция - однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство

Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции , что и требовалось доказать.

Определение 2 Уравнение (4.1)

в котором M и N - однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным.

Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) - новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: или или .

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x) , который после повторной замены дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения , то функции - решения однородного заданного уравнения. Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: .

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.

§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Рассмотрим уравнение вида . (5.1)

Если , то это уравнение с помощью подстановки , где и - новые переменные, а и - некоторые постоянные числа, определяемые из системы

Приводится к однородному уравнению

Если , то уравнение (5.1) принимает вид

.

Полагая z=ax+by, приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.

Рассмотрим примеры.

Пример 1

Проинтегрировать уравнение

и выделить интегральную кривую, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;-1).

Решение

Положим y=zx. Тогда dy=xdz+zdx и

.

Сократим на и соберем члены при dx и dz:

.

Разделим переменные:

 .

Интегрируя, получим

;

или , .

Заменив здесь z на , получим общий интеграл заданного уравнения в виде (5.2) или .

Это семейство окружностей , центры которых лежат на прямой y = x и которые в начале координат касаются прямой y + x = 0. Эта прямая y = -x в свою очередь частное решение уравнения.

Теперь режим задачи Коши:

А) полагая в общем интеграле x=2, y=2, находим С=2, поэтому искомым решением будет .

Б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку (1;-1). Зато полупрямая y = -x, проходит через точку и дает искомое решение.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение

Уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель в данном примере , поэтому надо решить следующую систему

Решая, получим, что . Выполняя в заданном уравнении подстановку , получаем однородное уравнение . Интегрируя его при помощи подстановки , находим .

Возвращаясь к старым переменным x и y по формулам , имеем .

§ 6. Обобщенное однородное уравнение

Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y - k_го измерения, dx и dy - соответственно нулевого и (k-1)-го измерений. Например, таким будет уравнение . (6.1)

Действительно при сделанном предположении относительно измерений

x, y, dx и dy члены левой части и dy будут иметь соответственно измерения -2, 2k и k-1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k: -2 = 2k = k-1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где z - новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то , после чего получаем уравнение .

Интегрируя его, находим , откуда . Это общее решение уравнения (6.1).

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:

, (7.1)

где P(x) и Q(x) - заданные непрерывные функции от x.

Если функция , то уравнение (7.1) имеет вид:

(7.2)

и называется линейным однородным уравнением, в противном случае оно называется линейным неоднородным уравнением.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

(7.3)

Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P(x) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:

.

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:

или .

Откуда , где - произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет (7.4)

Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при . Этот важный вывод выделим в виде теоремы.

Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения , то все остальные решения имеют вид , где - общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде . Тогда . Подставим найденную производную в исходное уравнение:

.

Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u(x) за скобку:

(7.5)

Потребуем обращения в нуль круглой скобки: .

Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю: . С найденной функцией v(x) вернемся в уравнение (7.5): .

Решая его, получим:

.

Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид:

.

§ 8. Уравнение Бернулли

Определение

Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим: (8.1)

Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (8.1) на и перейдем в нем к функции z(x): , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При добавляется решение y(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в § 7. Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

Пример. Найти общее решение уравнения: (8.2)

Решение

Уравнение (8.2) является уравнением Бернулли, причем .

Будем искать решение уравнения в виде .

Тогда .

В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы . Откуда . Тогда для функции u(x) будем иметь следующее уравнение:

или ,

которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решим его ,

,

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид: , y(x)=0.

§ 9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0, следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.

Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет xy=c.

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество (9.2).

Доказательство

Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y), что и .

Действительно, поскольку ,то

(9.3)

где - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y:

. Но ,

следовательно,

.

Положим и тогда .

Итак, построена функция , для которой , а .

Рассмотрим пример.

Пример. Найти общий интеграл уравнения: .

Решение. Здесь

Тогда . Следовательно, заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует такая функция u(x,y), частные производные которой соответственно по x и y равны M(x,y) и N(x,y):

. Интегрируем первое из двух соотношений по x:

, .

Теперь продифференцируем u(x,y) по y и приравняем полученное в результате выражение выписанной выше частной производной :

.

Откуда и . Следовательно, общим интегралом заданного уравнения является: .

§ 10. Интегрирующий множитель

Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y), такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение

µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du, то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1.

Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y, то

.

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка:

(10.1).

Если заранее известно, что µ= µ(щ), где щ - заданная функция от x и y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной щ:

(10.2),

где , т. е. дробь является функцией только от щ.

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель

, с = 1.

В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (щ = x) или только от y (щ = y), если выполнены соответственно следующие условия:

,

Или

, .

Размещено на Allbest