Решение нелинейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Московский Энергетический Институт (ТУ)

Кафедра Математического Моделирования

Лабораторная работа

Решение нелинейных уравнений

Группа: ТФ-12-10

Студент: Дралина Дарья

Преподаватель: Амосова О.А.

Москва 2011

Задача 1

Дано уравнение

f(x)= .

Найти с точностью все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [0, 1.5]. Для решения задачи использовать метод бисекции. Найти корни с помощью встроенной функции root пакета MATHCAD.

Метод бисекции.

Пусть [a,b] - отрезок локализации. Предположим, что функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах принимает значения разных знаков . Алгоритм метода бисекции состоит в построении последовательности вложенных отрезков, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Критерий окончания итерационного процесса: если длина отрезка локализации меньше 2, то итерации прекращают и в качестве значения корня с заданной точностью принимают середину отрезка.

Аналитическое решение задачи:

[a,b]=[0,1.5]

Численное решение задачи:

Локализация корней для численного решения задачи:

Отрезки локализации: [0.6,0.9], [1.2,1.5]

Первый корень:



Встроенная функция пакета MATHCAD:

Задание начального приближения

Значения корней совпадают в пределах заданной точности, корень 0.7853981634.

Второй корень:

Встроенная функция пакета MATHCAD:

Задание начального приближения

Значения корней в пределах заданной точности совпадают,

корень 1.3181160716.

Задача 2

нелинейный уравнение бисекция итерация

Локализовать все корни уравнения . Найти их с точностью , используя метод Ньютона и метод простых итераций. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций).

=

Метод Ньютона:

Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:



Геометрически метод Ньютона означает, что следующее приближение к корню есть точка пересечения с осью ОХ касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке .

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности е>0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство .

Решение:

=

Отрезки локализации:

[-2,-1], начальное приближение -1

[0,1], начальное приближение 0

[6.8,8], начальное приближение 6.8



Исходные данные	Выходные данные
-1	0.00000001	x[7]=-1.59785393605423
0	0.00000001	x[4]=0.117860645046202
6.8	0.00000001	x[4]=7.07999329100802

Паскаль-программа реализации метода Ньютона:

Program matmod22newton;

var x:array[0..1000] of real;

n:integer;

eps:real;

f1,f2:text;

Begin

assign(f1,'исходные данные.txt');

assign(f2,'выходные данные.txt');

reset(f1);

rewrite(f2);

read(f1,x[0],eps);

n:=1;

x[n]:=x[n-1]-(1.5*sqr(x[n-1])*x[n-1]-8.4*sqr(x[n-1])-16*x[n-1]+2)/(4.5*sqr(x[n-1])-16.8*x[n-1]-16);

while abs(x[n]-x[n-1])>eps do

begin

n:=n+1;

x[n]:=x[n-1]-(1.5*sqr(x[n-1])*x[n-1]-8.4*sqr(x[n-1])-16*x[n-1]+2)/(4.5*sqr(x[n-1])-16.8*x[n-1]-16);

end;

writeln(f2,'x[',n,']=',x[n]);

close(f1);

close(f2);

End.

Метод простых итераций:

Метод простой итерации (метод последовательных повторений). Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение преобразовать к виду, удобному для итерации . Это преобразование можно выполнить различными способами. Функция называется итерационной функцией. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:

.

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор, пока не окажется выполненным неравенство

.

Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой итерации, состоит в следующем: исходное уравнение приводится к виду

.

Предположим дополнительно, что производная знакопостоянна и на отрезке [a,b].

- оптимальное значение параметра б.

Где m1 - минимальное значение ,

M2 - максимальное на отрезке [a,b].

Решение:

=

Отрезки локализации:

[-2,-1], начальное приближение -1

[0,1], начальное приближение 0

[6.8,8], начальное приближение 6.8

Исходные данные	Выходные данные
a	b	Приближение	точность
-2	-1	-1	0.00000001	x[10]=-1.59785393665885 max=35.6 min=5.3 q= 0.740831295843521
0	1	0	0.00000001	x[11]=0.117860643141106 max=-16 min=-28.3 q=0.27765237020316
6.8	8	6.8	0.00000001	x[11]=7.07999329032419 max=137.6 min=77.84 q=0.277385815076123

Паскаль-программа реализации метода простых итераций:

Program matmod22prost_iter;

var x:array[0..1000] of real;

n,i:integer;

eps,alpha,a,b,q,max,min:real;

f1,f2:text;

procedure alph(a,b:real;var q,max,min,alpha:real);

var dfa,dfb:real;

begin

dfa:=4.5*sqr(a)-16.8*a-16;

dfb:=4.5*sqr(b)-16.8*b-16;

if dfa>dfb then

begin

max:=dfa;

min:=dfb

end

else

if dfb>dfa then

begin

max:=dfb;

min:=dfa

end;

alpha:=2/(Max+min);

q:=(abs(max-min))/(abs(max+min));

writeln(f2,'max=',max,' min=',min)

End;

Procedure func(alpha,x0,q,eps:real;var x:array[0..1000] of real;var n:integer);

Begin

n:=1;

x[1]:=x0-alpha*(1.5*sqr(x0)*x0-8.4*sqr(x0)-16*x0+2);

if q<=0.5 then

begin

writeln(f2,'q=',q,' используем упрощенный критерий');

while abs(x[n]-x[n-1])>eps do

begin

n:=n+1;

x[n]:=x[n-1]-alpha*(1.5*sqr(x[n-1])*x[n-1]-8.4*sqr(x[n-1])-16*x[n-1]+2);

end

end

else

begin

writeln(f2,'q=',q,' используем полный критерий');

while abs(x[n]-x[n-1])>(1-q)*eps/q do

begin

n:=n+1;

x[n]:=x[n-1]-alpha*(1.5*sqr(x[n-1])*x[n-1]-8.4*sqr(x[n-1])-16*x[n-1]+2)

end

end

End;

Begin

assign(f1,'isdanpi.txt');

assign(f2,'vdanpi.txt');

reset(f1);

rewrite(f2);

read(f1,a,b,x[0],eps);

alph(a,b,q,max,min,alpha);

func(alpha,x[0],q,eps,x,n);

for i:=0 to n do

writeln(f2,'x[',i,']=',x[i]);

close(f1);

close(f2);

End.

Ответы:

Метод простой итерации

x1=7.07999329

x2=0.11786064

x3=-1.59785393

Метод Ньютона

x1=7.07999329

x2=0.11786064

x3=-1.59785393

Выводы

Метод Ньютона сходится быстрее, так как число итераций, совершенных для нахождения первого корня - 7, второго - 4, третьего - 4. А число итераций в методе простых итераций, совершенных для нахождения первого корня - 9, второго - 11, третьего - 11.

Чтобы наиболее быстро получить решение уравнения, необходимо указывать начальное приближение наиболее близкое к корню. Также на количество итераций влияет и длина отрезка локализации - чем он короче, тем быстрее будет получен корень уравнения.

Размещено на Allbest.ru