Проецирование фигур

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Предмет и метод начертательной геометрии. Методика проецирования фигур на плоскость

Начертательная геометрия (НГ) - наука, изучающая способы построения изображений предметов на плоскости и способов решения пространственных геометрических задач по изображениям.

Предметом НГ является изложение и обоснование способов построения изображений пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм.

Правила построения изображений излагаемых в НГ, основаны на методе проекции. Рисование - точное представление о форме, размерах отверстий об отдельных элементах. Недостатки: искажение формы, окружность превращается в овал. Применяется только для вспомогательных элементов.

Чертёж - передаёт форму не одним, а несколькими изображениями (проекциями, видами), при этом отдельная проекция изображает только одну сторону предмета. Достоинства: такой тип помогает точно установить форму и размеры будущего изделия.

Любой предмет представляет собой множество точек, поэтому изображение пространственной формы сводится к отображению принадлежащему точек.

Проекция - изображение предмета на плоскости, получающий при помощи прямых линий, проведённых через множество точек на поверхности предмета до их пересечения с плоскостью проекции.

Плоскость проекции - плоскость, на которой строиться изображение предмета на плоскость, путем проведения проецирующих прямых (лучей.) через его характерные точки.

Бывает:

1. Центральное проецирование

2. Параллельное проецирование (делится на косоугольное и прямоугольное)

Проекции линии - проекции ряда её точек.

2. Способы проецирования

Построить проекции предметов на чертеже можно двумя способами: центральным и параллельным. Сущность центрального способа проецирования заключается в том, что все лучи, проецирующие предмет, исходят из одной точки Р, называемой центром проекций (рис. 1). Полученные проекции А', В', С' называются центральными проекциями точек А, В, С. Сущность параллельного способа заключается в том, что все проецирующие лучи проходят параллельно наперед заданному направлению 5, а значит и друг другу (рис. 2). Это можно уподобить случаю центрального способа проецирования, когда центр проекций S удален в бесконечность и все проецирующие лучи становятся параллельными.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

При построении проекций А', В', С' этим способом они называются параллельными проекциями точек А, В, С. При проецировании совокупность проецирующих лучей образует различные геометрические фигуры. При проецировании прямой линии - это плоскость (рис. 3) при проецировании ломаной линии - поверхность призмы или пирамиды (рис. 4), при проецировании кривой линии - коническая или цилиндрическая поверхность. В отличие от проецируемых фигур эти фигуры называют проецирующими.

3. Методика построения параллельных проекций. Прямоугольное проецирование

Сущность параллельного способа заключается в том, что все проецирующие лучи проходят параллельно наперед заданному направлению S, а значит и друг другу (рис. 45). Это можно уподобить случаю центрального способа проецирования, когда центр проекций S удален в бесконечность и все проецирующие лучи становятся параллельными. При построении проекций А', В', С' этим способом они называются параллельными проекциями точек А, В, С.

Прямоугольное (ортогональное) проецирование точки на одну плоскость проекций.

Рассмотрим самый простой случай - ортогональное проецирование точки (рис. 102). Перед плоскостью проекций поместим точку А и через нее проведем проецирующий луч Sa под прямым углом к плоскости проекций до пересечения с ней. Получим точку а - проекцию точки А.

Вывод: 1. Проекция точки на данную плоскость проекций есть точка. 2. Любая проецируемая точка имеет одну проекцию на выбранной плоскости проекций. 3. Проекция точки, лежащей на плоскости проекций, совпадает с самой точкой.

Для того чтобы получить две проекции точки, определяющих положение ее в пространстве, возьмем две взаимно перпендикулярные плоскости: V - фронтальную и Н - горизонтальную. Они будут пересекаться по прямой ох, которую называют осью проекций (рис. 104).

Расположим точку А в двугранном углу. Используя метод прямоугольного проецирования, спроецируем ее на плоскости проекций, получим фронтальную (а') и горизонтальную (а) проекции точки А. Запись а' читается как «а штрих».

Построение третьей проекции точки по двум заданным.

Если известны любые две проекции точки (например, а и а'), то можно найти третью проекцию (в нашем примере а»). Для этого можно использовать постоянную прямую чертежа, которая проводится под углом 45° (рис. 108). Через заданные проекции а и а' точки А проводим линии связи перпендикулярно к осям OZ и оу. Точки пересечения линий связи дают искомую проекцию а». Перенос линии проекционной связи с оси оун на ось oyw осуществляется с помощью постоянной прямой I (рис. 108). Так с помощью вспомогательной прямой находится третья проекция а» точки А по двум заданным.

4. Проекция точки в системе двух плоскостей проекций. Координаты точки

Образование отрезка АА₁ прямой линии можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н, а образование плоскости - как перемещение отрезка АВ прямой линии.

Точка - основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.

В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций V и горизонтальной плоскостью проекций Н, поместим точку А.

Линия пересечения плоскостей проекций V и Н - прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.

Плоскость V здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н - в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется ровной 0,5 ее действительной длины.

Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости V и Н. тогда точки аґ и а пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А. фигура Ааа_хаґ в пространстве - прямоугольник. Сторона аа_х этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.

Совместим плоскость Н с плоскостью V, вращая плоскость V вокруг линии пересечения плоскости х. В результате получается комплексный чертеж точки А.

Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекции V и Н не указывают.

Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называется проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий - точки а и аґ - проекциями точки А: аґ - фронтальная проекция точки А, а - горизонтальная проекция точки А.

Линия аґа называется вертикальной линией проекционной связи.

Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве.

Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций Н, то ее горизонтальная проекция а совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция аґ располагается на на оси х. при расположении точки В на фронтальной плоскости проекций V ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой, а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой.

5. Задание прямой на чертеже. Положение прямой относительно плоскостей проекций

проецирование фигура плоскость

Прямая линия АВ определяется двумя точками, которые находятся на концах отрезка.

Прямоугольную проекцию отрезка АВ можно построить следующим образом.

Опустив перпендикуляры из точек А и В на плоскость H, получим проекцию a и b этих точек. Соединив точки а и b прямой линией, получим искомую горизонтальную проекцию отрезка АВ.

Если взять на отрезке прямой линии АВ точки А, С, Д, Е, В и из каждой точки опустить перпендикуляры на плоскость H, то совокупность этих перпендикуляров можно рассматривать как плоскость Q, перпендикулярную плоскости H. Плоскость Q пересечет плоскость H по прямой линии, на которой располагаются точки пересечения всех перпендикуляров с плоскостью H. Так как эти точки являются проекциями точек отрезка АВ, то, следовательно, и отрезок ab будет проекцией отрезка АВ. Таким образом, проекцию отрезка АВ на плоскости H можно получить, если через отрезок АВ провести плоскость Q, перпендикулярную плоскости H, до их взаимного пересечения. Линия пересечения плоскостей и будет горизонтальной проекцией отрезка АВ.

Рассмотрим различные случаи расположения отрезков прямой линии относительно плоскостей проекции H, V, W.

1. Прямая, перпендикулярная плоскости V, называется фронтально-проецирующей прямой.

2. Прямая, перпендикулярная плоскости H, называется горизонтально-проецирующей прямой.

3. Прямая, перпендикулярная плоскости W, называется профильно - проецирующей прямой.

4. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью.

5. Прямая, параллельная плоскости V, называется фронтальной прямой, или фронталью.

6. Прямая, не параллельная ни одной из трех плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

6. Задание плоскости на чертеже. Плоскость общего положения. Проецирующие плоскости и плоскости уровня

Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающими прямыми; г) двумя параллельными прямыми. Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня. Если на комплексном чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибуть плоской фигурой, например треугольником или параллелограммом, то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций - в виде отрезков прямых. Проецирующие плоскости: горизонтально-проецирующая, фронтально-проецирующая, профильно-проецирующая. Если плоскость находится под произвольным углом к плоскостям проекции, то такая плоскость называется плоскостью общего положения.

7. Точка в плоскости. Методика построения второй проекции точки, лежащей в плоскости

Образование отрезка АА1 прямой линии можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н, а образование плоскости - как перемещение отрезка АВ прямой линии. Точка - основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольных проекций точки. В пространстве двугранного угла, образованного 2-я перпендикулярными плоскостями - фронтальной (вертикальной) плоскостью проекции В и горизонтальной плоскостью проекции Н, поместим точку А. Линия пересечения плоскостей проекции В и Н - прямая, которая называется осью проекции и обозначается буквой х. Плоскость В здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н - в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45 градусов к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины. Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости В и Н. Тогда точки а* а пресечение перпендикуляров с плоскостями проекции в* и Н являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Аааха в пространстве - прямоугольник.

8. Пересечение прямой и плоскости. Введение дополнительной плоскости для определения точки пересечения и методика определения видимости методом конкурирующих точек

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую АВ проводят любую вспомогательную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей. Можно провести вспомогательно-проецирующую плоскость Q.через горизонтальную проекцию ав прямой АВ проводят горизонтальный след QH плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью х в точке Qx. Из точки Qx к оси х восстанавливают перпендикуляр QxQv, который будет фронтальным следом Qv вспомогательной плоскости Q.

Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Отметив точки пересечения следов Рv и Qv - точку vґ и следов PH и QH - точку h, опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых - точки vґи hґ - будут вторыми проекциями следов VH. Соединяя точки vґи hґ, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения М заданной прямой АВ и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция тґ этой точки расположена на пересечении проекций, аґbґи vґhґ. Горизонтальную проекцию т точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки тґ до пересечения с аb.

Если плоскость задана не следам, а плоской фигурой, например треугольником, то точку пересечения прямой МN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом.

Через прямую МN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Р. Для этого через точки тґ и nґ проводят фронтальный след плоскости Р, продолжают его до оси х и из точки пересечения следа плоскости Рv с осью х опускают перпендикуляр РH, который будет горизонтальным следом плоскости Р.

Затем находят линию ЕD пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника АВС. Фронтальная проекция eґdґ линии ЕD совпадает с фронтальным следом тґnґ плоскости Р. Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек eґ и dґ до пересечения с проекциями аb и ac сторон треугольника АВС. Точки e и d соединяют прямой.

На пересечении горизонтальной проекции ed линии ЕD с горизонтальной проекцией тn прямой МN находят горизонтальную проекцию k искомой точки K. Проведя из точки k вертикальную линию связи, находят фронтальную проекцию kґ. Точка К - искомая точка пересечения МК с плоскостью треугольника АВС.

В частном случае прямая АВ может быть перпендикулярна плоскости Р. Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости. Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости. фронтальная проекция аґ bґ перпендикулярна фронтальному следу Рv, а горизонтальная проекция аb перпендикулярна горизонтальному следу РH плоскости Р. Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС, необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом.

На плоскость проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и dґ точки D опускают перпендикуляры соответственно на се и fґaґ. Прямая, проведенная из точки D, будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

9. Натуральная величина отрезка прямой методами прямоугольного треугольника, замены плоскостей проекций и методом вращения

В техническом черчении иногда приходится по данным прямоугольным проекциям (комплексному чертежу) детали определять натуральную величину какого-либо элемента этой детали, расположенного в плоскости общего положения. Для этого применяются особые методы построения, цель которых получить новую проекцию элемента детали, представляющую собой натуральную величину. Одним из таких методов является метод вращения.

Метод вращения заключается в том, что заданные точка, линия или плоская фигура вращаются вокруг оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекций, до требуемого положения относительно какой-либо плоскости проекций. Если вращается фигура или тело, то каждая их точка будет перемещается по окружности.

Размещено на Allbest.ru