Фракталы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Реферат на тему:

«Фракталы»

Иркутск, 2011 г.

Содержание

1. Определение фракталов

2. Основные типы и их характеристика

3. Роль фракталов в современном мире

Список литературы

1. Определение фракталов

Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту.

Бертранд Рассел

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река - это фракталы.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие‚ в самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Примером фрактальной геометрии природы может служить фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora).

2. Основные типы и их характеристики

Фракталы делятся на группы, среди которых выделяют:

1. геометрические фракталы;

2. алгебраические фракталы;

3. стохастические фракталы.

Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса самые наглядные. Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотренная выше кривая Пеано является геометрическим фракталом. На рисунке ниже приведены другие примеры геометрических фракталов (Рисунок 4: слева направо Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).

Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.

Для построения треугольника Серпинского из центра равностороннего треугольника "вырежем" треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Алгебраические фракталы.

Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Это самая крупная группа фракталов. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

- с течением времени стремится к бесконечности.

- стремится к 0

- принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.

- поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта.

Функционально множество Мандельброта определяется как Zn+1=Zn*Zn+C. Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от -2+2i до 2+2i выполняем некоторое достаточно большое количество раз Zn=Z0*Z0+C, каждый раз проверяя абсолютное значение Zn. Если это значение больше 2, что рисуем точку с цветом равным номеру итерации на котором абсолютное значение превысило 2, иначе рисуем точку черного цвета. Все множество Мандельброта в полной красе у нас перед глазами.

Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю - это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса).

Самое интересное это границы множества. Они то и являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо - хаотично.

Меняя функцию, условия выхода из цикла можно получать другие фракталы.

Таким образом, можно поменять алгоритм выбора цвета и получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Стохастические фракталы.

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

3. Роль фракталов в современном мире

Одно из главных применений фракталов - это компьютерная графика. С помощью них можно создать (описать) поверхности очень сложной формы, а изменяя всего несколько коэффициентов в уравнении добиваться практически бесконечных вариантов исходного изображения. Это и фрактальное сжатие изображений, и построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов. И, конечно же, фракталы применяются непосредственно в самой математике.

Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.

Компанией Iterated разработан новый формат изображений "Sting", сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (такое как в формате jpeg) сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений.

Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении.

Нельзя обойти стороной и применения фракталов в самой математике. В теории множеств множество Кантора доказывает существование совершенных нигде не плотных множеств, в теории меры самоаффинная функция "Канторова лестница" является хорошим примером функции распределения сингулярной меры.

В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличие на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях.

В настоящее время с помощью фракталов строятся торговые экономические стратегии.

Введенное с легкой руки Билл Вильямса определение фрактала (Билл Вильямс «Торговый Хаос» и «Новые Измерения Биржевой Торговли») - применяемого для идентификации рыночной модели, указывающей на вероятное направление развития цены, насколько известно, вызывает бурные споры в среде трейдеров и аналитиков. Многие отрицают возможность эффективного использования данной формации для практического использования в торговли. Их оппоненты указывают на то, что это - один из наиболее качественных инструментов для оценки рынка в краткосрочном периоде, чего нельзя сказать об иных способах оценки ценовых перспектив.

При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

Список литературы:

фрактал самоподобие

1. Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. - Институт компьютерных исследований, 2002 - 656 с.

2. http://fractals.narod.ru/

3. http://fractbifur.narod.ru/

4. http://fraktgeo.ru/

5. http://ru.wikipedia.org/

6. http://sakva.narod.ru/

Размещено на Allbest.ru