Анализ вариационных рядов
Показатели вариации. Расчет дисперсии по модифицированной формуле. Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратичное отклонение. Вариация альтернативного признака. Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 09.12.2011 |
Размер файла | 51,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Анализ вариационных рядов
1. Показатели вариации
Вариацией называется изменяемость, колеблемость величины признака. Вариация проявляется в отклонениях от средних и зависит от множества факторов, влияющих на социально-экономическое явление. Вариация бывает случайной и систематической, существует в пространстве и во времени. Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные.
Показатели вариации
Показатель |
Формула расчета показателя |
|||
простой |
взвешенный |
|||
Абсолютные |
Размах |
(2.1) |
||
Среднее линейное отклонение |
(2.2) |
* (2.3) |
||
Дисперсия |
у2 (2.4) |
(2.5) |
||
Среднеквадратическое отклонение |
(2.6) |
(2.7) |
||
относительные |
Коэффициент вариации |
(2.8) |
||
Линейный коэффициент вариации |
(2.9) |
|||
Коэффициент осцилляции |
(2.10) |
* - Здесь fi - частота ().
Относительные показатели (коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции) строятся с учетом базы (в виде средней), выражаются в процентах и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации .
Для расчета дисперсии можно использовать модифицированную формулу:
.
Выведем эту формулу из формулы
Для расчета дисперсии можно использовать способ отсчета от условного нуля, который позволяет упростить вычисления при больших значениях признака. Тогда дисперсия вычисляется по формуле:
,
где h - величина интервала;
А - условный нуль, в качестве которого можно использовать как середину серединного интервала, так и середину интервала с наибольшей частотой.
Свойства дисперсии
Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Если у всех значений вариантов отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений (дисперсия) от этого не изменится
.
Это значит, что дисперсию можно вычислить не по заданным значениям признака, а по их отклонениям от какого-то постоянного числа, например условного нуля.
Если все значения вариантов разделить на какое-то постоянное число А, то дисперсия уменьшится в А2 раз:
.
Если распределение признака близко к нормальному или симметричному, то по правилу мажорантности (т.к. среднеквадратическое отклонение - средняя геометрическая величина, а среднее линейное отклонение - средняя арифметическая) среднеквадратическое отклонение больше среднего линейного отклонения (), причем , .
Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратичное отклонение - это именованные величины. Единицей измерения у них и у исходных значений признака совпадают. Дисперсия может быть задана в ед.2 признака или в % отклонений.
2. Вариация альтернативного признака
Альтернативные признаки - два противоположных, взаимоисключающих друг друга качественных признака, которыми одни единицы совокупности обладают (значение варианта 1), а другие не обладают (значение варианта 0) (например, пол - мужской и женский, население - городское и сельское, продукция - годная и бракованная).
Частостью (p) является доля единиц, обладающих данным признаком, в общей численности совокупности и (q = 1 - p) - доля единиц, не обладающих данным признаком, в общей численности совокупности.
xi |
fi |
|
1 |
p |
|
0 |
q = 1 - p |
Средняя арифметическая альтернативного признака
.
Дисперсия альтернативного признака
,
т.е. дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком.
Исходя из того, что p + q = 1:
; .
дисперсия вариация модифицированный отклонение
3. Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий
Если исходная совокупность является такой, что по значениям признака она делится на l групп, то общая дисперсия складывается из частных дисперсий. В таблице представлен анализ такой совокупности.
Определение исходной совокупности по группам
Значение признака х |
Число единиц в j-й группе |
Итого |
|||||
1 |
… |
j |
… |
l |
|||
х1 |
f11 |
… |
f1j |
… |
f1l |
||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
хi |
fi1 |
… |
fij |
… |
fil |
||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
хk |
fk1 |
… |
fkj |
… |
fkl |
||
Итого |
… |
… |
Здесь j - номер группы ();
хi - i-е значение признака ();
fij - частота i-го значения признака, число единиц в j-й группе;
mi - сумма частот i-го значения признака в каждой группе;
nj - сумма частот всех значений признака в j-й группе;
N - сумма частот всех значений признака во всех группах (объем совокупности).
Сначала вычисляем l частных средних (), т.е. среднее значение признака в каждой группе:
.
На основе частных средних определяем общую среднюю () по формулам
или .
Общая дисперсия совокупности
.
Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех факторов, действующих в данной совокупности.
Вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, отражает межгрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений групповой средней от общей средней:
.
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, т.е. вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки.
Вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности отражает внутригрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений значений признака х от частной средней :
или .
Для всей совокупности внутригрупповую вариацию будет выражать средняя из внутригрупповых дисперсий, которая рассчитывается как средняя арифметическая из внутригрупповых дисперсий:
.
Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основу группировки.
Между представленными видами дисперсий существует определенное соотношение, которое известно как правило сложения дисперсий:
.
Таким образом, общая дисперсия складывается из двух слагаемых: первое - средняя из внутригрупповых дисперсий - измеряет вариацию внутри частей совокупности, второе - межгрупповая дисперсия - вариацию между средними этих частей.
Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результатов от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой и общей дисперсий. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации (з2) и показывает долю вариации результативного признака под влиянием факторного.
.
Эмпирическое корреляционное отношение (з) показывает тесноту связи между исследуемым явлением и группировочным признаком.
.
з2 и з [0, 1].
Если связь отсутствует, то = 0. В этом случае межгрупповая дисперсия равна нулю (д2=0), т.е. все групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак не влияет на вариацию исследуемого признака х.
Если связь функциональная, то = 1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии (). Это означает, что группировочный признак полностью определяет характер изменения изучаемого признака.
Чем больше значение корреляционного отношения приближается к единице, тем полнее (сильнее) корреляционная связь между признаками.
Качественная оценка связи между признаками (шкала Чэддока)
Значение |
Характер связи |
Значение |
Характер связи |
||
з = 0 |
Отсутствует |
0,5 ? з < 0,7 |
Заметная |
||
0 < з < 0,2 |
Очень слабая |
0,7 ? з < 0,9 |
Сильная |
||
0,2 ? з < 0,3 |
Слабая |
0,9 ? з < 1 |
Весьма сильная |
||
0,3 ? з < 0,5 |
Умеренная |
з = 1 |
Функциональная |
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Среднее значение показателя (среднее арифметическое). Показатели вариации - размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициент вариации. Максимальное и минимальное значение статистического показателя.
контрольная работа [159,7 K], добавлен 14.11.2008Решение задач линейного программирования, построение графиков линий по точкам. Среднее время ожидания в очереди и исправленное среднее квадратичное отклонение для выборки. Корреляционный анализ связи между числом посетителей и выручкой магазина.
контрольная работа [609,0 K], добавлен 13.11.2011Вариация признаков в совокупности. Типы рядов распределения: атрибутивные и вариационные. Классификация по характеру вариации. Основные характеристики и графическое изображение вариационного ряда. Показатели центра распределения и колеблемости признака.
курсовая работа [110,0 K], добавлен 23.07.2009Операция объединения множеств. Перестановки без повторений, правило произведения. Вероятности извлечения предмета из урны. Вероятность наивероятнейшего числа попаданий в десятку. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
контрольная работа [165,5 K], добавлен 23.09.2011Область определения функции. Точки пересечения графика функции с осями координат. Экстремумы, промежутки возрастания и убывания. Корни полученного квадратного уравнения. Среднее квадратическое отклонение. Коэффициент вариации, максимальное значение ряда.
контрольная работа [91,0 K], добавлен 08.01.2011Основные методы измерения деревьев. Наука о математических методах систематизации. Определение дисперсии случайной величины. Выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение. Метод наименьших квадратов. Свойства параболической регрессии.
курсовая работа [840,1 K], добавлен 15.06.2011Классическое определение вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Дисперсия случайной величины. Число равновозможных событий . Матрица распределения вероятностей системы. Среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал.
контрольная работа [89,7 K], добавлен 07.09.2010Построение интервальных вариационных рядов по показателям. Вычисление средней арифметической, моды и медианы, относительных и абсолютных показателей вариации. Определение количественных характеристик распределений, построение эмпирической функции.
курсовая работа [179,8 K], добавлен 11.01.2012Предмет, метод и история возникновения статистики. Построение таблиц, понятие абсолютных и относительных величин и правила действия с ними. Сущность вариации, свойства дисперсии и расчет индексов. Особенности корреляционно-регрессионного анализа.
курс лекций [302,0 K], добавлен 14.07.2011Построение и графическое изображение вариационных рядов. Дискретный вариационный ряд распределения урожайности зерновых, сельскохозяйственных предприятий по качеству почв. Показатели центра распределения. Показатели формы и колеблемости признака.
лабораторная работа [208,0 K], добавлен 15.05.2014