Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Гипотеза - одна из важных факторов движения науки к достижению прогресса. Возникает как результат наблюдения за явлениями (фактами), гипотеза принимает форму теоретического предположения. Обращение к фактам допускает возможность проверки этого предположения. При этом факты, которыми проверяется гипотеза, должны быть научно обоснованными, т.е. представляют собой результат наблюдения, что базируется на научных принципах.

Задача проверки статистических гипотез возникает в разных сферах человеческой деятельности, а особенно в экономике. При сравнении и оценке разных явлений в последствии возникшего элемента вероятности - это решается с помощью математической статистики. Как правило, в распоряжении исследователей есть выборочные данные. За статистическим анализом выборки делают полный вывод о объекте исследования путем вычисления статистический оценок (точечных, интервальных). Но если при оценивании находят наилучшую статистическую оценку параметра или характера распределения выходной совокупности, то задание проверки статистических гипотез лежит в том, что принимает ли оценку в роли значения исследуемая функция распределения или параметр. Гипотезы о числовых значениях встречаются в различных задачах.

Цель курсовой работы разобраться в проверке гипотез о числовых значениях параметров генеральной совокупности на конкретном примере.

1. Проверка гипотез о числовых значениях параметров генеральной совокупности

1.1 Статистическая проверка гипотез (общие понятия)

Оценку генерального параметра получают на основе выборочного показателя с учетом ошибки репрезентативности. В другом случае в отношении свойств генеральной совокупности выдвигается некоторая гипотеза о величине средней, дисперсии, характере распределения, форме и тесноте вязи между переменными. Проверка гипотезы осуществляется на основе выявления согласованности эмпирических данных с гипотетическими (теоретическими). Если расхождение между сравниваемыми величинами не выходит за пределы случайных ошибок, гипотезу принимают. При этом не делается никаких заключений о правильности самой гипотезы, речь идет лишь о согласованности сравниваемых данных. Основой проверки статистических гипотез являются данные случайных выборок. При этом безразлично, оцениваются ли гипотезы в отношении реальной или гипотетической генеральной совокупности. Последнее открывает путь применения этого метода за пределами собственно выборки: при анализе результатов эксперимента, данных сплошного наблюдения, но малой численности. В этом случае рекомендуется проверить, не вызвана ли установленная закономерность стечением случайных обстоятельств, насколько она характерна для того комплекса условий, в которых находится изучаемая совокупность.

Особенно часто процедура проверки статистических гипотез применяется для оценки существенности расхождений сводных характеристик отдельных совокупностей (групп): средних, относительных величин. Такого рода задачи, как правило, возникают в социальной статистике. Трудоемкость статистико-социологических исследований приводит к тому, что почти все они строятся на не сплошном учете. Поэтому проблема 'доказательности выводов в социальной статистике стоит особенно остро. Применяя процедуру проверки статистических гипотез, следует помнить, что она может гарантировать результаты с определенной вероятностью лишь по «беспристрастным» выборкам, на основе объективных данных.

Статистической гипотезой называется предположение о свойстве генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на данные выборки. Обозначается гипотеза буквой Н от латинского слова hypothesis. Так, может быть выдвинута гипотеза о том, что средняя в генеральной совокупности равна некоторой величине Н: с = а, или о том, что генеральная средняя больше некоторой величины Н: с > b.

Различают простые и сложные гипотезы. Гипотеза называется простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Например, Н: с = а. Сложная гипотеза состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез, при этом указывается некоторая область вероятных значений параметра. Например, Н: с > b. Эта гипотеза состоит из множества простых гипотез Н:b = с, где с - любое число, большее b.

Гипотезы о параметрах генеральной совокупности называются параметрическими, о распределениях - непараметрическими.

Гипотеза о том, что две совокупности, сравниваемые по одному или нескольким признакам, не отличаются, называется нулевой гипотезой (или нуль-гипотезой). Она обозначается Н0. При этом предполагается, что действительное различие сравниваемых величин равно нулю, а выявленное по данным отличие от нуля носит случайный характер. Например, Н0: 1 = 2. Нулевая гипотеза отвергается тогда, когда по выборке получается результат, который при истинности выдвинутой нулевой гипотезы маловероятен. Границей невозможного или маловероятного обычно считают a = 0,05, т.е. 5%, или 0,01, 0,001. Если ориентироваться на правило «трех сигм», то вероятность ошибки a = 0,0027. Однако для этого уровня вероятности ошибки значения критериев редко табулируются: как правило, значения критериев в статистико-математических таблицах рассчитаны для вероятностей ошибки 0,05; 0,01; 0,001.

Статистическим критерием называют определенное правило, устанавливающее условия, при которых проверяемую нулевую гипотезу следует либо отклонить, либо не отклонить. Критерий проверки статистической гипотезы определяет, противоречит ли выдвинутая гипотеза фактическим данным или нет.

Проверка статистических гипотез складывается из следующих этапов:

* формулируется в виде статистической гипотезы задача исследования;

* выбирается статистическая характеристика гипотезы;

* выбираются испытуемая и альтернативная гипотезы на основе анализа возможных ошибочных решений и их последствий;

* определяются область допустимых значений, критическая область, а также критическое значение статистического критерия (t, F, a) по соответствующей таблице;

* вычисляется фактическое значение статистического критерия;

* проверяется испытуемая гипотеза на основе сравнения фактического и критического значений критерия, и в зависимости от результатов проверки гипотеза либо отклоняется, либо не отклоняется.

При проверке гипотез по одному из критериев возможны два ошибочных решения:

1) неправильное отклонение нулевой гипотезы: ошибка 1-го рода;

2) неправильное принятие нулевой гипотезы: ошибка 2-го рода. В то время, как фактически нулевая гипотеза верна (1) и нулевая гипотеза не верна (2), принимают два ошибочных решения: 1) нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза; 2) нулевая гипотеза не отклоняется. Возможные решения представлены в табл. 1.

Таблица 1. Возможные выводы при проверке гипотез

Решение	Фактически
по критерию	H0 верна	H0 не верна
H0 отклоняется	Ошибка 1-го рода	Правильное решение
H0 не отклоняется	Правильное решение	Ошибка 2-го рода

Если, например, установлено, что новое минеральное удобрение лучше, хотя на самом деле его действие не отличается от старого, то это ошибка 1-го рода. Если мы решили, что оба вида удобрений одинаковы, то допущена ошибка 2-го рода.

Вероятности, соответствующие неверным решениям, называются риском 1 и риском 2. Риск 1 равен вероятности ошибки а (уровню значимости), риск 2 равен вероятности ошибки р. Поскольку а всегда больше нуля, то всегда есть риск ошибки a. При заданных a и объеме выборки п значение b будет тем больше, чем меньше принятое a. Если п велико, то a и b могут быть сколь угодно малыми, т.е. решения будут более обоснованными. При малом объеме выборки и малом, а возможность установить фактически существующие различия мала.

Обычно задают значение а и пытаются сделать возможно b малым. Вероятность 1 - b называется мощностью критерия: чем она больше, тем меньше вероятность ошибки второго рода.

Альтернативная гипотеза Н₁ может быть сформулирована по-разному в зависимости от того, какие отклонения от гипотетической величины нас особенно беспокоят: положительные, отрицательные либо и те, и другие. Соответственно альтернативные гипотезы могут быть записаны как

.

От того, как формулируется альтернативная гипотеза, зависят границы критической области и области допустимых значений.

Критической областью называется область, попадание значения статистического критерия в которую приводит к отклонению Н0. Вероятность попадания значения критерия в эту область равна принятому уровню значимости.

Область допустимых значений дополняет критическую область. Если значение критерия попадает в область допустимых значений, это свидетельствует о том, что выдвинутая гипотеза Н_с не противоречит фактическим данным (H₀ не отклоняется).

Точки, разделяющие критическую область и область допустимых значений, называются критическими точками или границами критической области. В зависимости от формулировки альтернативной гипотезы критическая область может быть двухсторонняя или односторонняя (левосторонняя либо правосторонняя).

Если вычисляемое значение критерия попадает в критическую область, нулевая гипотеза отклоняется, она противоречит фактическим данным.

1.2 Методика проверок гипотез

Методика проверки гипотез сводится к следующему:

1. Располагая выборкой, формируют нулевую гипотезу и альтернативную

2. В каждом конкретном случае подбирают статистику критерия, обычно из перечисленных ниже:

· нормальное распределение

· распределение хи-квадрата (Пирсона)

· распределение Стьюдента

· распределение Фишера - Снедекора

3. По статистике критерия и уровню значимости определяют критическую область (и). Для ее отыскания достаточно найти критическую точку, т.е. границу (или квантиль), отделяющую область от границы областей определяются, соответственно, из соотношений: для правосторонней критической области; для левосторонней критической области; для двусторонней критической области.

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую приведенным выше соотношениям.

4. Для полученной реализации выборки подсчитывают значение критерия.

5. Если (например, для правосторонней области), то нулевую гипотезу отвергают; если же, то нет оснований, чтобы отвергнуть гипотезу.

1.3. Сущность задачи проверки статистических гипотез

Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки [3, 5, 11]. Примерами статистических гипотез являются предположения: генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону; математические ожидания двух экспоненциально распределенных выборок равны друг другу. В первой из них высказано предположение о виде закона распределения, а во второй - о параметрах двух распределений. Гипотезы, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называют непараметрическими, в противном случае - параметрическими.

Гипотезу, утверждающую, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках, на основании которых производится сравнение, называют нулевой (основной) гипотезой и обозначают Н₀. Наряду с основной гипотезой рассматривают и альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу Н₁. И если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза.

Различают простые и сложные гипотезы. Гипотезу называют простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Например, если l является параметром экспоненциального распределения, то гипотеза Н₀ о равенстве l =10 - простая гипотеза. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез. Сложная гипотеза Н₀ о неравенстве l >10 состоит из бесконечного множества простых гипотез Н₀ о равенстве l =b_i, где b_i - любое число, большее 10. Гипотеза Н₀ о том, что математическое ожидание нормального распределения равно двум при неизвестной дисперсии, тоже является сложной. Сложной гипотезой будет предположение о распределении случайной величины Х по нормальному закону, если не фиксируются конкретные значения математического ожидания и дисперсии.

Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины - критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборки z=z(x₁, x₂, …, x_n). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений - принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S₀ и S₁. Если значение критерия z попадает в область S₀, то гипотеза принимается, а если в область S₁, - гипотеза отклоняется. Множество S₀ называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S₁ - областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области однозначно определяет и другую область.

Принятие или отклонение гипотезы Н₀ по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода возникает с вероятностью ? тогда, когда отвергается верная гипотеза Н₀ и принимается конкурирующая гипотеза Н₁. Ошибка второго рода возникает с вероятностью ? в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н₀, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н₁. Доверительная вероятность - это вероятность не совершить ошибку первого рода и принять верную гипотезу Н₀. Вероятность отвергнуть ложную гипотезу Н₀ называется мощностью критерия. Следовательно, при проверке гипотезы возможны четыре варианта исходов, табл. 2.

Таблица 2.

Гипотеза Н0	Решение	Вероятность	Примечание
Верна	Принимается	1-?	Доверительная вероятность
	Отвергается	?	Вероятность ошибки первого рода
Неверна	Принимается	?	Вероятность ошибки второго рода
	Отвергается	1-?	Мощность критерия

Например, рассмотрим случай, когда некоторая несмещенная оценка параметра q вычислена по выборке объема n, и эта оценка имеет плотность распределения f(q), рис. 1.1.

Рис. 1.1 Области и отклонения гипотезы

Предположим, что истинное значение оцениваемого параметра равно Т. Если рассматривать гипотезу Н₀ о равенстве q =Т, то насколько велико должно быть различие между q и Т, чтобы эту гипотезу отвергнуть. Ответить на данный вопрос можно в статистическом смысле, рассматривая вероятность достижения некоторой заданной разности между q и Т на основе выборочного распределения параметра q.

Целесообразно полагать одинаковыми значения вероятности выхода параметра q за нижний и верхний пределы интервала. Такое допущение во многих случаях позволяет минимизировать доверительный интервал, т.е. повысить мощность критерия проверки. Суммарная вероятность того, что параметр q выйдет за пределы интервала с границами q _1-q _/2 и q q _/2, составляет величину q. Эту величину следует выбрать настолько малой, чтобы выход за пределы интервала был маловероятен. Если оценка параметра попала в заданный интервал, то в таком случае нет оснований подвергать сомнению проверяемую гипотезу, следовательно, гипотезу равенства q =Т можно принять. Но если после получения выборки окажется, что оценка выходит за установленные пределы, то в этом случае есть серьезные основания отвергнуть гипотезу Н₀. Отсюда следует, что вероятность допустить ошибку первого рода равна ? (равна уровню значимости критерия).

Если предположить, например, что истинное значение параметра в действительности равно Т+d, то согласно гипотезе Н₀ о равенстве q =Т - вероятность того, что оценка параметра ? попадет в область принятия гипотезы, составит q, рис. 1.2

Рис. 1.2 Области принятия гипотезы

При заданном объеме выборки вероятность совершения ошибки первого рода можно уменьшить, снижая уровень значимости a. Однако при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода a (снижается мощность критерия). Аналогичные рассуждения можно провести для случая, когда истинное значение параметра равно Т - d.

Единственный способ уменьшить обе вероятности состоит в увеличении объема выборки (плотность распределения оценки параметра при этом становится более «узкой»). При выборе критической области руководствуются правилом Неймана - Пирсона: следует так выбирать критическую область, чтобы вероятность a была мала, если гипотеза верна, и велика в противном случае. Однако выбор конкретного значения a относительно произволен. Употребительные значения лежат в пределах от 0,001 до 0,2. В целях упрощения ручных расчетов составлены таблицы интервалов с границами q _1-a--/2 и q a _/2 для типовых значений a и различных способов построения критерия.

При выборе уровня значимости необходимо учитывать мощность критерия при альтернативной гипотезе. Иногда большая мощность критерия оказывается существеннее малого уровня значимости, и его значение выбирают относительно большим, например 0,2. Такой выбор оправдан, если последствия ошибок второго рода более существенны, чем ошибок первого рода. Например, если отвергнуто правильное решение «продолжить работу пользователей с текущими паролями», то ошибка первого рода приведет к некоторой задержке в нормальном функционировании системы, связанной со сменой паролей. Если же принято решения не менять пароли, несмотря на опасность несанкционированного доступа посторонних лиц к информации, то эта ошибка повлечет более серьезные последствия.

В зависимости от сущности проверяемой гипотезы и используемых мер расхождения оценки характеристики от ее теоретического значения применяют различные критерии. К числу наиболее часто применяемых критериев для проверки гипотез о законах распределения относят критерии хи-квадрат Пирсона, Колмогорова, Мизеса, Вилкоксона, о значениях параметров - критерии Фишера, Стьюдента.

1.4 Типовые распределения

При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним связаны распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера, а также интеграл вероятностей. Для указанных законов функции распределения аналитически не представимы. Значения функций определяются по таблицам или с использованием стандартных процедур пакетов прикладных программ. Указанные таблицы обычно построены в целях удобства проверки статистических гипотез в ущерб теории распределений - они содержат не значения функций распределения, а критические значения аргумента z(a).

Для односторонней критической области z(a) = z_1-a_, т.е. критическое значение аргумента z(a) соответствует квантили z_1-a уровня 1 - a, так как

, рис. 1.3.

Рис. 1.3 Односторонняя критическая область

Для двусторонней критической области, с уровнем значимости a, размер левой области a 2, правой a 1 (a 1+a 2=a), рис. 1.4. Значения z(a 2) и z(a 1) связаны с квантилями распределения соотношениями z(a 1)=z_{1-? 1}, z(a 2)=za ₂, так как

, .

Для симметричной функции плотности распределения f(z) критическую область выбирают из условия ? 1=? 2=? /2 (обеспечивается наибольшая мощность критерия). В таком случае левая и правая границы будут равны |z(a /2)|.

Рис. 1.4 Двусторонняя критическая область

Нормальное распределение.

Этот вид распределения является наиболее важным в связи с центральной предельной теоремой теории вероятностей: распределение суммы независимых случайных величин стремится к нормальному с увеличением их количества при произвольном законе распределения отдельных слагаемых, если слагаемые обладают конечной дисперсией. Так как реальные физические явления часто представляют собой результат суммарного воздействия многих факторов, то в таких случаях нормальное распределение является хорошим приближением наблюдаемых значений. Функция плотности нормального распределения

- унимодальная, симметричная, аргумент х может принимать любые действительные значения, рис. 1.5.

Рис. 1.5. Плотность нормального распределения

Функция плотности нормального распределения стандартизованной величины u имеет вид.

Вычисление значений функции распределения Ф(u) для стандартизованного неотрицательного аргумента u (u ? 0) можно произвести с помощью полинома наилучшего приближения.

Ф(u)= 1 - 0,5 (1 + 0,196854u + 0,115194u² + 0,000344u³ + 0,019527u⁴) ^{- 4}.

Такая аппроксимация обеспечивает абсолютную ошибку не более 0,00025. Для вычисления Ф(u) в области отрицательных значений стандартизованного аргумента u (u<0) следует воспользоваться свойством симметрии нормального распределения Ф(u) = 1 - Ф(-u).

Иногда в справочниках вместо значений функции Ф(u) приводят значения интеграла вероятностей

, u > 0.

Интеграл вероятностей связан с функцией нормального распределения соотношением

Ф(u) = 0,5 + F(u).

Распределение хи-квадрат

Распределению хи-квадрат (c ²-распределению) с k степенями свободы соответствует распределение суммы квадратов n стандартизованных случайных величин u_i, каждая из которых распределена по нормальному закону, причем k из них независимы, n і k. Функция плотности распределения хи-квадрат с k степенями свободы

, x?? 0,

где х = c ², Г (k/2) - гамма-функция.

Число степеней свободы k определяет количество независимых слагаемых в выражении для c ². Функция плотности при k, равном одному или двум, - монотонная, а при k >2 - унимодальная, несимметричная, рис. 1.6.

Рис. 1.6 Плотность распределения хи-квадрат

Математическое ожидание и дисперсия величины c ² равны соответственно k и 2k. Распределение хи-квадрат является частным случаем более общего гамма-распределения, а величина, равная корню квадратному из хи-квадрат с двумя степенями свободы, подчиняется распределению Рэлея.

С увеличением числа степеней свободы (k >30) распределение хи-квадрат приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием k и дисперсией 2k. В таких случаях критическое значение c ²(k; a) » u_{1- a} (k, 2k), где u_{1- a} (k, 2k) - квантиль нормального распределения. Погрешность аппроксимации не превышает нескольких процентов.

Распределение Стьюдента.

Распределение Стьюдента (t-распределение, предложено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, публиковавшим научные труды под псевдонимом Student) характеризует распределение случайной величины , где u₀, u₁, …, u_k взаимно независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией. Аргумент t не зависит от дисперсии слагаемых. Функция плотности распределения Стьюдента

Величина k характеризует количество степеней свободы. Плотность распределения - унимодальная и симметричная функция, похожая на нормальное распределение, рис. 1.7.

Рис. 1.7 Плотность распределения - унимодальная и симметричная функция

Область изменения аргумента t от -Ґ до Ґ. Математическое ожидание и дисперсия равны 0 и k/(k-2) соответственно, при k>2. По сравнению с нормальным распределение Стьюдента более пологое, оно имеет меньшую дисперсию. Это отличие заметно при небольших значениях k, что следует учитывать при проверке статистических гипотез (критические значения аргумента распределения Стьюдента превышают аналогичные показатели нормального распределения). Таблицы распределения содержат значения для односторонней или двусторонней критической области.

Распределение Стьюдента применяется для описания ошибок выборки при k Ј 30. При k >100 данное распределение практически соответствует нормальному, для 30 < k < 100 различия между распределением Стьюдента и нормальным распределением составляют несколько процентов. Поэтому относительно оценки ошибок малыми считаются выборки объемом не более 30 единиц, большими - объемом более 100 единиц. При аппроксимации распределения Стьюдента нормальным распределением для односторонней критической области вероятность

Р{t > t (k; a)} = u_{1- a} (0, k/(k-2)), где u_{1- a} (0, k/(k-2)) - квантиль нормального распределения. Аналогичное соотношение можно составить и для двусторонней критической области.

Распределение Фишера

Распределению Р.А. Фишера (F-распределению Фишера - Снедекора) подчиняется случайная величина х =[(y₁/k₁)/(y₂/k₂)], равная отношению двух случайных величин у₁ и у₂, имеющих хи-квадрат распределение с k₁ и k₂ степенями свободы. Область изменения аргумента х от 0 до ?. Плотность распределения



.

В этом выражении k₁ обозначает число степеней свободы величины y₁ с большей дисперсией, k₂ - число степеней свободы величины y₂ с меньшей дисперсией. Плотность распределения - унимодальная, несимметричная, рис. 1.8.

Рис. 1.8. Плотность распределения Фищера

Математическое ожидание случайной величины х равно k₂/(k₂-2) при k₂>2, дисперсия т₂ = [2 k₂² (k₁+k₂-2)]/[k₁(k₂-2)²(k₂-4)] при k₂ > 4. При k₁ > 30 и k₂ > 30 величина х распределена приближенно нормально с центром (k₁ - k₂)/(2 k₁ k₂) и дисперсией (k₁ + k₂)/(2 k₁ k₂).

1.6 Проверка гипотезы о равенстве средних двух и более совокупностей

Сравнение средних двух совокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречаются случай, когда средний результат одной серии экспериментов отличается от среднего результата другой серии. При этом возникает вопрос, можно ли объяснять обнаруженное расхождение средних неизбежными случайными ошибками эксперимента или оно вызвано некоторыми закономерностями. В промышленности задача сравнения средних часто возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при различных технологических режимах, в финансовом анализе - при сопоставлении уровня доходности различных активов и т.д.

Сформулируем задачу. Пусть имеются две совокупности, характеризуемые генеральными средними и и известными дисперсиями и . Необходимо проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. : =. Для проверки гипотезы из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемов и , по которым найдены средние арифметические и и выборочные дисперсии и .При достаточном больших объемов выборки, выборочные средние и имеют приближенно нормальный закон распределения, соответственно и .В случае справедливости гипотезы разность - имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией .

Поэтому при выполнении гипотезы статистика

имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1).

Проверка гипотез о числовых значениях параметров

Гипотезы о числовых значениях встречаются в различных задачах. Пусть - значения некоторого параметра изделий, производящихся станком автоматической линии, и пусть - заданное номинальное значение этого параметра. Каждое отдельное значение может, естественно, как-то отклоняться от заданного номинала. Очевидно, для того, чтобы проверить правильность настройки этого станка, надо убедиться в том, что среднее значение параметра у производимых на нем изделий будет соответствовать номиналу, т.е. проверить гипотезу против альтернативной , или , или

При произвольной настройке станка может возникнуть необходимость проверки гипотезы о том, что точность изготовления изделий по данному параметру, задаваемая дисперсий , равна заданной величине , т.е. или, например, того, что доля бракованных изделий, производимых станком, равна заданной величине р₀, т.е. и т.д.

Аналогичные задачи могу возникнуть, например, в финансовом анализе, когда по данным выборки надо установить, можно ли считать доходность актива определенного вида или портфеля ценных бумаг, либо ее риск равным заданному числу; или по результатам выборочной аудиторской проверки однотипных документов нужно убедиться, можно ли считать процент допущенных ошибок равным номиналу, и т.п.

В общем случае гипотезы подобного типа имеют вид , где - некоторый параметр исследуемого распределения, а - область его конкретных значений, состоящая в частном случае из одного значения.

При проверке гипотезы указанного типа можно использовать тот же подход, что и при проверки статистической гипотезы.

Соответствующие критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров нормального закона приведены в таблице 3.

Таблица 3

Примечание. Критические значения статистик на уровне значимости определяют по соответствующим таблицам приложений исходя из соотношений:

1) H₀: a=a₀

a) - известна

б) - неизвестна



2)

а - неизвестно

3)

Достаточно большие n

2. Практическая часть

2.1 Постановка задачи

Задача.

На основании сделанного прогноза средняя дебиторская задолженность однотипных предприятий региона должна составить ден. ед. Выборочная проверка 10 предприятий дала среднюю задолженность =135 ден. ед., а среднее квадратическое отклонение задолженности ден. ед. На уровне значимости 0,05: а) выяснить, можно ли принять данный прогноз; б) найти мощность критерия, если в действительности средняя дебиторская задолженность всех предприятий региона равна 130 ден. ед.

2.2 Решение задачи

а) Проверяемая гипотеза . В качестве альтернативной возьмем гипотезу . Так как генеральная дисперсия неизвестна, то используем t-критерий Стьюдента. Статистика критерия равна . Критическое значение статистики .

Так как , то гипотеза отвергается, т.е. на 5%-ном уровне значимости сделанный прогноз должен быть отвергнут.

б) Альтернативная гипотеза . Так как , то критическая область правосторонняя и критическое значение выборочной средней

(ден. ед.),

т.е. критическая область значений для есть интервал (132,2; +). Мощность критерия равна вероятность Р отвергнуть гипотезу , когда верна гипотеза , т.е.

По таблице IV приложений

Итак,

Аналогично проверяются и другие гипотезы о числовых значениях параметров в соответствии с критериями проверки, приведенными в таблице 3.

При проверке статистических гипотез есть и другой подход, основанный на том, что для параметров были построены доверительные интервалы. И если параметр (или , или ) не попадает в доверительный интервал с надежностью , т.е. попадает в критическую область, то гипотеза отвергается; в противном случае полагают, что имеющиеся данные не противоречат гипотезе .

Достоинством такого подхода, основанного на построении доверительного интервала для параметра, является то, что кроме проверки гипотезы получается дополнительная информация о возможных истинных значениях параметра. Однако этот подход применим, если в качестве конкурирующих выступают гипотезы типа , предполагающие выбор двусторонней критической области.

Заключение

В данной курсовой работе рассмотрены следующие вопросы: статистическая проверка гипотез; методика проверок гипотез; сущность задачи проверки статистических гипотез; типовые распределения; проверка гипотез о законе распределения; проверка гипотезы о равенстве средних двух и более совокупностей; проверка гипотез о числовых значениях параметров, а так же решение задачи.

Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки. Гипотезы о параметрах генеральной совокупности называются параметрическими, о распределениях - непараметрическими.

Так же выяснили что, проверка статистических гипотез складывается из следующих этапов:

* формулируется в виде статистической гипотезы задача исследования;

* выбирается статистическая характеристика гипотезы;

* выбираются испытуемая и альтернативная гипотезы на основе анализа возможных ошибочных решений и их последствий;

* определяются область допустимых значений, критическая область, а также критическое значение статистического критерия (t, F,? 2) по соответствующей таблице;

* вычисляется фактическое значение статистического критерия;

* проверяется испытуемая гипотеза на основе сравнения фактического и критического значений критерия, и в зависимости от результатов проверки гипотеза либо отклоняется, либо не отклоняется.

Во второй главе разобрано решение задачи проверке гипотез о числовых значениях параметров, и можно сказать, что гипотезы о числовых значениях встречаются в различных задачах.

Список литературы

гипотеза генеральный совокупность равенство

1. Общая теория статистики: статистическая методология в изечении коммерческой деятельности. Учебник под ред. А.А. Спирина, O.Э. Башиной, - M.; Финансы и статистика, 1995. - 296 c.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятности, математической статистике и случайным процессам. - М.: Айрис-пресс, 2006. -288 с.

3. Гмурман В.Е. Терия вероятности и математическая статистика - М.: Высшая школа, 1980

4. Гмурман В.Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 5-е, стер. - М.: Высш. шк., 1999.-400 с.: ил.

5. Ротарь В.И., «Теория вероятностей», - М.: Высшая школа, 1992.

6. Ширяев, А.Н. «Вероятность», Наука. М.: 1989.

7. Пугачев, В.С. «Теория вероятностей и математическая статистика», Наука. М.: 1979.

Размещено на Allbest.ru