Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Математика в переводе с греческого - наука.

По определению Ф. Энгельса: "Математика - это наука, в которой изучаются "пространственные формы и количественные отношения действительного мира".

Математика одна из древнейших наук, возраст её - тысячелетия.

За время своего существования эта наука прошла большой и сложный путь, на протяжении которого изменялся её характер, содержание, стиль изложения и представления о действительном мире.

Первичные математические представления были у людей на самых ранних стадиях развития человеческого общества. К этому периоду относится формирование идеи счета. Это было ещё до появления письменности и об этом периоде математических понятий можно было судить по косвенным данным, полученным в 15 - 19 веках, поскольку до этого периода в мире сохраняются отдельные племена, находящиеся в первобытном состоянии.

До начала 17 века математика является преимущественно наукой о числах, скалярных величинах (величина, каждое значение которой может быть выражено одним действительным числом - совокупность значений скалярных величин можно изобразить на линейной шкале: длина, площадь, время, температура - её примеры) и сравнительно простых геометрических фигурах.

Изучаемые математикой величины (длины, площади и объёмы) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее алгебры и тригонометрии и некоторых частных приёмов математического анализа .

На этой стадии развития математические сведения различных народов, практически даже не общавшихся между собой, поразительно близки по форме и содержанию.

Правила вычисления объёмов и площадей использовавшиеся в Египте, в древнем Вавилоне тождественно аналогичны правилам подобных вычислений а Древнем Китае.

Теорема Пифагора (в прямоугольном треугольнике стороны соотносятся как 3:4:5) - для различных частных случаев задолго до Пифагора была известна в древнем Вавилоне и в Древнем Китае. И это понятно, хозяйственная деятельность человека в разных странах ставила сходные задачи, а зарождающаяся математика, как наука о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира находила в разных местах земного шара сходные закономерности.

Областью применения математики являлись счёт, торговля, землеустройство, астрономия, архитектура.

В Древней Греции математика оформилась уже в довольно стройную систему знаний. Здесь создаются первые математические школы, и уже в 4 - 5 веках до н. э. наметилось разделение математики на чистую (теоретическую) и прикладную (бытовые нужды).

Эвклид в 3 веке до н.э. в своем труде "Начала" объединяет 15 книг по основам античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений, определению площадей и объёмов, теории пределов. Рассматривались способы нахождения наибольшего общего делителя 2-х целых чисел, 2-х многочленов и т.д. В "Началах" сделана попытка упорядочить и подытожить накопленные математические знания за 300 лет исследований. Следует отметить, что Эвклидова геометрия и Эвклидово пространство - скалярные системы.

В 17 - 18 веках потребности быстро развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики) привели в математику идеи движения и изменения в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального исчисления и интегрального исчисления.

В 18 веке возникает и развивается теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрии. Эти теории возникают не на пустом месте. Задачи 17 - начала 18 века это проблема движения, расчет траекторий тела, движущегося под влиянием заданной силы; одна из задач - проведение касательной к заданной кривой.

Назовём учёных внесших вклад в решение этих задач: Ньютон, Лейбниц и их предшественники: Кавальери, Ферма, Барроу.

Дальнейшее развитие находит теория предела.

Ньютон занимался проблемами динамики и изобретение математического анализа и основных, связанных с ним операций дифференцирования и интегрирования было необходимым шагом на пути решения этих проблем .

В 18 - 19 веке великие открытия следуют как из рога изобилия:

1) классическая геометрия прирастает новой математической дисциплиной - дифференциальной геометрией - она связанна с задачами механики и использует математический анализ.

2) Основы вариационного исчисления. Эйлер (1707 - 1783г.)

От него нити идут к современной теории оптимального управления процессами.

Эйлер же обогатил математику теорией функций комплексного переменного, аналитической теорией чисел, теорией дифференциальных уравнений (используется в естествознании).

Упомянем Бернулли - основы математической гидродинамики

В 18 - 19 века появляется значительное количество работ по построению основ математической физики и её основного математического аппарата - теории дифференциальных уравнений и частных производных. Назовём ученых математиков и физиков, подошедших к решению дифференциальных уравнений второго порядка:

Коши (1789 - 1857г.), Фурье (1768 -1830г.), Лаплас (1749 - 1827г.), Остроградский (1801 - 1862г.), Гаусс (1777 - 1855г.), Лобачевский(1792 - 1856г.), Бойян (1802 - 1860).

Последние трое внесли вклад в построение неэвклидовой геометрии.

Лобачевский изменил одну аксиому (1826г.) - знаменитый пятый постулат Эвклида о параллельных: через любую точку плоскости можно провести в ней одну единственную прямую, параллельную данной прямой.

У Лобачевского это звучит так: через каждую точку плоскости вне данной прямой можно провести более одной прямой не пересекающейся с данной.

Бойяи через 6 лет в своей статье развил ту же самую идею.

В рукописных материалах Гаусса датированных началом 19 века, также содержались элементы теории Лобачевского. Словом, эти разработки подтверждали наличие логически безупречных геометрических систем, отличных от геометрии Эвклида, т.е. идею множественности геометрических систем , участвующих в строении реального пространства. Это новое представление о природе пространства. В 19 - 20 века математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и случаи оказываются лишь частными случаями объектов или понятий, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит под влиянием идей Лобачевского к исследованию пространства, для которого Эвклидово пространство оказывается частным случаем. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного; теория групп, проективная геометрия, неэвклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Математическое программирование - это раздел математики, посвященный теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых некоторыми ограничениями (равенствами и неравенствами). Это чисто математический раздел и его операции и программирование на ЭВМ не одно и то же. Практическое освоение результатов теоретических математических исследований требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. в связи с этим в 19 - 20 веках численные методы математики вырастают в самостоятельную ветвь: вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоёмких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин.

Потребности развития самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности и быстрый прогресс вычислительной техники привели к возникновению целого ряда математических дисциплин, например: теория игр, теория вероятности, дискретная математика, теория оптимального управления процессами, теории информации, комбинаторики и т.д. Появление ЭВМ изменило отношение людей к возможностям математики при решении жизненных вопросов. Оказалось, что на машины можно переложить не только громоздкие вычислительные работы, но и осуществление логических выводов.

Правда, для этого требуется предварительно составить логико-математическую модель явления или процесса, выявить связи или количественные соотношения, т.е. подвергнуть исследуемый процесс математическому и логическому анализу.

Перед человечеством открылся новый, очень мощный метод исследования, нашедший достаточно широкое применение в различных областях научных знаний и в практике. и даже многие скептики стали с увлечением применять математические методы к интересующим их проблемам. И сама математика стала прогрессировать и расширять свой научный арсенал для исследования окружающего нас мира.

Множество действительных чисел принято обозначать буквой R. Для любых действительных чисел справедливы равенства (алгебраические) изложенные в данном вам приложении (осн. законы алгебры).

Понятие о числах

Математика оперирует числами. Число - одно из основных понятий математики. Это понятие зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. Сначала с необходимостью простого счета появились натуральные числа, а затем и натуральный ряд.

Натуральные числа - это числа, возникающие в результате простого счета:1,2,3,…

Бесконечная последовательность чисел 1,2,3,4,5,….. и т.д. расположенных в порядке их нарастания называется "натуральный ряд чисел".

Задача измерения длин и площадей, выделение долей этих величин привели к понятию дробного числа, (бывают простые и десятичные)).

В 6 - 11 веках у индейцев возникло понятие отрицательных чисел. Это действительные числа меньше нуля.

Например:

Примерами отрицательных чисел могут служить температура, уровень реки, прибыль и т.д.

Потребность в точном выражении отношений величин привело к понятию иррациональных чисел (например: отношении диагонали квадрата к его стороне). Иррациональными называются числа, которые не могут быть точно выражены, например, число П=3,14…. и далее бесконечная дробь или другой пример - цифры радиана.

Рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел.

Существует теория действительных чисел, которая окончательно развилась и оформилась лишь во 2-й половине 19 веке в связи с потребностями математического анализа.

В связи с решением квадратных и кубических уравнений в 16 веке вводятся понятия комплексных чисел.

Это понятие относится уже к математическому анализу

Приложение 1

Комплексное число типа x + iy, где x и y - действительные числа, а i - мнимая единица, квадрат которой равен -1. Комплексное число - это некоторое число, изображаемое точкой с координатами х и y. Комплексное число является точкой в системе координат, соответствующей "r" и может быть представлено как r = x + iy.

Действительные числа - частный случай комплексного числа при y=0, а если y?0, а x=0 комплексное число становится мнимым. Если полярные координаты точки обозначены через r и ц, то соответствующее этой точке комплексное число может быть представлено в виде r (cosц+sinц) - это тригонометрическая форма комплексного числа.

При этом r = vx² + y² - называется модулем комплексного числа x + iy, а ц - его аргументом.

Для операций сложения и умножения комплексных чисел справедливы коммутативность (от перемены мест слагаемых сумма не изменяется) и ассоциативность(от перемены мест сомножителей произведение не меняется)

В заключении разговора о числах следует сказать следующее: когда последователи школы Пифагора учили "всё есть число", количество чисел, которыми они пользовались были ничтожно малы по сравнению с той пляской цифр, которые окружают человечество ежедневно в повседневной жизни.

Громадные цифры госбюджетов, статистические данные составляют громадный цифровой материал, который крутится в современных вычислительных устройствах, анализирующих состояние производств, следящих за траекториями полёта спутников и делающих до 1 миллиарда операций в секунду.

А ко всему этому вела длинная дорога, начавшаяся с первых попыток человека систематизировать окружающие его числа, когда они стали столь большими, что на пальцах их нельзя было сосчитать. Разные страны и народы перепробовали различные группировки чисел с целью облегчения счета. Наиболее популярными оказались двоичная, десятичная, 12-тичная, 20-тичная.

Наша система десятичная - основание этой системы равно 10 ( в=10). Пришла в Европу с Востока (индо - арабская) около 1200 года нашей эры и называется ещё позиционной системой (кстати, все системы,построенные по аналогичному принципу т.е., имеющие основания также относятся к позиционным). Она оказалась очень удобной при арифметических операциях: сложении, вычитании, делении.

Для примера в десятичной системе:

1970 = 1·10³ + 9·10² + 7·10 + 0

1066 = 1·10³ + 0·10² + 6·10 + 6

И вообще:

N = a_n·10ⁿ + a_n-1·10^n-1 + …..a₂·10² + a₁·10 + a₀

Примером 20-тиричной системы служит система счисления племени майя . Несколько столетий назад были такие системы и в Европе. Астрономы с давних времен пользуются 60-тиричной вавилонской системой. Мы также пользуемся ею при отсчёте времени и углов в минутах и секундах.

До появления ЭВМ господствующей системой счисления была десятичная система, большинство остальных представляло не прикладной, а познавательный интерес. Задача сделать ЭВМ более компактной вызвало необходимость изучения других систем счисления, и более предпочтительной была признана двоичная. Двоичные цифры 0,1 называются битами от английского binary digits (двойные числа).

Обычно в ЭВМ цифры вводятся в десятичной системе, в ЭВМ имеется устройство переводящее их в двоичную систему, Ответы должны быть выражены опять таки , в 10-тичной системе, как уступка традиционной системе счисления. Поскольку в двоичной системе числа имеют более длинные выражения, в языке ЭВМ может быть использована 8-ричная система: в =8 = 2³

Запишем число N = 1971 в двоичной системе:

1971 = 985·2 +1

985 = 492·2 + 1

492 = 246·2 + 0

246 = 123·2 + 0

123 = 61·2 +1

61 = 30·2 + 1

30 = 15·2 + 0

15 = 7·2 + 1

7 = 3·2 + 1

3 = 1·2 + 1

1 = 0·2 + 1, следовательно: (11110110011)₂ = (1971)₁₀

Существуют и другие - непозиционные системы, построенные по иным принципам, например общеизвестные римские цифры. Основные символы:I, V, X, L(50), C(100), М(1000). Напишем число 88 в этой системе: LXXXVIII.

В позиционных системах записи чисел и математические действия с ними проще, поэтому на практике они и применяются.

Математические доказательства

Ещё в Древней Греции математическое мышление достигло такого состояния, когда становилось ясным: математические правила следует не только заучить. Предварительно их необходимо логически доказать на базе бесспорных истин, не требующих доказательств - аксиом.

Как и всякое доказательство - математическое доказательство - это установление (обоснование) суждения, высказывания, теории. В математике это как правило теоремы, истинность которых доказывается. При доказательстве теорем разрешается пользоваться аксиомами или другими уже доказанными теоремами. При этом можно пользоваться чертежом. Теорема состоит из условия (Дано:) и утверждения (что должно быть доказано).

Примеры:

Теорема: Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через её центр.

Пусть прямая проходит через центр "о" данной окружности. Возьмём произвольную точку x окружности.

Построим точку x₁ симметричную x относительно примой Р. ox = ox₁ ; т.е. x₁ принадлежит той же окружности, следовательно, окружность симметрична относительно произвольной прямой Р, проходящей через её центр. Или вот ещё пример:

Дано: a, b, c, d - действительные числа отличные от нуля. Если имеет место равенство a/b = c/d, то a, b, c, d называются пропорциональными числами, а само равенство называется пропорцией.

Теорема: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Воспользуемся тем, что если a/b = m, то a = bm, значит

a = b·c/d = bc·1/d = bc/d , или ad = bc.

Это основное свойство пропорции.

Основные идеи математического анализа

Математический анализ - совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методом дифференциального и интегрального исчислений.

С помощью функции математически выражаются многообразные количественные закономерности в природе.

Что такое функция в математике?

1. Зависимая переменная величина

2. Соответствие Y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины (аргумента или независимого переменного) соответствует определенное значение другой величины y (зависимой переменной, или функции).

Такое соответствие может быть задано различным образом, например формулой, графиком или таблицей (например таблица логарифмов).

Теория предела лежит в основе математического анализа.

Предел .

Под пределом в математике понимается предел последовательности действительных чисел a₁,a₂,…..a_n когда все члены последовательности с достаточно большим номером "n" разнятся от "a" как сродно мало и записывается это следующим образом:

lim a_n = a

?, 2/3,……n/n+1,……. есть 1·lim n/n+1 = 1; n>?

Не всякая последовательность чисел имеет предел.

Для функции f(x) пределом при x стремящемся к x₀ называется такое число А, что f(x) как угодно мало разнится от А при x достаточно близком к x₀ и записывается:

lim f(x) = А;

x>x₀

Дифференциальное исчисление изучает производные, дифференциалы и их применение к исследованию свойств функций. Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению её аргумента.

?y = y₁ - y₀ к ?x = x₁ - x₀

при ?x₁ стремящемся к 0 (если этот предел существует). Производная функции обозначается y' ; и т.о.

y' = lim ?y/?x

?x >0

Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = y¹·dx где dx = ?x - приращение аргумента. Очевидно, что производная функции y¹ = dy/dx/. Это отношение dy/dx употребляют как знак производной.

Вычисление производной и дифференциалов называется дифференцированием.

Если производная f'(x) имеет, в свою очередь, производную, то её называют 2-й производной фyнкции f(x) и обозначают f ''(x) и т.д.в отношении производных 3-го …….и n- го порядка

Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространенны на случай функций нескольких переменных. Если z =f(x,y) - функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-то значение, можно дифференцировать z по x и в этом случае полученная производная dz/dx = f'x называется частной производной z по x. Аналогично можно зафиксировать значение x и получить частную производную z по y: dz/dy = f'y. Аналогично могут быть определенны частные производные высших порядков и полные дифференциалы.

Приложение 2

Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что так называемый угловой коэффициент касательной, т.е. tg б (см. рис.) между осью Оx и касательной к кривой y = f(x) в точке касания М(x₀;y₀) равен значению производной при x = x₀, т.е. f'(x₀).

С точки зрения механики производную можно истолковать как скорость прямолинейно движущейся точки.

Дифференциальные уравнения.

Это уравнения, связывающие искомую функцию, её производные или дифференциалы и независимые переменные, например dy = 2xdx.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в дифференциальное уравнение последнее превращается в тождество. В приведенном примере решением дифференциального уравнения dy = 2xdx является всякая функция вида

y = x² + c,

где с - произвольная постоянная величина. Процесс решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

С помощью дифференциальных уравнений можно записать (что и делается на практике) многие реальные процессы, особенно в научных изысканиях в естественных науках и в технике.

Понятие о первообразной

Чтобы перейти к понятию интеграла вспомним, что такое первообразная функция.

1) Функция F определенная на некотором промежутке "Е" называется первообразной для функции f, определенной на том же промежутке, если для всех x ?E·F'(x) или dF(x) = f(x)dx

2) Совокупность всех первообразных функции f, определенных на некотором промежутке D, называется неопределенным интегралом от функций f на промежутке D и обозначается ? f(x)dx. Здесь f - подынтегральная функция, а f(x)dx - подынтегральное выражение, ? - знак интеграла, x - переменная интегрирования. Исходя из справедливости выражения

F(x)+ C = Ф (x) получаем ?f(х)dx = F(х) + C.

Интегральное исчисление.

как раздел математического анализа изучает свойства интегралов, способы их вычисления и приложение к решению различных математических, физических или других научных задач.

Впервые было предложено в 17 веке И. Ньютоном и Г. Лейбницем.

Интегрирование - действие обратное дифференцированию: по данной непрерывной функции f(x) ищется первообразная функция F(x), для которой f(x) является производной.

Вместе с F(x) первообразной функцией для f (x) является и F(x+C, где С произвольная постоянная.

Общее выражение F(x+C первообразных непрерывной функции f (x) называется неопределенным интегралом и обозначается:

?f(x)dx = F(x) + C

Приложение 3.

Определённым интегралом непрерывной функции f(x) на отрезке (a,b), разделённом отрезками x₁, x₂…..x_n-1 называется предел интегральных сумм

?ⁿ_i = f(x_i-1)?x_i, где ?x = x_i - x_i-1,

при условии, что наибольшая разность стремится к нулю и число точек деление неограниченно увеличивается.

Через определенные интегралы выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объёмы и поверхности тел, координаты центров тяжести, моменты инерции, работа силы, и т.д.

Приложение 4

Связь определенного интеграла и первообразной функции определяется формулой Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница

Итак: простыми словами: чтобы вычислить определенный интеграл

Нужно :

1) Найти какую-нибудь первообразную F(x) для функции f(x) (найти определённый интеграл от функции f(x), в котором С = 0).

2) В полученном выражении подставить вместо x сначала верхний предел "b", затем нижний предел "а" и из результата первой подстановки вычесть второй.

Пример:

Вычислите:

Решение:

Понятие интеграла распространяется на функции многих переменных (кратный интеграл, поверхностный интеграл и криволинейный интеграл).

Подобно дифференциальным уравнениям могут быть составлены интегральные уравнения. В них неизвестная функция содержится под знаком ? - интеграла. Могут быть составлены и смешанные - дифференциально-интегральные уравнения.

Криволинейный интеграл

Это интеграл от функции, заданной вдоль какой-нибудь кривой на плоскости или в пространстве. Криволинейный интеграл можно свести к определённому интегралу, а при некоторых условиях к двойному интегралу (формула Грина) или поверхностному интегралу (формула стокса).

Кратный интеграл

Это интеграл от функции нескольких переменных. Определяется при помощи интегральных сумм, аналогично определённому интегралу от функции одного переменного. В зависимости от числа переменных различают двойной, тройной, n-кратный интеграл.

Поверхностный интеграл

Интеграл от функции, заданной на какой-либо поверхности. при некоторых условиях его можно свести к тройному интегралу (по формуле Остроградского).

число математический доказательство дифференциал интеграл

Размещено на Allbest.ru