Решение уравнений и неравенств с параметром

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение уравнений и неравенств с параметром

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Многие ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга.

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

(a, b, c, …, , x)=(a, b, c, …, , x), (1)

уравнение неравенство переменная параметр

где a, b, c, …, , x - переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а₀, b = b₀, c = c₀, …, k = k₀, x = x₀,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, , x. Пусть А - множество всех допустимых значений а, B - множество всех допустимых значений b, и т.д., Х - множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, , l, m, n а неизвестные - буквами x, y, z.

Решить уравнение с параметрами - значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

2. Алгоритм решения

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х). Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

Записываем ответ.

3. Примеры

1. Найдите все значения параметра а, при которых множество решений неравенства

содержит число 6, а так же содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Решение. По смыслу неравенства ; перепишем неравенство, умножив обе его части на (). Получаем неравенство:

,

(1)

Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:

Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 2)

Рис. 2

Очевидно, интервал (0; 5) не может содержать отрезки длиной 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 содержатся в интервале (5; а). Это возможно при , т.е. при .

Ответ: .

2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

содержит отрезок длиной 4, а так же содержится в некотором отрезке длиной 7.

Решение. Проведем равносильные преобразования, учитывая, что и .

,

,

Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:

Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 3)

Рис. 3

1) При множество решений - это интервал (0; а) длиной меньше 4.

2) При множество решений - это объединение двух интервалов . Содержать отрезок длиной 4 может только интервал (4; а). Но тогда и объединение уже не содержится ни в каком отрезке длиной 7. Значит, такие а не удовлетворяют условию.

3) При множество решений - это интервал (а; 0). Он содержит отрезок длиной 4, только если его длина больше 4, т.е. при . Он содержится в отрезке длиной 7, только если его длина не больше 7, т.е. при , тогда .

Ответ: .

Литература