Активный и пассивный эксперимент

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕНЗЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Контрольная работа

по дисциплине «Основы научных исследований» по теме: «Активный и пассивный эксперимент»

Пенза 2011 г.

Введение

Теория предполагает, что эксперимент может быть пассивным и активным.

При пассивном эксперименте информация об исследуемом объекте накапливается путем пассивного наблюдения, то есть информацию получают в условиях обычного функционирования объекта. Активный эксперимент проводится с применением искусственного воздействия на объект по специальной программе.

При пассивном эксперименте существуют только факторы в виде входных контролируемых, но неуправляемых переменных, и экспериментатор находится в положении пассивного наблюдателя. Задача планирования в этом случае сводится к оптимальной организации сбора информации и решению таких вопросов, как выбор количества и частоты измерений, выбор метода обработки результатов измерений.

Наиболее часто целью пассивного эксперимента является построение математической модели объекта, которая может рассматриваться либо как хорошо, либо как плохо организованный объект. В хорошо организованном объекте имеют место определенные процессы, в которых взаимосвязи входных и выходных параметров устанавливаются в виде детерминированных функций. Поэтому такие объекты называют детерминированными. Плохо организованные или диффузные объекты представляют собой статистические модели. Методы исследования с использованием таких моделей не требуют детального изучения механизма процессов и явлений, протекающих в объекте.

Примером пассивного эксперимента может быть анализ работы схемы, которая не имеет входов, только выходы, и повлиять на ее работу невозможно.

Хорошим примером пассивного эксперимента с диффузным объектом являются измерения метеорологических параметров (температуры, скорости ветра и т.д.) при природных катаклизмах.

Активный эксперимент позволяет быстрее и эффективнее решать задачи исследования, но более сложен, требует больших материальных затрат и может помешать нормальному ходу технологического процесса. Иногда отсутствует возможность проведения активного эксперимента (например, при исследовании явлений природы). Тем не менее, учитывая преимущества активного эксперимента, тогда, когда это возможно, предпочтение отдают ему.

При активном эксперименте факторы должны быть управляемыми и независимыми.

Активный эксперимент предполагает возможность воздействия на ход процесса и выбора в каждом опыте уровней факторов. При планировании активного эксперимента решается задача рационального выбора факторов, существенно влияющих на объект исследования, и определения соответствующего числа проводимых опытов. Увеличение числа включенных в рассмотрение факторов приводит к резкому возрастанию числа опытов, уменьшение - к существенному увеличению погрешности опыта. Фактор считается заданным только тогда, когда при его выборе указывается его область определения - совокупность значений, которые может принимать данный фактор. В эксперименте используется ограниченная часть области определения, задаваемая обычно в виде дискретного множества уровней. Выбранные факторы должны быть однозначно управляемыми и операциональными, то есть поддающимися регулированию с поддержанием на заданном уровне в течение всего опыта при соблюдении последовательности необходимых для этого действий. Должна быть назначена также точность измерения факторов в выбранном диапазоне измерения.

Совокупности факторов должны отвечать требованиям совместимости и независимости. Соблюдение первого требования означает, что все комбинации факторов осуществимы и безопасны, второго - возможность установления фактора на любом уровне независимо от уровней других факторов.

Математическое моделирование является методом качественного или количественного описания объектов или процессов, при этом реальный объект, процесс или явление упрощается, схематизируется и описывается определенным уравнением. В большинстве случаев математическая модель представляет собой уравнение регрессии, то есть геометрическое место точек математических ожиданий условных распределений целевой функции. Простейшим примером такой модели является уравнение парной корреляции, где на целевую функцию воздействует один фактор. На практике в реальном производстве на целевую функцию воздействуют много факторов и искомое уравнение регрессии становится многомерным.

Существует много методов отыскания уравнения регрессии, которые можно условно разделить на два класса: методы активного и методы пассивного эксперимента. Под активным экспериментом будем понимать эксперимент, предварительный план которого составлен так, чтобы получить максимальную информацию о целевой функции при минимальной ее дисперсии и проведении минимального числа опытов (эффективный план). Такой план (например, полный факторный эксперимент) требует искусственного одновременного варьирования всеми факторами в довольно широких пределах. Методы активного эксперимента довольно хорошо разработаны в специальном разделе математической статистики, который называется "Теория планирования эксперимента".

Под математической теорией планирования эксперимента будем понимать науку о способах составления экономных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте, о способах проведения эксперимента, о способах обработки экспериментальных данных, о способах использования полученных результатов для оптимизации исследуемых объектов (например, технологических процессов производства массовой продукции). Математический аппарат теории планирования эксперимента построен на сочетании методов математической статистики и методов решения экстремальных задач.

Построение математической модели технологического процесса в зависимости от поставленной задачи может преследовать следующие цели: минимизировать расход материала на единицу выпускаемой продукции при сохранении качества, произвести замену дорогостоящих материалов на более дешевые или дефицитных на распространение; сократить время обработки в целом или на отдельных операциях, перевести отдельные режимы в некритические зоны, снизить трудовые затраты на единицу продукции и т.п.; улучшить частные показатели и общее количество готовой продукции, повысить однородность продукции, улучшить показатели надежности и т.п.; увеличить надежность и быстродействие управления, увеличить эффективность контроля качества, создать условия для автоматизации процесса управления и т.п.

Прежде всего, необходимо выбрать зависимую переменную Y, которую впредь будем называть целевой функцией или параметром оптимизации, за который принимают один из показателей качества продукции либо по каждой технологической операции отдельно, либо по всему технологическому процессу сразу. Параметр оптимизации должен соответствовать следующим требованиям:

· параметр должен измеряться при любом изменении (комбинации) режимов технологического процесса;

· параметр должен быть статистически эффективным, то есть измеряться с наибольшей точностью;

· параметр должен быть информационным, то есть всесторонне характеризовать технологический процесс (операцию);

· параметр должен иметь физический смысл, то есть должна быть возможность достижения полезных результатов при соответствующих условиях процесса;

· параметр должен быть однозначным, то есть должно минимизироваться или максимизироваться только одно свойство изделия.

За фактор принимают контролируемую величину объекта (изделия, процесса, операции), то есть величину, характеризующую то или иное свойство объекта или режим технологического оборудования. Эта величина, числовое значение которой измеряется в пределах (границах) изменения, должна влиять на параметр оптимизации.

При определении величин количественных оценок во внимание должны приниматься только те факторы, которые имеют четкий метрологический смысл (возможность измерения фактора с определенной точностью).

Описание исследуемого объекта нельзя получить в виде точной формулы функции, справедливой во всем диапазоне существования аргументов. Оно может быть лишь приближенным и на небольшом участке в окрестностях выбранной базовой точки. Аппроксимация искомой математической зависимости представляет собой некоторый полином - отрезок ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная зависимость:

(1)

где:

В силу наличия неуправляемых и даже неконтролируемых входных переменных Xi изменение величины Y носит случайный характер, а потому уравнение (1) не дает нам точной связи между входом и выходом объекта и является лишь условным математическим ожиданием случайной величины Y, т.е. уравнением регрессии.

Чтобы отыскать коэффициенты уравнения регрессии по результатам экспериментов в N точках факторного пространства (что является типичной задачей регрессионного анализа), необходимо выполнение следующих предпосылок:

1. Результаты наблюдений Y1, Y2,...,Yn выходной величины в N точках факторного пространства представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины.

2. Выборочные дисперсии опытов однородны, т.е. статистически неразличимы. Это требование означает независимость выборочной дисперсии от местоположения точки факторного пространства, в которой проводится конкретный опыт (ротатабельность).

3. Независимые переменные X1, X2,...,Xn измеряются с ошибкой много меньшей, чем величина возможного отклонения выходного параметра Y под влиянием неучтенных факторов.

Тогда задача отыскания коэффициентов уравнения регрессии сводится к решению системы так называемых нормальных уравнений:

(2)

где Y_g- экспериментальные значения выходного параметра, полученные в g-й точке факторного пространства;

- значение выходного параметра, найденные по уравнению регрессии в тех же точках;

d - количество членов в уравнении регрессии.

Выражение (2) является основным критерием проверки правильности найденного уравнения регрессии.

Чтобы система нормальных уравнений, которая может быть представлена в виде матрицы, имела единственное решение, необходимо, чтобы матрица была невырожденной, т.е. чтобы вектор - столбцы были линейно - независимы. Чтобы величины коэффициентов уравнения регрессии не зависели от числа членов матрицы, нужно на нее наложить дополнительное условие ортогональности вектор столбцов.

Пример 1. Методом ПФЭ найти математическую модель процесса напыления резисторов

После консультации с экспертами и некоторых предварительных исследований было определено, что на величину сопротивления напыляемых резисторов могут оказывать влияние следующие факторы:

1. Состояние испарителя - "чистое", т.е. порошок для напыления сыпется в стакан испарителя впервые после промывки его сторон, или "грязное", т.е. порошок сыпется в испаритель, в котором осталось некоторое его количество от предыдущего цикла напыления; обозначим этот фактор как x1, причем величина x₁ = +1соответствует "чистому", а величина x₁ = -1 соответствует "грязному" состоянию испарителя;

2. Температура подогрева подложки x₂, причем x₂ = +1 соответствует верхней допустимой по техпроцессу температуре, а x₂ = -1 - нижней;

3. Температура испарителя x3, причем x₃ = +1 соответствует верхней допустимой по техпроцессу температуре, а х₃ = -1 - нижней.

План эксперимента, его пятикратная реализация с учетом рандомизации и первичная обработка результатов представлена в таблице.

При первичной обработке результатов экспериментов пользуемся формулами (4) и (5), а затем проверяем воспроизводимость опытов по (7)

Таким образом, подтверждена воспроизводимость опытов (отсутствие в данных грубых промахов), что позволяет, в свою очередь, найти среднюю дисперсию строчных выборок (дисперсию опытов) по (8)

Оценки коэффициентов уравнения регрессии ищутся по формуле (11)

и т.д. Аналогично находим b₃ = -0,55; b₁₂ = +0,61; b₁₃ = -2,30; b₂₃ = +0,26; b₁₂₃ = -0,81

Проверяем значимость оценок коэффициентов по критерию Стьюдента по формуле (12), предварительно найдя дисперсию оценок по формуле (13)

Табличное значение критерия t_i (табл.П.2) t_кр(5%;v₃=32) = 2,046, поэтому все найденные оценки коэффициентов, кроме b23, признаются значимыми и должны войти в модель

= 14,90 + 1,61x₁ + 0,86x₂ -0,55x₃ + 0,61x₁x₂ -2,30x₁x₃ - 0,81x₁x₂x₃

Для определения дисперсии адекватности по формуле (14) необходимо сначала найти числовые значения модели _g для каждой g-ой строки матрицы планирования, а затем подсчитать сумму квадратов разностей между модельным значением и средним арифметическим _g той же строки

Тогда критерий Фишера (15) дает

что доказывает адекватность найденной модели. Ее можно использовать для управления технологическим процессом испытания резисторов.

математический моделирование регрессия эксперимент

Пример 2. Методом ДФЭ найти математическую модель процесса напыления резисторов

Воспользуемся результатами Примера 1 и положим в качестве генерирующего соотношения равенство x₁ = x₂x₃ (т.к. b₂₃ = 0). Тогда матрица планирования и результаты эксперимента (опуская промежуточные данные) будут выглядеть так.

Проверим воспроизводимость опытов

откуда следует, что результаты опытов получены правильно, дисперсия строчных выборок равна S²{y} = 8,792 / 4 = 2,198 с числом степеней свободы v₃ = 4·4 = 16.

Оценки коэффициентов уравнения регрессии

аналогично b₂ = -1,44; b₃ = 0,05.

Проверка значимости полученных оценок начинается с определения их СКО

Откуда

Табличные значения критерия t_кр(5%;16) = 2,131, следовательно, модель найдена в виде

= 14,09 + 1,88x₁ - 1,44x₂.

Проверка адекватности модели дает

т.е. модель признается адекватной экспериментальным данным.

Сравнение моделей примера 1 и примера 2 показывает, что они имеют совершенно разный вид, а по некоторым факторам - противоположные по смыслу оценки коэффициентов. Отсюда можно сделать несколько общих выводов и рекомендаций (без подробного обоснования), пригодных для использования в рамках теории планирования экспериментов:

1. по одним и тем же экспериментальным данным можно построить несколько математических моделей, каждая из которых будет адекватна для своего набора оценок коэффициентов регрессии;

2. из всех моделей наилучшей признается та, у которой меньше членов и меньше критерий Фишера (или, если угодно, меньше дисперсия адекватности);

3. при большом числе факторов работу по математическому моделированию следует начинать с ДФЭ возможно большей дробности. Если модель получилась неадекватной, ее всегда можно достроить до следующей реплики вплоть до ПФЭ. Это сэкономит количество опытов, время, затраты и т.п.

Заключение

Применение описанных выше методов математического моделирования полностью оправдало себя в условиях с небольшим числом факторов. Но при очень большом числе факторов и привлечение их к составлению математического описания исследуемого объекта методами ПФЭ или ДФЭ может потребовать увеличения объема экспериментальной работы, что редко может выполняться из-за экономических, технологических и прочих ограничений. Таким образом, возникает необходимость в предварительном отсеивании несущественных и выделении тех факторов процесса, которые оказывают наиболее заметное влияние на целевую функцию. Другим существенным затруднением для применения ПФЭ или ДФЭ в производственных условиях является метод получения оценок коэффициентов регрессии. Оценки вида (11) считаются оптимальными в смысле эффективности (минимума дисперсии), поскольку их вычисление базируется на методе наименьших квадратов, однако предварительным условием такой оптимальности являются требования независимости факторов, ортогональности и симметричности плана эксперимента, а также требование равенства дисперсий условных распределений плотности вероятности f(y/x_k). В свою очередь симметричность плана требует равного количества наблюдений, соответствующих положительным и отрицательным значениям k-го фактора.

На практике в производственных условиях требования симметричности плана и равенства дисперсий условных распределений плотности вероятности f(y/x_k) эксперимента, как правило, нарушаются, особенно в случаях, когда исследователь пытается построить модель по результатам, зафиксированными для случайной системы комбинаций производственных факторов. При этом всегда имеется выбор: либо нарушить одно из требований факторного анализа, либо потерять часть информации, пытаясь выбрать из нее только то, что согласуется с правилами ведения ПФЭ (ДФЭ).

Список литературы

1. Буянтуев А.Б. Лабораторный практикум по курсу «Основы научных исследований», 2001 г.

2. Сабитов Р.А., учебное пособие, 2002 г.

3. Лудченко А.А., Лудченко Я.А., Примак Т.А. Основы научных исследований, 2005г.

4. Шкляр М.Ф. Основы научных исследований: Учебное пособие , 2009 г.

Размещено на Allbest.ru