Основы финансовой математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №1

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года):

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Данные	39	50	59	38	42	54	66	40	45	58	69	42	50	62	74	46

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б1=0,3; б2=0,6; б3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1) Для проведения вычислений по формулам Хольта подготовим таблицу:



Исходные данные	Построение модели Хольта-Уинтерса
t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)

модель хольт уинтерс цена процент ссуда

Решение задачи делится на три этапа: предварительный расчет (t=-3, -2, -1), основной расчет (t=1, 2,…, 16), прогнозирование (t=17, 18, 19, 20).

На этапе предварительного расчета определим величины коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года а(0) и b(0). По первым восьми наблюдениям (t=1, 2,…, 8) построим вспомогательную линейную модель.

Примем а(0)=44,43 и b(0)=0,90; занесем эти значения в нулевой уровень столбцов a(t) и b(t) основной расчетной таблицы.

Оценкой коэффициента сезонности F(-3) первого квартала предыдущего года служит среднее арифметическое отношений фактического значения Y к значению ?, найденному по линейной модели, первого квартала первого года и первого квартала второго года, т.е.

F(-3)=0.86

Аналогично

F(-2)=1.08

F(-1)=1.28

F(0)=0.78

Основной расчет: по основной формуле модели Хольта рассчитаем:



Y(a(0)+b(0))*F(-3)=38.95

Рассчитаем коэффициенты для t=1

a(1)=45.35

b(1)=0.92

F(1)==0.86

Y(2)=(a(1)+b(1))*F(-2)=50.07

И т.д. для t=2,3,…16. Модель Хольта-Уинтерса построена.

2) Точность построенной модели оценивают с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. Дополним расчетную таблицу столбцами

Оценка качества модели
E(t)	отн.погр.



E(1)=Y(1)-Y=0.05 Отн. погр.(1)=ABS=0.13

E(t)	отн.погр.
0,05	0,13
-0,07	0,14
-1,16	1,96
0,74	1,94
0,05	0,13
0,17	0,32
1,52	2,30
-1,07	2,68
-0,37	0,82
0,09	0,15
-0,43	0,62
-1,03	2,45
2,61	5,21
0,00	0,01
-0,41	0,56
-0,11	0,23

Средняя относительная погрешность аппроксимации составит: 1,23% (функция СРЗНАЧ).

1,23%<5%Модели является точной.

3) а) Оценка адекватности построенной модели по критерию поворотных точек. Построим график остатков E(t).

Количество поворотных точек на графике р=9. Вычислим р при n=16.



р=6.22

p=9>p=6.22, свойство случайности для ряда остатков выполняется, следовательно модель адекватна.

б) Для проверки свойства независимости остатков используем критерий Дарбина-Уотсона.

d=2.57 (функции СУММКВРАЗН (ост. без первого; ост. без последнего); СУММКВ (все остатки)).

Критические значения d=1.10, d=1.37

Расчётное значение находится в интервале от 2 до 4, что свидетельствует об отрицательной связи. В этом случае его надо преобразовать по формуле и в дальнейшем использовать .

1.37<1.43<2, уровни ряда остатков являются независимыми, следовательно модель адекватна.

Для дополнительной проверки используем критерий автокорреляции.

r(1)=-0.287 (функции СУММПРОИЗВ (ост. без первого; ост. без последнего); СУММКВ (все остатки)).

r=0.32

0.287< r=0.32, уровни ряда остатков независимы.



в) Для проверки свойства нормального распределения остатков используем R/S критерий.

E=2.61 (функция МАКС), E=-1,16 (функция МИН), S(E)=0.956 (СТАНДОТКЛОН), R/S==3.937

Критический интервал (3; 4,21) 3,937(3; 4,21), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Таким образом, не все условия адекватности выполнены. Следовательно, нельзя говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя на четыре квартала вперед.

4) Этап прогнозирования: по основной формуле модели Хольта-Уинтерса:

Y(a(t)+k*b(t))*F(t+k-L) определим:

Y(a(16)+1*b(16))*F(13)=52.32

Y(18)=(a(16)+2*b(16))*F(14)=66.40

Y(19)=(a(16)+3*b(16))*F(15)=79.39

Y(20)=(a(16)+4*b(16))*F(16)=49.23

5) Построим график исходных данных, результатов моделирования и прогнозирования.



Задача №2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

		цены
дни	макс.	мин.	закр.
1	595	580	585
2	579	568	570
3	583	571	578
4	587	577	585
5	586	578	582
6	594	585	587
7	585	563	565
8	579	541	579
9	599	565	599
10	625	591	618

Решение

А) Рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю по формуле:

EMA(t)=K*C(t)+(1-K)*EMA(t-1); K==

EMA(5)=579.5 (СРЗНАЧ С(1):С(4))

EMA(6)==582 и т.д. до EMA(10)



Б) Индекс момент МОМ рассчитывают как разность цен закрытия:

МОМ(t)=C(t)-C(t-n)

MOM(6)=C(6)-C(1)=587-585=2 и т.д. до МОМ(10)

Вывод: График МОМ находится ниже нулевого уровня с 6 по 8 дни, рекомендуется продажа.

В) Индекс скорости изменения цен ROC рассчитывают как процентное отношение цены закрытия текущего периода С(t) к цене С(t-n) n периодов тому назад.

ROC(t)=

ROC(6)= 587/585*100=100.34 и т.д. до ROC(10)

Вывод: График ROC находится ниже уровня 100% с 6 по 8 дни, рекомендуется продажа финансового инструмента.

Г) Индекс относительной силы RSI определяется формулой

RSI=100-

AU - сумма приростов цен закрытия за n периодов до текущего t.

AD - сумма убыли цен закрытия за n периодов до текущего t.

Для расчета RSI, необходимо найти изменение цен закрытия, повышение и понижение цены.

Изменение цен закрытия = С(t)-C(t-1)

C помощью функции ЕСЛИ рассчитаем повышение и понижение цены.

AU - сумма первых пяти повышений цен

AU - сумма со второго по шестое повышение цены и т.д.

AD - сумма первых пяти понижений цен

AD - сумма со второго по шестое понижение цены и т.д.

Вычислим RSI(t) по формуле:

RSI(6)=100-52.63 и т.д. до RSI(10).

Вывод: Значения RSI вышли из зоны перепроданности и движутся в зону перекупленности. Все указывает на то, что цены в будущем будут продолжать расти, что служит сигналом для покупки товара.

Д) Стохастические индексы - индексы %К, %R, %D.

%K=

%R=

%D=

H(t,5) - рассчитывается с помощью функции МАКС (первые пять значений H(t) и т.д.)

L(t,5) - рассчитывается с помощью функции МИН (первые пять значений L(t) и т.д.)

Для расчета индекса %D посчитаем предварительно sum(C(t)-L(t,5)) и sum(H(t,5-L(t,5)) с помощью функции СУММ (сумма первых трех значений), а затем по формуле и само значение индекса %D.

Вывод: После оценки всех индексов (ЕМА, МОМ, ROC, RSI, %К, %D и %R) можно сделать вывод, что в данном примере мы имеем дело с развитием восходящего тренда, что указывает нам на целесообразность покупки данного товара.

Задача №3

Сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число начислений
S	Тн	Тк	Тдн	Тлет	i	M
4000000	10.01.02	20.03.02	90	5	45	4

3.1. Банк дал ссуду, размером 4000000 руб. Дата выдачи ссуды - 10.01.02, возврата - 20.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 45% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

3.1.3)обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

Ответ: 3.1.1) I=340 273,97 руб.

3.1.2) I=345 000 руб.

3.1.3) I=350 000 руб.

3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 4000000 руб. Кредит выдан под 45% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение:

Тдн=	90
S=	4000000
i=	45%
P, D - ?



n=t/360=90/360=0.25

P==3595505,618

D=S-P=404494,382

Ответ: Первоначальная сумма - 3 595 505,618 руб.; дисконт - 404 494,382 руб.

3.3. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 4000000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 45% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение:

t=	90
P=	4000000
i=	45%
k=	360
S,D - ?

S=P*(1-n*i)= 3550000

D=P-S=450000

Ответ: полученная сумма - 3 550 000 руб.; дисконт - 450 000 руб.

3.4. В кредитном договоре на сумму 4000000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 45% годовых. Определите наращенную сумму.

Решение:

P=	4000000
n=	5
i=	45%
S - ?



S=БС(45%;5;;-4000000)= 25 638 936,25р.

Ответ: наращенная сумма - 25 638 936,25 руб.

3.5. Ссуда, размером 4000000 руб. предоставлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка - 45% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год. Вычислить наращенную сумму.

Решение:

P=	4000000
n=	5
i=	45%
m=	4
S - ?

S=БС(45%/4;5*4;;-4000000)= 33 733 420,84р.

Ответ: наращенная сумма - 33 733 420,84 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 45% годовых.

Решение:

m=	4
j=	45%
r - ?

r=ЭФФЕКТ(45%;4)= 53%

Ответ: эффективная ставка - 53%.

3.7. Определить какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в год, чтобы обеспечить эффективную ставку 45% годовых.



Решение:

m=	4
r=	45%
j - ?

j=НОМИНАЛ(45%;4)= 39%

Ответ: номинальная ставка - 39%.

3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 4000000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 45% годовых.

Решение:

n=	5
S=	4000000
i=	45%
A - ?

А=ПС(45%;5;;-4000000)= 624 050,85р.

Ответ: современная стоимость - 624 050,85 руб.

3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 4000000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 45% годовых. Определить дисконт.

Решение:

n=	5
P=	4000000
i=	45%
D - ?

S=БС(-45%;5;;-4000000)= 201 313,75р.

D=P-S=3 798 686,25р.

Ответ: дисконт - 3 798 686,25 руб.

3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 4000000 руб., на которые 4 раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 45%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

n=	5
R=	4 000 000
m=	4
i=	45%
S - ?

j=ЭФФЕКТ(45%;4)=53%

S=БС(45%;5;-4000000)= 55 911 644,61р.

Ответ: сумма на расчетном счете - 55 911 644.61 руб.



Список использованной литературы

1. Финансовая математика: Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания. Для студентов IV курса по специальности 060400 «Финансы и кредит» / ВЗФЭИ. - М.: Финстатинформ, 2002. - 78 с.

2. Конспект лекций по финансовой математике.

3. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых операций: Учеб. пособие/ Под ред. В.А. Половникова и А.И. Пилипенко. - М.: Вузовский учебник, 2004. - 360 с.

Размещено на Allbest.ru