Види і властивості трикутників

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Доповідь

Види і властивості трикутників

Доповідь підготувала

Шведенко Марія, 10-А

2011

Трикутник - це три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізки, що їх сполучають. Трикутник є многокутником.

Типи трикутників

1. Трикутники можна класифікувати в залежності від відносної довжини його сторін:

А) В рівносторонньому трикутнику всі сторони мають однакову довжину. Всі кути рівностороннього трикутника також рівні і дорівнюють 60°. Рівносторонній трикутник ще називають правильним.

Б) В рівнобедреному трикутнику дві сторони мають однакову довжину, третя сторона при цьому називається основою трикутника. Рівнобедрений трикутник також має однакові кути, які знаходяться при його основі.

В) Різносторонній трикутник має сторони різної довжини. Внутрішні кути різностороннього трикутника різні.

2. Також трикутники можна класифікувати відповідно до їх внутрішніх кутів:

А) Прямокутний трикутник має один внутрішній кут рівний 90° (прямий кут). Сторона, протилежна до прямого кута, називається гіпотенуза. Інші дві сторони називаються катетами прямокутного трикутника.

Б) Тупокутний трикутник має один внутрішній кут більший ніж 90°.

В) В гострокутному трикутнику всі кути менші за 90°. Рівносторонній трикутник є гострокутним, але не всі гострокутні трикутники рівносторонні.

Точки й лінії пов'язані з трикутником

Серединний перпендикуляр трикутника - це перпендикуляр, який проходить посередині сторони трикутника. Три серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці, яка є центром описаного кола.

Виходячи з теореми Фалеса можна стверджувати - якщо центр описаного кола розміщений на одній із сторін трикутника, тоді протилежний кут прямий. Більше того, якщо центр описаного кола знаходиться всередині трикутника, то трикутник гострокутний, а якщо назовні - то трикутник тупокутний.

Висота трикутника - пряма проведена з вершини і перпендикулярна до протилежної сторони або до продовження протилежної сторони. Точка перетину сторони і перпендикуляра називається основою перпендикуляра. Три висоти перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. Ортоцентр лежить всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать в трикутнику) тоді і тільки тоді, якщо трикутник не тупокутний (в ньому жоден з внутрішніх кутів не більший за прямий кут).

Бісектриса трикутника - це пряма проведена через вершину, яка ділить відповідний кут на дві рівні частини. Три бісектриси перетинаються в одній точці, центрі вписаного в трикутник кола. Вписане коло - це коло, яке лежить всередині трикутника і дотикається до трьох його сторін.

Медіана трикутника - це пряма, що проведена через вершину і середину протилежної сторони і ділить трикутник на дві однакової площі, і протилежну сторону на дві рівні частини. Три медіани перетинаються в одній точці, яка називається центроїдою трикутника. Центроїд ділить кожну медіану у співвідношенні 2:1, рахуючи від вершини.

Середня лінія трикутника - відрізок, що з'єднує середини двох сторін цього трикутника. Середня лінія паралельна основі трикутника та дорівнює її половині. Середня лінія відсікає трикутник, який подібний до цього, а його площа дорівнює одній чверті його площі.

Основні факти

Вершини трикутника зазвичай позначають великими латинськими літерами A, B, C, кути при відповідних вершинах грецькими літерами б, в, г, а довжини протилежних сторін - маленькими латинськими літерами a, b, c.

Сума внутрішніх кутів трикутника - 180 градусів. Зовнішній кут трикутника (кут суміжний до внутрішнього кута) завжди дорівнює сумі двох інших внутрішніх кутів трикутника. Як і у всіх випуклих багатогранників сума зовнішніх кутів трикутника 360 градусів. Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника завжди перевищує довжину третьої сторони.

Два трикутники називаються подібними тоді і тільки тоді, якщо кути одного рівні відповідним кутам іншого. В такому випадку довжини відповідних сторін пропорційні. Ось кілька властивостей і теорем про подібні трикутники:

А) Два трикутники подібні, якщо в них хоча б два відповідних кута рівні.

Б) Якщо дві відповідні сторони в трикутниках пропорційні, а кут між ними однаковий, то трикутники подібні.

В) Якщо всі сторони двох трикутників пропорційні, то трикутники подібні.

Обчислення площі трикутника

Обчислення площі трикутника є простою задачею, яка часто вирішується в багатьох галузях. Найбільш відома і найпростіша формула:

S = bh1/2

де: S - площа;

b - довжина основи трикутника;

h - висота трикутника.

Поняття основа означає будь-яку сторону, а висота означає перпендикуляр проведений з вершини трикутника протилежної до основи на саму основу.

Хоча ця формула й проста, вона може бути використана тільки, якщо можна легко знайти висоту. На практиці можна використовувати різні методи визначення площі, залежно від того що відомо про трикутник. Нижче наведено добірку найбільш вживаних формул.

Форма трикутника однозначно визначається трьома сторонами. Відповідно для того щоб порахувати площу достатньо знати довжину сторін. За формулою Герона, де півпериметр:

р = (а + b + c) /2.

Прямокутний трикутник

трикутник перпендикуляр бісектриса медіана

Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут. Сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами.

Властивості:

Теорема 1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

Теорема 2. У прямокутному трикутнику з кутом 30° катет, протилежний цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи.

Теорема 3. Якщо в прямокутному трикутнику катет дорівнює половині гіпотенузи, то протилежний цьому катету кут дорівнює 30°.

Теорема 4. Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь-який його катет.

Теорема 5. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

Теорема 1. Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема 2. Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема 3. Якщо гіпотенуза й гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема 4. Якщо катет і прилеглий (протилежний) гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету й прилеглому (протилежному) гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Рівнобедрений трикутник

Властивості:

Теорема 1. У рівнобедреному трикутнику кути при основі є рівними.

Теорема 2. У рівнобедреному трикутнику медіана, висота й бісектриса, проведені до основи, збігаються.

Теорема 3. У рівнобедреному трикутнику медіани, проведені до бічних сторін (а також бісектриси й висоти), рівні.

Ознаки:

Теорема 1. Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.

Теорема 2. Трикутник рівнобедрений, якщо:

- одна з його висот є медіаною;

- одна з його медіан є бісектрисою;

- одна з його висот є бісектрисою.

Теорема 3. Трикутник рівнобедрений, якщо:

- дві його висоти рівні;

- дві його медіани рівні;

- дві його бісектриси рівні.

Аналогічно можна сформулювати ознаки рівностороннього трикутника.

Рівносторонній трикутник

Властивості:

Теорема 1. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні.

Теорема 2. У рівносторонньому трикутнику висота, медіана, бісектриса, проведені з однієї вершини, збігаються.

Теорема 3. У рівносторонньому трикутнику всі медіани (висоти, бісектриси) рівні між собою.

Размещено на Allbest.ru