Размещено на http://www.allbest.ru/

Раздел 1. Введение в анализ

1. Числовая последовательность

Под числовой последовательностью а₁, а₂, а₃, …, а_n понимается функция (*) а_n=f(n) заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается {а_n}, n є N числовой последовательностью - бесконечно перенумерованное количество чисел. Число а₁ - первый член последовательности, а₂ - второй, …, а_n - общий или n-ый член последовательности. Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Формула (*) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру n. Пример:

a_n = n² + 1а_n = (-1)ⁿ · n

а_n = {2, 5, 10, … n² + 1, …}а_n = {-1, 2, -3, 4, …, (-1)ⁿ n, …}

b_n = b_n =

b_n =b_n =

2. Предел последовательности

Определение: Число А называется пределом последовательности {а_n}, если для любого положительного числа ? найдется такое натуральное число N (номер), что при всех n>N выполняется неравенство:

Обозначают:



Говорят: последовательность {а_n} имеет предел, равный числу А (или а_n стремиться к А или {а_n} сходящаяся). Если последовательность предела не имеет, говорят - расходящаяся последовательность.

Определение (на языке ? (коротко))

?>0 N:n>N |a_n - A| < ?

Пример:

Доказать, что

По определению, число 1 будет пределом последовательности , n є N, если для ?>0 найдется натуральное число N, такое, что для всех n>N выполняется неравенство

Оно справедливо для всех , то есть для всех n>N = , где - целая часть числа (целая часть числа х обозначается [x], есть наибольшее целое число, не превосходящее х [3]=3 [5,2]=5)

Если ? > 1, то в качестве N можно взять +1

Итак, ?>0 найдено соответствующее значение N. Это доказывает, что

.

3. Геометрическая интерпретация предела последовательности

Неравенство (*) равносильно

? < a_n - A < ?

A-? <a_n<A+?,

которые показывают, что элемент а_n находится в ? - окрестности точки А.

Определение: (геометрическое).

Число А называется пределом последовательности {а_n}, если для любой ? - окрестности точки А найдется натуральное число N, такое, что все значения а_n, для которых n>N, попадают в ?-окрестность точки А.

Чем меньше ?, тем больше число N, но в любом случае внутри ?-окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а в не её может быть лишь конечное их число.

4. Теорема о единственности предела

Теорема: Если последовательность {а_n} имеет предел, то он единственный.

Доказательство: Дано:



Доказать: единственность предела.

Доказательство: (от противного)

Предположим, что существует и

Используем геометрическую интерпретацию.

Выберем в качестве ? настолько малое число ?>0, чтобы ?-окрестности точек А и В не пересекались

Поскольку , то для выбранного ? существует номер N₁, такой, что для любого n>N₁, все элементы а_n окажутся в ?-окрестности точки А.

Поскольку , то для этого же ? N₂ , что для любого n>N₂ все члены а_n окажутся в ?-окрестности почки В. Выберем N = max (N₁, N₂)

Тогда, начиная с этого номера все члены последовательности а_n должны одновременно попасть в ?-окрестность точек А и В, что невозможно, так как эти множества окрестностей не имеют общих точек. Таким образом пришли к противоречию в результате неверного допущения.

5. Ограниченные и монотонные последовательности

Определение: Последовательность {а_n} называется ограниченной, если существует положительное число М, такое, что все члены последовательности не превосходят по абсолютной величине число М, то есть В противном случае, последовательность называется неограниченной.

Пример:

; - ограниченные последовательности.

М=0 М=1

- неограниченная последовательность.

Определение: Последовательность {а_n} называется возрастающей (убывающей), если каждый последующий член больше (меньше) предыдущего, то есть

Определение: Последовательность {а_n} называется неубывающей (невозрастающей) если

Возрастающую и убывающую последовательность называют строго монотонными. Невозрастающую и неубывающую последовательности называют монотонными.

Теорема: (необходимое условие осуществления предела)

Если последовательность имеет предел, то она ограниченна (без доказательства).

Обратное утверждение, вообще говоря, не верно.

Пример:

1)

2) -1, 1, -1, 1, …, (-1)ⁿ, …

последовательность ограничена, но предела не имеет.

Теорема Вейергитрасса:

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

(без доказательства).

6. Бесконечно малые последовательности и их свойства

последовательность числовой предел теорема

Определение: Последовательность {а_n} называется бесконечно малой, если

{а_n}= - б.м.п.{а_n} = - б.м.п.

Свойства Б.М.П.

1) Алгебраическая сумма конечного числа б.м. последовательностей, есть б.м. последовательность.

2) Произведение б.м.п. на ограниченную последовательность, есть б.м. последовательность.

Следствие: произведение конечного числа б.м. последовательности, есть б.м. последовательность.

7. Бесконечно большие последовательности и их свойства

Определение: Последовательность {а_n} называется бесконечно большой, если для любого наперед заданного числа М>0, каким бы большим оно ни было, можно указать такой номер N, начиная с которого выполняется неравенство

{а_n} = n³ - б.м.п.

Теорема (связь б.б. с б.м. последовательностью и наоборот).

Если последовательность {а_n} - б.б. то начиная с некоторого номера N определима последовательность

{} - которая является б.м.п. (без доказательства)

{а_n}= n³ - б.б.п.

{а_n} = - б.м.п.

8. Арифметические теоремы о пределах последовательностей

Теоремы 1-4

Пусть

Тогда

1)

Предел суммы равен сумме пределов. Так как и , то достаточно проверить, что последовательность является б.м.. Из того, что - б.м.п. Из того, что - б.м.п., тогда - б.м.п. как сумма конечного числа б.м.п.

2)

Предел разности равен разности пределов.

3)

Предел произведения равен произведению пределов.

Следствие:

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

4) Если , то

Предел частного, равен частному пределов.

9. Теорема сравнения

Теорема 1. Пусть и для всех n є N, , тогда

Доказательство: (от противного)

Допустим, что и выберем окрестность точки А, не содержащую начало координат



Так как , то выбранная окрестность точки А не содержит ни одного члена последовательности, а последовательность точки А не является пределом, что противоречит условию.

Теорема 2. Если и , то , и для всех n є N , то .

Теорема 3. (Гурьева) Если и , и для всех nєN , то

Теорема 4. Если , то начиная с некоторого номера все члены последовательности имеют знак предела.

Раздел 2. Предел функции

1. Числовые функции. Способы задания функций

Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу хєХ по определенному правилу и закону поставить в соответствие единственный элемент yєY, то говорят что на множестве Х задана функция y=f(x).

Х - область определения функции

Обозначают D(f), D(y)

Y - область (множество) значений E(y)

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа, то функцию называют числовой. Переменная х называется аргументом или независимой переменной, а у - функцией. Относительно самих величин х и у, говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Наиболее часто встречаются три способа задания функций: аналитический, графический и табличный. Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Пример:

1)

2) у=х²

3) у²-4х=0

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью использовать функцию y=f(x)

Графический способ: задается график функции.

Преимущество - наглядность, недостаток - неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функций.

2. Основные характеристики функции (самост.)

1) Четная, нечетная.

2) Возрастающая (неубывающая).

3) Убывающая (невозрастающая).

4) Монотонная, строго монотонная.

5) Периодическая.

6) Обратная функция.

7) Ограниченная функция.

8) Сложная функция.

9) Основные элементарные функции и их графики.

3. Предел функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме быть может, самой точки х₀.

Определение: (по «Гейне» или на «языке последовательностей»)

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀ (или при хх₀) если для любой последовательности допустимых значений аргумента х_n(х₁, х₂, …, х_n, …) стремящейся к х₀ (то есть nєN ), соответствующая последовательность значений функций (f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), …) стремиться к числу А (то есть ) Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к х_0, соответствующее значения функции как угодно мало отличается от числа А.

4. Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что х стремиться к х₀ любым способом: оставаясь меньшим чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около х₀.

Введем понятие односторонних пределов:

Определение: Число А₁ называется пределом функции y=f(x) слева в точке х₀, если для любой последовательности аргумента хх₀ и такой, что х<х₀, последовательность f(x_n)соответственно значений функции f(x) имеет один и тот же предел А.

Запись:

Аналогично определяется предел функции справа:

Пределы функций слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А₁=А₂.

Следовательно и обратное утверждение: если существуют оба предела (слева и справа) и они равны, то существует предел . Если же А₁А₂, то - не существует.



5. Бесконечно большая функция

До сих пор, мы рассматривали функции, которые имели конечный предел будь то при хх₀ или х. Рассмотрим случай, когда функция имеет пределом бесконечность. Определение

по Гейне: Функцией y=f(x) называется бесконечно большой если

Если функция стремиться к бесконечности при хх₀ и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то

Определение: Функция y=f(x) называется бесконечно большой при хх₀, если для любой последовательности значений аргумента {х_n} из области определения функции, стремящейся к х₀, соответствует последовательности значений функции, сходящаяся к бесконечности.

:



6. Бесконечно малые функции

Определение: Функция y=f(x) называется бесконечно малой при хх₀, если

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами и обозначают греческими буквами

Свойства бесконечно малых функций:

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2) Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию или на число, есть функция бесконечно малая.

3) Связь между б.м. и б.б. функциями устанавливает следующая теорем 7.1

Если функция - б.м. при хх₀ (х), то функция - есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция f(x) - бесконечно большая при хх₀ (х), то - бесконечно малая.

Например:

1) =х-2 - б.м. при х2,

- б.б. при х2

2) f(x) = х² при х б.б.ф.

- б.м.ф.

4) Связь между функцией, ее пределом и б.м. функцией устанавливает следующая теорема 7.2: Для того, чтобы функция у=f(x) имела предел равный А при хх₀ (х), необходимо и достаточно, чтобы разность f(x)-А= была бесконечно малой величиной.

- б.м.в.

Пример:

5+х-7=0 при х2

7. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случае, когда хх₀ и х, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы и существуют.

Теорема 1.

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) двух пределов.

Доказательство: Пусть

Из теоремы 7.2

где и - б.м.ф. - б.м.ф. (как сумма б.м.ф.)

, то есть

В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого количества числа функций.

Следствие1. Функция может иметь только один предел при хх₀

Теорема 2.

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

Доказательство самостоятельно.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Теорема 3.

Предел частного равен частному пределов, в случае если предел знаменателя не равен нулю.

Пример:

1)

2)

8. Замечательные пределы

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремиться к нулю.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Можно сказать, что в общем случае



1)

2)

3) (самостоятельно)

4)

5)

6)

2. Второй замечательный предел

Размещено на http://www.allbest.ru/

е2,71328

Следствие:

Неопределенность вида []

Можно показать, что

На практике удобно применять формулу



9. Раскрытие неопределенностей

Очень часто на практике случаются случаи, когда непосредственное применение той или иной теоремы не представляется возможным, то есть встречаются так называемые неопределенности.

Рассмотрим неопределенности следующих видов:

, , , ,

1. Раскрытие неопределенностей вида

а) ,

где f(x) и g(x) - многочлены.

Необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, с тем, чтобы выделить множитель (х-х₀) за счет которого получается неопределенность

Пример:

б) В примерах содержащих радикалы, для раскрытия неопределенности следует умножать числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное тем, что содержат радикалы.

Пример:

в) Использование первого замечательного предела.

2. Раскрытие неопределенностей вида

а) - частное двух многочленов.

Для раскрытия неопределенности такого вида делят числитель и знаменатель на старшую степень.

Пример:



Можно сформулировать правило:

P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1 x^n-1 + … +a₀

Q_n(x) = b_mx^m + b_m-1 x^m-1 + … +b₀

б)

3. Раскрытие неопределенностей вида

4. Раскрытие неопределенностей вида

С помощью преобразований сводим к неопределенности или



Непрерывность функции в точке

Определение: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если выполняются следующие условия:

1. Функция определена в точке х₀, то есть f(x₀)

2. Функция имеет предел при хх₀, то есть

3. Предел функции f при хх₀ совпадает со значением функции в точке х₀, то есть

Пример:

- непр. в люб. т. х є R

Определение

(по Гейне): Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любой последовательности аргумента хх₀, последова-тельность f(x_т) соответствующих значений f(x) имеет один и тот же предел f(x₀)

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некотором интервале (а;в). Возьмем произвольную точку х₀ є (а;в).

Для любого х є (а;в) разность х-х₀ называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается .

Разность соответствующих значений функции f(x) - f(x₀) называется приращением функции f(x) в точке х₀.

 f(x)- f(x₀) или т.к. х=х₀₊х

f(x₀+)- f(x₀)

Очевидно приращения и могут быть, как положительными, так и отрицательными.

Определение: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если

Если

Арифметические теоремы о непрерывных функциях.

Теорема 1. Сумма конечного числа непрерывных в точке х₀ функций является функцией непрерывной в точке х₀

Теорема 2. Произведение конечного числа непрерывных в точке х₀, является функцией, непрерывной в точке х₀

Теорема 3. Пусть f(x) и g(x) непрерывных в точке х₀ и g(x₀) . Тогда непрерывная функция в точке x₀.

Определение: Функция y=f(x) называется непрерывной на некотором множестве х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Арифметические теоремы справедливы и для непрерывных функций на множестве.

Теорема 4. Пусть f(x) непрерывна в области определения , а функция непрерывна в области определения и имеет область значений . Тогда, если , сложная функция непрерывна на множестве .

Теорема 5. Если функция f(x) непрерывна и строго монотонна на промежутке и , то обратная функция существует, строгомонотонная и непрерывная на .

Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Теорема: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

10. Точки разрыва функции и их классификация

Точки в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Определение: Функция y=f(x) называется разрывной в точке x₀, если не выполняется хотя бы одно из условий определения непрерывной функции.

В зависимости от того, какие условия непрерывности выполняются и не выполняются, будем иметь различные типы точек разрыва.

Все точки разрыва функции в точке разделяются на точки разрыва 1-го рода и 2-г рода.

Точки разрыва 1-го рода.

а) устранимый разрыв (точка устранимого разрыва). Разрыв называется устранимым, если 1-ое условие непрерывности не выполняется, а 2-ое выполняется.

То есть в точке х₀ функция не определена, но предел при хх₀ существует.

Пример:

при

1) В точке х=2 функция не определена

2)

х=2 - точка разрыва 1-го рода (устранимый разрыв).

«Прокол» на графике функции можно устранит, доопределив функцию в точке х₀=0, так, чтобы у(2)=4.

б) конечный разрыв (точка конечного разрыва).

Разрыв называется конечным, если первое и второе условие выполняется, а третье нет.

То есть в точке х₀ существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа, но они не равны между собой.

Пример:



Функция элементарная, определена на всей числовой оси.

При переходе через точку х=2, функция меняет свое аналитическое выражение. В точке , то есть в точке функция определена, однако эта функция не имеет предела при .

Относительные пределы существуют, но не равны между собой.

Точка - точка разрыва 1-го рода типа «скачок».

Величину || - называют скачком функции в точке разрыва 1 рода.

Точки разрыва 2-го рода.

Определение: Точка разрыва x₀ называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример:

Функция элементарная, определена и непрерывна на множестве всех действительных числе, за исключением

Так как е существует конечных односторонних пределов, то в точке х=2 функция терпит разрыв 2го рода.

11. Свойства функций непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема 1

(Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Функция изображенная на рисунке принимает свое наибольшее значение М в точке х₁ и наименьшее значение в точке х₂. Имеет место неравенство

Следствие: Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на отрезке.

Теорема 2

(Больцамо-Коши) Если функция y=f(x) непрерывна на и на его концах принимает неравные значения и и , то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между А и В.



Для любого числа С зак. между А и В найдется такая точка С внутри отрезка , такая что f(c)=c. Прямая у=с пересечет график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие: Если функция y=f(x) непрерывна на и на его концах принимает значение разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль f(x) = 0.

Пример: Убедиться, что уравнение x⁶-5x=1 имеет по меньшей мере один корень закл. между 1 и 2.

f(x) = x⁶-5x-1 т.к. f(1) <0 f(2) >53

f(1) = 1-5-1=-5то такая точка с в которой f(с)=<0

f(2) = 64-10-1=53

Размещено на Allbest.ru