Методы решения различных уравнений с параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ

Подготовила

Ученица 9 класса «В»

МОУ СОШ № 40

Климанёва Анна

Учитель:

Салий Валентина Павловна

Введение

Известно, что решение задач с параметрами приводит к систематизации имеющихся знаний, развивает творческое мышление, учит детей к поиску нестандартных ситуаций, тем самым показывает деятельность людей, связанных с математикой.

Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики. При решении задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных методов решений, умение проводить довольно разветвленные логические построения, аккуратность и внимательность для того, чтобы не потерять решений и не приобрести лишних. Это требует от школьника более развитого логического мышления и математической культуры, но, в свою очередь, эти задачи сами способствуют их развитию. Опыт вступительных экзаменов показывает, что учащиеся, владеющие методами их решения, обычно успешно справляются и с другими задачами.

Задачи с модулями и параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные трудности. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Решение задач в математике является эквивалентом эксперимента. Работа строится на решении различных по степени важности и сложности задач.

Задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи. Однако часто оказывается, что выпускник школы либо вообще не имеет представления о решении задач с параметром, либо теряется даже в случае самого простого вида подобных задач, когда единственным усложняющим моментом является ветвление решения и, соответственно, ветвление ответа.

Цель работы

Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математика. Между тем они часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы, причем не только на математические специальности, но и на гуманитарные. Для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.

Цель моей работы изучить методы решения различных уравнений с параметрами и научится применять теоретические знания на практике.

Задачи

В процессе подготовки работы были поставлены задачи:

- изучение теоретического материала

- изучение параметра как математический термин

- применение теоретических знаний на практике

- подготовка к ГИА

Главная задача работы является ознакомление с теоретическими основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и рекомендациями к решению.

Общие определения

Равенство, содержащие переменную, называется уравнением, если необходимо найти значения переменной, при которых оно обращается в верное числовое равенство.

Уравнение с одной переменной в общем виде записывается так:

Значение переменной при котором уравнение является верным, называется корнем уравнения.

Множество значений переменной x, при которых имеют смысл выражения и , называется областью допустимых значений переменной (ОДЗ) или областью определения уравнения.

Параметр - это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение.

Уравнение с параметрами-- математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Пример линейного уравнения с параметром

1. Линейное уравнение

Линейное уравнение-- это уравнение, обе части которого могут быть выражены многочленfми (от неизвестных) первой степени.

Линейное уравнение можно привести к виду: ax + b = 0.

Количество решений зависит от параметров a и b. Если a = b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку ,

Если , то уравнение не имеет решений, поскольку

Если , то уравнение имеет единственное решение

Линейное уравнение не может содержать:

Не содержит степеней и экспонент. Например:

Не содержит деления на переменную и произведения переменных. Например:

Не содержит корня любой степени из переменной. Например:

Два основных правила преобразования уравнений:

· В уравнении можно перенести слагаемые из одной части в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

· Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от 0. уравнение параметр алгоритм

Решить уравнение - это значит найти множество его корней.

Решение линейных уравнений с параметром.

ax - 6 = 2a - 3x

ax + 3x = 6 + 2a

( a + 3 ) x = 2 ( a + 3 )

Рассмотрим все возможные случаи

a = - 3 и a ? 0

если a = - 3 то х R

a ? -3

x = 2

Ответ: если a = - 3, то х R; если a ? -3, то x = 2

№2.

( a - 2 )x = 10 - 5x

a = 2 или a ? 2

если a = 2

0 = 10 - 5x

5x = 10 I :5

x = 2

если a ? 2

ax - 2x = 10 - 5x

ax + 3x = 10

x (a + 3 ) = 10

Ответ: при a = 2, x = 2; при a ? 2, , кроме а ? - 3

№3.

( 5b - 20 )х = 15

b = 4 или b ? 4

0x = 16 - решений нет

b ? 4

Ответ: при b = 4 - решений нет; при b ? 4,

№4.

8x - ( 2x + 4 ) = 2( 3x - a)

8x - 2x - 4 = 6x - 2a

6x - 6x -4 = -2a

2a = 4 I :2

a = 2

Ответ: при любых значениях а в данном уравнение х R.

№5.

( 5a - 1 ) x = 2a + 3

5a - 1 = 0 2a + 3 = 0

5a = 1 I : 5 2a = -3 I : 2

a = 0,2 a = - 1,5

a ? 0,2 и a ? 1,5

( 5a - 1)x = 2a + 3

Ответ: при а = 0,2 и а = - 1,5 данное уравнение не имеет смысла; при a ? 0,2 и a ? 1,5,

( а + 7) х = 3

а = -7 или а ? -7

если а = -7

0х = 3 - корней нет

а ? -7

( а + 7)х = 3

Ответ: при а = -7 данное уравнение корней не имеет; при а ? -7,

.

2а ( а - 2)х = а - 2

а = 0 а = 2 а ? 0 а ? 2

при а = 0, х = - 2 - ложно.

при а = 2, х = - 2 - ложно .

при а ? 0 и а ? 2

Ответ: при а = 0 и а = 2 данное уравнение не имеет решений; при а ? 0 и а ? 2,

.

№8.

( а - 1)( а -2)х = а - 1

а = 1

0х = 0, х R.

а = 2

0ч = -1 - корней нет

а ? 1 и а ? 2

Ответ: при а = 1, х R; при а = 2 - корней нет; при а ? 1 и а ? 2, .

№9.

Ответ: при а = 1, х R; при а = -3, х = 0; при а ? 1 и а ? - 3,

№10.

При каком значении а уравнение а( х - 1) = 2х + 5 не имеет корней.

а( х - 1) = 2х + 5

ах - а - 2х - 5 = 0

( а - 2)х = а + 5

а = -5

-7х = 0

х = 0

а = 2

0х =3 - корней нет.

а ? -7 и а ? 2

Ответ: при а = 2.

2. Квадратное уравнение

Квадратное уравнение-- уравнение вида ax² + bx + c = 0, где .

Уравнение вида ax² + bx + c = 0 равносильно уравнению:

Выделяя полный квадрат, получаем

Далее имеем:



откуда

Окончательно

Выражение ( b-4ac) называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня: которые могут быть вычислены по формулам:

или

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный корень .

Если D < 0, то действительных корней нет.

Квадратное уравнение со старшим коэффициентом равным 1, то естьуравнение вида , называется приведённым.

Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0):

Разложение квадратного уравнения на множители

Выражение ax? + bx + c называется квадратным относительно переменной x. Корни этого квадратного трехчлена являются корнями квадратного уравнения ax? + bx + c = 0.

на основании теоремы Виета

отсюда

Имеем:

ax? + bx + c = ax - a(x+x)x + axx = ax - axx - axx + axx =

ax(x-x) - ax (x-x) = (ax-ax)(x-x) = a(x-x (x-x).

Итак,

ax? + bx + c = a(x-x)(x-x).

Если квадратный трехчлен имеет вид , то получаем

Если D > 0, то

Если D = 0, то

Решение квадратных уравнений с параметром

При решении таких уравнений необходимо использовать следующие сведения.

1. Зависимость количества корней квадратного уравнения от его дискриминанта.

D > 0 (2 корня); D = 0 (1 корень); D < 0 (нет корней).

2. Если D > 0 то аx² + вx + с = а (x - x₁) (x - x₂)

3. Если D > 0, то левую часть можно представить в виде полного квадрата или выражения, ему противоположного

ax² + вx + с = а (x - x₁)²

4. Если уравнение приведенное то x₁ + x₂ = - р, аx₁ * x₂ = q

5. Если а > 0, D > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня

а) в < 0, с > 0 оба корня положительныб) в > 0, с > 0 оба корня отрицательныв) в < 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Положителен тот корень, который имеет больший модуль.г) в > 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Отрицателен тот корень, который имеет больший модуль.

3. Решение квадратных уравнений с параметрами

№1.

Найти значения k при котором данное квадратное уравнение имеет корни.

Ответ:

№2.

b < 0 - решений нет

Ответ: b > 0, x = - 1; b = 0, х R; b<0 - решений нет.

№3.

Найти корни уравнения при D > 0.

x? - ( 2p + 1 )x + ( p? + p - 2 ) = 0

D = ( 2p + 1 )? - 4( p? + p - 2 ) = 4p? + 1 + 4p - 4p? -4p + 8 = 9

vD = 3

Ответ: p-1, p+2.

№4.

При некотором значении параметра р корни квадратного уравнения

2px? + ( p? - 9 )x - 5p + 2 = 0

являются противоположными числами. Найти корни уравнения.

2px? + ( p? - 9 )x - 5p + 2 = 0

№5.

Найти значение р при котором данное квадратное уравнение имеет корни.

3x? + 2px - (p - 6) = 0

D ? 0.

D = 4p? - 12p -72 ? 0

p? + 3p -18 ? 0

p = -6; p = 3

p(-?;-6] v [-3;+?).

Ответ: p(-?;-6] v [-3;+?).

№6

Найти значение k при котором данное уравнение имеет не более одного корня.

2x? - kx + k + 6 = 0

D ? 0

D = k? - 8(k+6) = k? -8k -48

k? - 8k - 48 ? 0

k = 12, k = - 4.

Ответ: k[-4;12].

№7

ах? - 3х + 4 = 0

1) а = 0

-3х + 4 = 0

3х = 4

х =

2) а > 0

ах? - 3х + 4 = 0

D = 9 - 16 = - 7 - решений нет

3) а < 0

- ах? - 3х + 4 = 0

D = 9 + 16 = 25

vD = 5

х = х=

х = 1 х = - 4

Ответ: при а = 0, х = ; при а > 0 - решений нет; при а < 0, х = 1; -4.

№8

При каких значениях параметра p данное уравнение имеет один корень.

x? + 3px + p = 0

D = 0

D = b? - 4ac

D = 9p? - 4p

9p? - 4p = 0

p ( 9p - 4 ) = 0

p = 0 или 9p - 4 = 0

9p = 4¦:9

p =

Ответ: 0; .

№9

Докажите, что не существует такого значения параметра p, при котором данное уравнение имело бы только один корень.

x?- px + p - 2 = 0

D ? 0

D = b? - 4ac

D = p? - 4( -2 + p ) = p? + 8 - 4p

p? + 8 - 4p = 0

D = 16 -32 = -16

D < 0, значит D ? 0 и уравнение имеет 2 корня.

№10.

x? - ( 2p - 2 )x + p? - 2p = 0

D = ( 2p - 2)? - 4( p? - 2p) = 4p?- 8p + 4 - 4p? + 8p = 4

vD = 2

x= x=

x = p x= p - 2

Ответ: p; p - 2

Дробно - рациональные уравнения.

Уравнение вида P(x)/Q(x)=0, где Р(х), Q(x) -многочлены называют дробными рациональными уравнениями.

Решение дробного рационального уравнения можно разбить на два этапа:

1. Решить уравнение Р(х) = 0.

2. Проверить условие: Q (х) ? 0.

То есть решение таких уравнений сводится к решению целых уравнений, при этом исключают из решения те корни, которые обращают в нуль знаменатель уравнения.

Необходимое и достаточно условие равенства дроби нулю: дробь равна нулю тогда и только, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решаем известным способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль.

Для решения дробно - линейного уравнения удобно пользоваться равносильностью:

Алгоритм решения дробно - рационального уравнения с параметром.

1. Привести уравнение к виду .

2. Записать условие равенства дроби нулю:

3. Рассмотреть все случаи, когда хотя бы один из нулей числителя является и нулём знаменателя, и когда ни один из нулей числителя не является нулем знаменателя.

4. Записать ответ, объединив все полученные результаты.

4. Решение дробно - рациональных уравнений параметрами

№1.

2х - 5 - а =0

x +7 ? 0

x = 2,5 + 0,5a

x ? -7

найдём через эти уравнения а:

2,5 + 0,5а = -7

0,5а = -9,5

а = - 19

Если а = -19 то уравнение корней не имеет.

Ответ: если а ? -19, то х = 2,5 + 0,5а; если а = -19 то корней нет.

№2.

х - 3 ? 0

2х - 4 - 2а + ах =0

х ? 3

х = 2

№3.

О.Д.З.

(a + 1)(1 - x) = a + ax x ? -1

a +1 - x - ax = a + ax a ? -1

2ax + x - 1 = 0

x(2a + 1) = 1

при a = -1 и x = -1 данное уравнение не имеет смысла, т.к. эти выражения противоречат О.Д.З.

О.Д.З.

2а ? -1

а ? -0,5

при а = -0,5 выражение не имеет смысла.

Ответ: при a = -1 и x = -1 данное уравнение не имеет смысла. если а ? -1 и а ? -0,5, то .

№4.

x + 5 ? 0

x - 3 - a + 2 = 0

x ? -5

x = 3+a-2

x ? -5

x=1+a

из уравнений найдем значение параметра а.

-5 = 1 + а

а = -1 - 5

а = - 6.

Ответ: при а ? -6, х = 1+а; при а = -6, х = -5 но это противоречит О.Д.З.

№5.

x?a ( a + 1 ) - x( 3a + 2 ) + 2 = 0

D = ( 3a + 2 )? - 4a ( a + 1 ) 2 = 9a? + 12 + 4 - 8a? -8a = a? + 4a + 4 = ( a + 2 )?

vD= (a+2)

Ответ:

№7

О.Д.З.

x ? 0,5

т.к. разность выражений равна нулю, то соответственно оба выражения равны нулю, но это не допустимо, т.к. делитель не может быть равен нулю. соответственно:

x - a = 0

2x - 1 ?0

x = a

x ? 0,5

Ответ: при а = 0,5 - решений нет; при а ? 0,5 х = а

№8.

Если а = 2, то 0*х = 4 - решений нет; если а = -2, то х - любое число, но при этом должно быть ( а + 1) х ? 4, т.е. (-2 + 1 )х ? 4, или х ? -4. При этом а ?2 . Учитывая условие на х, придем к соотношению . Последнее выполнено, если а ? 3.

Ответ: при а ? 2, а ? 3, ; при а = 2 и а = 3 - решений нет; прри а = -2,

№9.

дробь равна нулю, соответственно делитель и делимое неравно нулю, но знаменатель не равен нулю, отсюда:

5. Уравнения с модулем

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х, т.е. |x|, называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное

Геометрически модуль действительного числа есть расстояние от точки, изображающей это число на числовой оси, до начала координат.

Метод интервалов.

Применение метода интервалов основано на следующем утверждении: функция непрерывна на промежутке, может менять знак только при переходе через нуль. Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак (т.е. участки, где функция принимает только положительные или только отрицательные значения).

Решение уравнений с модулем и параметром.

№1.

а < 0 - решений нет, т.к. модуль - неотрицательная величина.

а = 0

х - 3 = 0

х = 3

3) а > 0

х - 3 = а

х = а + 3

Ответ: при а < 0 - решений нет, при а = 0 х = 3, при а > 0 х = а - 3

№2.

(1) или (2)

1) если а < 14, то 1) если а < -2, то

х = 14 - а х = -2 - а

2) если а = 14, то 2) если а = -2, то

х = 0 х = 0

3) если а > 14, то 3) если а > 14, то

решений нет, т.к. решений нет, т.к.

модуль равен модуль равен

отрицательному числу, отрицательному числу,

но такого не может быть. но такого не может быть.

Ответ:

№3.

так как при сложении двух неотрицательных чисел получается 0, то каждое из чисел равно 0.

x + 2 = 0

a ( x - 1 ) = 0

x = -2 или x = -2

a = 0 x = 0

Ответ: при a = 0, x = -2; при а ? 0 - решений нет.

№4.

При каком значении параметра р данное уравнение имеет только одно решение или не имеет вообще.

D = 0 - одно решение, D < 0 - решений нет при p>5

D = 16 - 8( р-3) = -8р +40

-8р + 40 = 0

8р = 40

р = 5

Подставляем это значение в полученные уравнения.

Ответ: [5; -?).

№5.

т.к. модуль всегда неотрицательная величина, то если сумма модулей равна 0 то каждое подмодульное выражение равен 0.

x + 2 = 0

a?x = 0

x = -2 или x = -2

a = 0 x = 0

Ответ: если а = 0, то х = -2, если а ? 0, то решений нет.

№6.

т.к. в полученном уравнении параметр а роли не играет, то у данное уравнение подойдут все значения параметра а.

х = 0 х - 2 = 0

х = 2

Ответ: 0;2.

6. Уравнения с параметрами в ГИА

Одним из самых сложных заданий для девятиклассников в ГИА являются уравнения с параметрами.

ЭТО ПРЕГОДИТСЯ НА ГИА:

Для решения целого уравнения с параметрами нужно следовать алгоритму:

1. Привести уравнение к стандартному виду и проверить, зависит ли коэффициент при старшем члене от параметра. Если зависит, то рассмотреть случай, когда он равен нулю.

2. Решить уравнение при условии, что коэффициент при старшем члене не равен нулю.

3. Объединить все полученные результаты. В ответе для каждого возможного значения параметра должны быть записаны формулы корней уравнения.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

каждое решение первого является решением второго и наоборот.

Если данные уравнения вовсе не имеют решений, то они также считаются равносильными.

Таблица зависимости графика от переменной и параметра.

Задание №1.

Решите уравнение

По теореме Виета корнями первого уравнения будут являются: а и а + 1

соответственно, система приобретает вид:

Рассмотрим три случая:

1. Если а = 1, то система примет вид:



2. Если а + 1 = 1, т.е. а = 0, то система примет вид:

3. Если а ? 1 и а ? 0, то система

имеет два решения х = а, х = а +1

Ответ: если а = 1, то х = 2; если а= 0, то х = 0; если а ? 0 и а ? 1, то х = а или

х = а +1

Задание №2.

Найдите все значения a, при которых равносильны данные уравнения.

x? +2(a-1)x + a? - 7a + 12 = 0 и x? + (a?-5a+6)x = 0

Заметим, что х = 0 является конем второго уравнения, так как уравнения равносильны, то х = 0 должно быть корнем и первого уравнения. Это возможно лишь при условии а? - 7а +12 = 0, т.е при а = 4 или а = 3.

Итак, уравнения могут быть равносильными только при а = 3 и а = 4.

Если а = 3, то первое уравнение имеет вид:

х? +4х = 0 и имеет корни х = 0 и х = - 4;

второе уравнение имеет вид:

х? + 0*х = 0 имеет один корень х = 0.

Уравнение имеют разное множество корней и потому не являются равносильными. Если а = 4, то уравнения имеют вид

1) х? + 6х = 0, х = 0 или х = - 6

2) х? + 2ч = 0, х = 0 или х = - 2

Уравнения вновь оказались неравносильными.

Ответ: ни при каких значениях a уравнения не являются равносильными.

Задача №3.

При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных отрицательных корня?

x? - 2(a -1)x + 2a + 1 = 0.

Заметим, что при всех значениях а графиком

Функции

y = x? - 2(a -1)x + 2a + 1 = 0

является парабола, ветви которой

направлены вверх.

Изобразим схематично график функции,

удовлетворяющий условию задачи.

Для того, чтобы корни были различны и отрицательны,

необходимо и достаточно, чтобы

Решением системы, а следовательно, и самой задачи являются числа а из промежутка ( -0,5; 0).

Ответ: (-0,5; 0).

Заключение

Математика - царица всех наук. И это действительно так. Все науки подчиняются самой главной - математике. Чем больше углубляешься в математику, алгебру, тем более и более тебя поражает масштаб и мощь этих наук. В одной маленькой буковке, на первый взгляд незначительной, кроется множество различных решений. Кто бы мог подумать, что одна буква меняет все уравнение и весь смысл поставленной задачи.

В результате изучения материала для работы я усвоила:

- научилась решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности,

- овладела рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.

- умело обращаться с параметром и решать уравнения, содержащие параметр.

Список используемой литературы

1. «Алгебра. Нестандартные задачи. 9 класс. Подготовка к ГИА.» Г.В. Сычева; Н.Б.Гусева; В.А. Гусев. / Москва/ 2009г. /

2. «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами» Л.Солуковцева /Москва/ 2007г./

3. Математический энциклопедический словарь//Москва, «Советская энциклопедия», 1988

4. Алгебра и элементарные функции Калнин Р.А.. - 2 - е изд. - М.: «Наука» 1966.г.,

5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класс.: - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2000 г.

6. Газета «Математика» Издательский дом «Первое сентября».

7. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре 8 - 9 классов: Учебное пособие для учащихся и классов с углубленным изучением курса математики М.: Просвещение 1992 г.

8. Вавилов В.В. Задачи по математике. Алгебра М.: Наука 1987 г.

9. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. М.: Наука 1989 г.

Размещено на Allbest.ru