Уравнения плоскости и прямой

Размещено на http://www.allbest.ru/

Даны координаты пирамиды: A(4,6,5), B(6,9,4), C(2,10,10), D(7,5,9)

1. Координаты векторов

Координаты векторов находим по формуле:

X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i

здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j;

Например, для вектора AB

X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁

X = 6-4; Y = 9-6; Z = 4-5

AB(2;3;-1)

AC(-2;4;5)

AD(3;-1;4)

BC(-4;1;6)

BD(1;-4;5)

CD(5;-5;-1)

2. Модули векторов

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

3. Угол между ребрами

Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂

Найдем угол между ребрами AB и AC

4. Площадь грани

Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани ABC

Найдем угол между ребрами AB и AC:

Площадь грани ABC

Найдем площадь грани ABD

Найдем угол между ребрами AB и AD:

Площадь грани ABD

Найдем площадь грани ACD

Найдем угол между ребрами AC и AD:

Площадь грани ACD

Найдем площадь грани BCD

Найдем угол между ребрами BC и BD:

Площадь грани BCD

5. Объем пирамиды

Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

Находим определитель матрицы

? = 2 * (4 * 4-(-1) * 5)-(-2) * (3 * 4-(-1) * (-1))+3 * (3 * 5-4 * (-1)) = 121

6. Деление отрезка в данном отношении

Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m₁:m₂, определяется формулой:

Координаты точки А находятся по формулам:

7. Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

Уравнение прямой AC

Уравнение прямой AD

Уравнение прямой BC

Уравнение прямой BD

Уравнение прямой CD

8. Уравнение плоскости

Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC

(x-4)(3 * 5-4 * (-1)) - (y-6)(2 * 5-(-2) * (-1)) + (z-5)(2 * 4-(-2) * 3) = 19x - 8y + 14z + 98 = 0

Уравнение плоскости ABD

(x-4)(3 * 4-(-1) * (-1)) - (y-6)(2 * 4-3 * (-1)) + (z-5)(2 * (-1)-3 * 3) = 11x - 11y - 11z-77 = 0

Уравнение плоскости ACD

(x-4)(4 * 4-(-1) * 5) - (y-6)((-2) * 4-3 * 5) + (z-5)((-2) * (-1)-3 * 4) = 21x + 23y - 10z + 172 = 0

Уравнение плоскости BCD

(x-6)(1 * 5-(-4) * 6) - (y-9)((-4) * 5-1 * 6) + (z-4)((-4) * (-4)-1 * 1) = 29x + 26y + 15z + 468 = 0

9. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:

l(x- x₀) + m(y- y₀) + n(z- z₀) = 0

2(x - 7) + 3(y - 5) + (-1)(z - 9) = 0

2x + 3y -1z -20 = 0

10. Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A

Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

11. Уравнение высоты пирамиды через вершину A

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

12. Угол между прямой AD и плоскостью ABC

Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле

13. Угол между плоскостью ABC и плоскостью ABC

Косинус угла между плоскостью A₁x + B₁y + C₁ + D = 0 и плоскостью A₂x + B₂y + C₂ + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N₁(A₁, B₁, C₁) и N₂(A₂, B₂, C₂):

вектор пирамида уравнение угол

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса Аналитическая геометрия

Размещено на Allbest.ru