Геометрические и физические свойства кратных интегралов

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Курсовая работа по математике

Геометрические и физические свойства кратных интегралов

Определенный интеграл

Введение

Пусть функция y=ѓ(x) определена на отрезке [a;b],a<b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек x₀=a, x₁, x₂, …, x_n=b(x₀<x₁<…<x_n) разобьем отрезок [a,b] на n частичных отрезков [x₀;x₁],[x₁,x₂],…,[x_n-1;x_n]

c₁ c₂ c_i c_n

О a=x₀ x₁ x_i-1 x_i b=x_n

вычисление двойной интеграл

2. В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i], i = 1,2,…,n выберем произвольную точку c_i [x_i-1;x_i] и вычислим значение функции в ней, т.е. величину ѓ(c_i).

3. Умножим найденное значение функции ѓ(c_i) на длину x_i= x_i - x_i-1 соответствующего частичного отрезка: ѓ(c_i)*x_i

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

S_n = ѓ(c₂)*x₁ +ѓ(c₂)*x₂ +…+ѓ(c_n)*x_i = ѓ(c_i)*x_i.

Сумма ѓ(c_i)*x_i называется интегральной суммой функций y = ѓ(x) на отрезке [a;b]. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка: = max x_i (i = 1,2,…,n).

5.Найдем предел интегральной суммы, когда n так, что .

если при этом интегральная сумма S_n имеет придел I, который ни от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции y = ѓ(x) на отрезке [a;b] и обозначается

Таким образом,

= ѓ(c_i)*x_i

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования,

ѓ(x) -- подынтегральной функцией, -- подынтегральным выражением,

x -- переменной интегрирования, отрезок [a,b] -- областью (отрезком) интегрирования. Функция y = ѓ(x), для которой на отрезке существует определенный интеграл

,

называется интегрируемой на этом отрезке.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = ѓ(x) интегрируема на отрезке [a;b] .

Разобьем отрезок [a;b] точками x₀=a, x₁, x₂, …, x_n=b(x₀<x₁<…<x_n) на n частичных отрезков [x₀;x₁],[x₁,x₂],…,[x_n-1;x_n] (см. рис. 1). Рассмотрим тождество

F(b)-F(a) = F(x_n)-F(x₀) = (F(x_n)-F(x_n-1)) + (F(x_n-1)-F(x_n-2)) +. . .+ (F(x₂)-F(x₁)) + (F(x₁)-F(x₀)).

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа

f(b) - f(a) = (c)*(b-a)

Получим

F(b)-F(a)=( с_n)*( x_n - x_n-1 )+ ( с_n-1)*( x_n-1- x_n-2 )+. . . +( с₂)*( x₂- x₁ )+ ( с₁)*( x₁- x₀ )= =(c_i)*x_i=ѓ(c_i)*x_i ,

где c_i есть некоторая точка интервала ( x_i-1 ; x_i ).Так как функция y = ѓ(x) непрерывна на [a ;b], то она интегрируема на [a ;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от ѓ(x) на [a ;b].

Переходя в равенстве к пределу при =max x_i , получаем

F(b)-F(a)= ѓ(c_i)*x_i , т.е. F(b)-F(a)=

Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница. Если ввести обозначение F(b)-F(a)= F(x) то формулу Ньютона-Лейбница можно записать так:

= F(x) .

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции ѓ(x) на отрезке [a ;b],надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b)-F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [a ;b].

Практическая часть.

Вычисление площадей плоских фигур.

Рис. 2

Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями y = ѓ(x), x=a, x=b, y=0 (см. рис 2). Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:

1. Возьмем произвольное x [a;b] b будем считать, что S=S(x).

2. Дадим аргументу x приращение .Функция получит приращение , представляющее собой площадь “элементарной криволинейной трапеций” (на рисунке она выделена).

3. Дифференциал площади dS есть главная часть приращения при , и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой y: .

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от до , получаем

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена “ниже” оси Ox ( f(x)<0),то ее площадь может быть найдена по формуле:

Площадь фигуры ограниченной кривыми y и , прямыми x=a и y=f₂(x) x=b (при условии), можно найти по формуле S

y=f₁(x) O a b x

Если криволинейная трапеция ограничена cпрямыми y=c и y=d, осью Ox и непрерывной кривой , то ее площадь S находится по формуле

d O x

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

прямыми x=a и x=b и осью Ox,то ее площадь находится по формуле

.

Полярные координаты.

Рис. 3

Найдем площадь S криволинейного сектора, т.е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r() и двумя лучами и (), где r и - полярные координаты ( см. рис.3 ). Для решения задачи используем метод дифференциала.

1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла , т.е. S = S(), где (если ,то S() = 0, если, то S() = S ).

2. Если текущий полярный угол получит приращение d, то приращение площади S равно площади «элементарно криволинейного сектора» ОАВ. Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения при d и равен площади кругового сектора ОАС радиуса r с центральным углом d. Поэтому

dS =

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от до , получим искомую площадь

.

Практическая часть.

Вычисление длины дуги кривой.

Прямоугольные координаты.

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой

y = f(x), где а.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.

Покажем, что если функция y = f(x) и ее производная непрерывны на отрезке [a,b], то кривая АВ имеет длину, равную

.

Точками x₀ = a , x₁ , . . ., x_n = b (x₀ < x₁ < ...<x_n) разобьем отрезок [a,b] на n частей (см. рис. 4).

Пусть этим точкам соответствуют точки М₀ = А, М₁,…,М_n = В на кривой АВ. Проведем хорды М₀ М₁ ,М₁ М₂ , … , М_n-1 М_n, длины которых обозначим соответственно через L₁ , L₂ , … ,L_n . Получим ломаную М₀ М₁ М₁ М₂…М_n-1 М_n , длина которой равна

L_n = L₁ +L₂ + …+L_n = L_i .

1. Длину хорды ( или звена ломаной ) L_i можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами x_i иy_i :

L_i = , где x_i = x_i - x_i-1 , y_i = f(x_i) - f(x_i-1).

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции

y_i = ,

где

с_i.

Поэтому

L_i = =

а длина всей ломаной М₀ М₁ М₁ М₂…М_n-1 М_n равна

L_n =

2. Длина l кривой АВ, по определению, равна

l = .

Заметим, что при также и . Функция непрерывна на отрезке [a,b], так как, по условию, непрерывна функция . Следовательно, существует предел интегральной суммы, когда max:

Таким образом,

,

или в сокращенной записи

.

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

,

где x(t) и y(t) -- непрерывные функции с непрерывными производными и , то длина l кривой АВ находится по формуле

Полярные координаты. Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах = (), . Предположим, что () и '() непрерывны на отрезке . Если в равенствах , связывающих полярные и декартовые координаты параметром считать угол , то кривую АВ можно задать параметрически

тогда

Поэтому

Применяя формулу (), получаем

Практическая часть.

Вычисление объема тел вращения. Пусть вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией y = f(x)0? отрезком и прямыми x = a и y = b. Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью перпендикулярной оси Ox, проведенной через произвольную точку х оси Ох (), есть круг радиусом y = f(x). Следовательно, S(x) = y² .Применяя формулу объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = () и прямыми x = 0, y =с, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, по аналогии с предыдущей формулой, равен

Практическая часть.

Вычисление площади поверхности вращения.

Пусть кривая АВ является графиком функции y = f(x) , где x [a;b] , а функция y = f(x) и ее производная непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ox. Применим метод дифференциала.

1. Через произвольную точку x [a;b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ox. плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом y = f(x) (см. рис 5).

Величина S поверхности части фигуры вращения лежащей левее плоскости, является функцией от x, т.е. s = s(x) (s(a) = 0 и s(b) = S ).

2. Дадим аргументу x приращение . Через точку x = dx [a;b] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ox. Функция s = s(x) получит приращение .

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы основания равны y и y+dy. Площадь его боковой поверхности равна

Отбрасывая произведение как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds =, или, так как

dl=, то

ds =2ydx.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от x=a до x=b, получаем

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями

,

то формула для площади поверхности вращения принимает вид

Практическая часть.

Приближенное вычисление определенного интеграла. Несобственные интегралы. Определенный интеграл , где промежуток интегрирования [a;b] конечен, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], называют еще собственным интегралом.

Рассмотрим теперь так называемые несобственные интегралы, т.е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода).

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;+], Если существует конечный придел

,

то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают , таким образом, по определению

В этом случае говорят, что несобственный интеграл

сходится.

Если же указанный придел не существует или он не бесконечен, то говорят, что интеграл

расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке [a;b]:

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

где с - произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода).

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;b) и имеет бесконечный разрыв при x = b. Если существует конечный придел

,

то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают , таким образом, по определению

Практическая часть

Двойной интеграл

Введение

Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в области D плоскости Oxy задана непрерывная функция z=f(x;y). Разобьем область D на n «элементарных областей» D_i (i=1..n), площади которых обозначим через S_i , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) - через d_i.

В каждой области D_i выберем произвольную точку М_i(x_i;y_i) умножим значение f(x_i;y_i) функции в этой точке на S_i и составим сумму всех таких произведений:

f(x₁;y₁) S₁₊ f(x₂;y₂)S_2-----+...+ f(x_n;y_n)S_n=. (*)

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x;y) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (*) функции, когда n таким образом , что

max d_i 0. если такой придел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от фекции f(x;y) по области D и обозначается

(или ).

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; D -область интегрирования; x и y - переменные интегрирования; dxdy (или dS) - элемент площади.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области D. Тогда двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее было показано, что

где S(x) - площадь сечения плоскостью, перпендикулярно оси Ox, а x=a, x=b - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x=a и x=b и кривыми и , причем функции и непрерывны и таковы ,что для всех

Такая область называется правильной в направлении оси Oy : любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярно оси

Ox: x= const, где .

В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями

, где x= const, z = 0, и (см. рис. 7).

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

.

Теперь согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

.

С другой стороны: объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области D. Следовательно,

.

Это равенство обычно записывают в виде

где

двукратный (или повторный) интеграл от функциипо области D,

- внутренний интеграл.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая x постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по x в пределах от a до b.

Если же область D ограничена прямыми y=c и y=d (c<d), кривыми и , причем для всех т.е. область D - правильная в направлении оси Ox , то, рассекая тело плоскостью y=const, аналогично получим:

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем y постоянным.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто используют метод подстановки т.е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла. Определим преобразование независимых переменных x и y как и . Если эти функции имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

,определитель Якоби (якобиан)

а функция f(x;y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

Теперь рассмотрим в качестве u и v полярные координаты и ,

таким образом, определитель Якоби будет выглядеть так

=,

а формула замены переменных в двойном интеграле примет вид

где - область в полярной системе координат, соответствующая области в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу, внутренний интеграл берется при постоянном .

Практическая часть.

Приложения двойного интеграла.

Объем тела.

Объем цилиндрического тела находится по формуле:

где z = f(x;y) - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (*) f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой h = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S области D:

или в полярных координатах,

Масса плоской фигуры.

Масса плоской пластинки D с переменной плотностью находится по формуле:

Размещено на Allbest.ru