Поверхности второго порядка
Основная теорема о поверхностях второго порядка. Типы поверхностей второго порядка. Цилиндрические поверхности и их общее уравнение. Уравнение конической поверхности. Поверхности вращения. Уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 13.11.2011 |
Размер файла | 487,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Поверхности второго порядка
1. Основная теорема о поверхностях второго порядка
Определение. Поверхностью второго порядка (ПВП) называется множество всех точек пространства, которые в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению:
(1)
Теорема. Для любой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат OXYZ, в которой уравнение(1) имеет один из следующих 17 видов:
1) эллипсоид:
2) мнимый эллипсоид:
+
3) однополостный гиперболоид:
4) двуполостный гиперболоид:
5) конус:
6) мнимый конус:
7) эллиптический параболоид: z=ах2+by2 (а, b >О);
8) гиперболический параболоид: z= - ax2+by2 (а, b>0);
9) эллиптический цилиндр:
10) мнимый эллиптический цилиндр:
11) гиперболический цилиндр:
12) параболический цилиндр: у2=2 рх;
13) пара пересекающихся плоскостей:
14) пара мнимых пересекающихся плоскостей:
15) пара параллельных плоскостей: у2=а2(а0)
16) пара мнимых параллельных плоскостей: у2+а2=0 (а0);
17) пара совпадающих плоскостей: у2=0.
Уравнения 1-17 называются каноническими уравнениями поверхностей второго порядка.
Выделим некоторые общие типы поверхностей второго порядка.
2. Цилиндрические поверхности
Определение. Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой линии, называемой направляющей.
Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в прямоугольной системе координат OXYZ, что образующие этой поверхности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением:
F (x, у) =0
Если взять произвольную точку M (z, y, z) на цилиндрической поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M1(х1, у1,0). Так как точки M и М1 лежат на образующей, то х1=х, у1=у. А так как точка М1 лежит на направляющей, то координаты точки М1, а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F (x, у)=0.
Итак, уравнению удовлетворяют координаты любой точки цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение
F (x, у)=0
- искомое уравнение цилиндрической поверхности.
Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F (x, у)=0, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:
х2+y2=z2 - прямой круговой цилиндр;
2) - эллиптический цилиндр;
3) - гиперболический цилиндр;
4) у2=2 рх - параболический цилиндр.
Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.
3. Конические поверхности
Определение. Конической поверхностью называется множество прямых (образующих), проходящих через некоторую точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую).
Коническая ПВП - коническая поверхность с направляющей, являющейся КВП.
Если вершина совпадает с началом прямоугольной системы координат OXY, а направляющей служит эллипс:
То уравнение конической поверхности имеет вид:
- уравнение конической поверхности
4. Поверхности вращения
Определение. Поверхность называется поверхностью вращения, если она вместе с каждой своей точкой содержит и всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой, называемой осью вращении.
Пусть на плоскости YOZ задана кривая линия l уравнением вида
F (y, z)=0
Тогда уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой l вокруг оси OZ имеет вид:
теорема поверхность второй порядок
Эллипсоид
Однополостный гиперболоид:
Каноническое уравнение двухполоcного гиперболоида имеет вид:
Параболоид
Эллиптический параболоид.
z=ах2+by2 (а, b>0).
Гиперболический параболоид.
z=-ax2+by2 (a, b>0)
Литература
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М: Наука, 1979.
2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. - М.: Мир, 1976.
3. Бузланов А.В., Монахов В.С. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел». - Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1991.
4. Бузланов А.В., Каморников С.Ф., Кармазин А.П. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел» (раздел «Линейная алгебра») для студентов математического факультета. Часть I, II, III. - Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1990, 1991.
5. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачёв М.М., Феденко А.О. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. - Мн.: Университетское, 1989.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1982.
7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974.
8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1968.
9. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть I, II. - Мн.: Вышэйшая школа, 1984, 1987.
10. Рублёв А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Вышэйшая школа, 1972.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.
контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.
курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009Арифметическая теория квадратичных форм, их практическое применение в приведении уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду. Самосопряженный оператор, его характеристика, использование и функции. Собственные числа и вектора.
курсовая работа [277,9 K], добавлен 28.11.2012Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Уравнение для описания поверхности второго порядка в аффинной системе координат. Виды квадрики в прямоугольной системе координат: мнимый эллипсоид, гиперболоид, конус, параболоид, цилиндр, плоскости. Способы приведения квадрики к каноническому виду.
курсовая работа [4,5 M], добавлен 19.09.2012Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.
учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011Классификация различных точек поверхности. Омбилические точки поверхности. Строение поверхности вблизи эллиптической, параболической и гиперболической точек. Линии кривизны поверхности и омбилические точки. Поверхность, состоящая из омбилических точек.
дипломная работа [956,7 K], добавлен 24.06.2015Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011