Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• 1. Функции с ограниченным (конечным) изменением
• 2. Интеграла Стилтьеса
• 2.1 Определение интеграла Стилтьеса
• 2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
• 2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
• 2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
• 2.5 Интегрирование по частям
• 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
• 2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса
• 2.8 Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса
• 2.9 Теорема о среднем
• 2.10 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
• 2.11 Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса
• Заключение
• Литература
• Приложение

Введение

Математические методы исследования всегда играли и играют огромную роль в естествознании. Математика неустанно продолжает развиваться и находит все новые и новые области своего применения. Задачи практики в свою очередь приводят к созданию новых направлений математики и ее приложений. Развитие математики в целом определяет уровень ее приложений и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники.

Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы реального мира. Точность математики означает, что методом исследования в математике являются строгие логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются логические модели, построенные для описания и исследования того или иного явления. В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать свойства очень далеких друг от друга по своему физическому содержанию реальных процессов. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения. С абстрактностью математики связана, с одной стороны, определенная трудность ее усвоения, а с другой--ее сила, универсализм и общность.

В последнее время, благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин, произошел большой качественный скачок в использовании математических методов, которые стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.). Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Вместе с тем, указанными обстоятельствами не исчерпываются характерные особенности решения задач математическими методами, да и вообще математического творчества, т. е. познания объективно существующих математических истин. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований -- это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью: интуитивные соображения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения. При этом в математике справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов в узком смысле этого слова, а чисто логическим путем, по законам формальной логики. Эксперимент или пример могут дать лишь иллюстрацию утверждения или его опровержение или натолкнуть на какую-либо идею. При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода--залог успеха и, более того, часто залог того, что в результате будет получено больше полезной информации об изучаемом предмете, чем можно было заранее предвидеть. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков. Формулы могут оказаться «умнее» применяющего их и дать больше, чем от них ожидалось. Результат математического исследования часто записывается с помощью длинных, и однообразных формул, подобно тому как прекрасная симфония может быть записана с помощью многочисленных рядов однообразных нотных знаков.

Конечно, эта схема весьма идеализирована. Было бы большим заблуждением думать, что для математики имеют значение только доказанные утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле до логического завершения. Можно привести много примеров математических теории и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие математики.

Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе систематических занятий, в результате длительной и настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математическим аппаратом, кто последовательно приобретает твердое и точное знание математических фактов легко и просто двигается дальше; усвоив одно, усваивает и последующее. Для него деревья не загораживают леса, он легко оценивает силу и красоту математических методов, приобретает уверенность в способности и умении справиться с встречающейся ему задачей, и математика делается послушным инструментом в его руках.

При изучении математики весьма важно, чтобы учащийся понял и хорошо усвоил основные математические понятия, а не составил о них приближенное расплывчатое представление. То что понято и освоено, входит в плоть и кровь, делается естественным и очевидным, а следовательно, и простым в обращении. При изучении математики важно также, чтобы учащийся стремился овладеть процессом творческого мышления, чтобы он освоил сущность идей и понятий, понял их взаимосвязь, а не усвоил лишь их внешнюю окончательную форму, записанную с помощью символов. Часто мнение о трудности изучения математики связано с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Кажущаяся трудность тех или иных математических методов нередко связана с тем, что эти методы не были своевременно, достаточно хорошо разъяснены учащемуся и потому остались им не понятыми. Полное освещение понятия, как правили, не требует больше времени, чем создание о нем интуитивного описательного представления, нуждающегося в дополнительных пояснениях, и оправдывает себя при применении этого понятия, позволяя его правильно использовать.

Лучший и кратчайший способ разъяснить какое-либо математическое понятие--это дать его точную формулировку. Лучший способ на первом этапе обучения объяснить теорему, выявить ее смысл, установить ее связь с ранее изученными фактами - это доказать теорему. Безусловно, при приобретении достаточно хорошей математической культуры вполне допустимо знакомство с рядом утверждений, ограничиваясь лишь их формулировкой без проведения доказательства. Однако на первом этапе обучения это явно нецелесообразно.

Косвенная польза от изучения математики состоит в том, что оно (изучение) совершенствует общую культуру мышления, дисциплинирует ее, приучает человека логически рассуждать, воспитывает точность и обстоятельность аргументации. Математика учит не загромождать исследование ненужными подробностями, не влияющими на сущность дела, и, наоборот, не пренебрегать тем, что имеет принципиальное значение для существа изучаемого вопроса. Все это дает возможность эффективно исследовать и осмысливать новые задачи, возникающие в различных областях человеческой деятельности.

Умение логически мыслить, владение математическим аппаратом, правильное использование математических методов дают большую экономию мышления, дают в руки человека мощный метод исследования.

Овладеть в достаточной мере математическим методом, математической культурой мышления - далеко не простая задача. Но для того, кто сумеет этого достичь, труд не пропадет зря. Для него откроются новые перспективы человеческой деятельности, заманчивые дороги в неизвестное, откроются качественно новые возможности творчества, качественно новые возможности познания мира. Причем важно отметить, что все это доступно для каждого, кто хочет овладеть математикой, кто серьезно и последовательно займется ее изучением.

Выбор темы обусловлен тем, что изучению функций с ограниченным (конечным) изменением, в частности интегралу Стилтьеса, уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея интегрирования методом Стилтьеса богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его. Поэтому данная тема актуальна.

Возникает проблема исследования: каковы возможности интегрирования методом Стилтьеса для функции с ограниченным (конечным) изменением.

Определим цели исследования:

· определить необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса;

· дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.

Объект исследования: функции с ограниченным (конечным) изменением.

Предмет исследования: интегрирование методом Стилтьеса.

Выдвинем гипотезу: Использование интеграла Стилтьеса для функций с ограниченным (конечным) изменением, более удобно по сравнению с другими и облегчает их решение.

Определим задачи исследования:

· изучить множество литературы по этой теме;

· отобрать из изученного материла необходимый;

· рассмотреть интегрирование методом Стилтьеса.

Из вышесказанного очевидна значимость исследования т.к. функции с ограниченным (конечным) изменением, в частности интеграл Стилтьеса, использовались и продолжают использоваться при изучении различных вопросов математики, физики.



1. Функции с ограниченным (конечным) изменением

Вопрос о дифференцируемости интеграла Лебега по верхнему пределу привел нас к рассмотрению класса функций, представимых в виде разностей монотонных функций. В этом параграфе мы дадим для этих функций другое описание, не опирающееся на понятие монотонности, и рассмотрим основные их свойства. Начнем с необходимых определений.

Определение 1. Функция f, заданная на отрезке [a, b], называется функцией с ограниченным изменением, если существует такая постоянная С, что, каково бы ни было разбиение отрезка [a, b] точками

выполнено неравенство

(1)

Всякая монотонная функция имеет ограниченное изменение, так как для нее сумма, стоящая в (1) слева, не зависит от выбора разбиения и всегда равна |f(b) -- f(а)|. Определение 2. Пусть f -- функция с ограниченным изменением. Точная верхняя грань сумм (1) по всевозможным конечным разбиениям отрезка [а, b] называется полным изменением (или полной вариацией) функции f на отрезке [а, b] и обозначается



Таким образом,

Замечание. Функция f, заданная на всей прямой, называется функцией с ограниченным изменением, если величины ограничены в совокупности. При этом

называется полным изменением функции f на прямой - ? < х < ? и обозначается

Установим основные свойства полного изменения функции.

1. Если -- постоянное число, то

Это сразу следует из определения



2. Если fug -- функции с ограниченным изменением, то f + g тоже имеет ограниченное изменение и

(2)

Действительно, для каждого разбиения отрезка [а, b] имеем

откуда, поскольку всегда

получаем требуемое неравенство.

Свойства 1 и 2 означают, что линейная комбинация функций с ограниченным изменением (определенных на данном отрезке [а, b]) есть снова функция с ограниченным изменением. Иными словами, функции с ограниченным изменением образуют линейное пространство (в отличие от множества монотонных функций, которые линейного пространства не образуют).

3. Если a < b < c, то

(3)



Действительно, рассмотрим сначала такое разбиение отрезка [а, с], в котором b служит одной из точек деления, скажем, х_r = b. Тогда

(4)

Возьмем теперь произвольное разбиение отрезка [а, с]. Ясно, что если к его точкам деления добавить еще одну, именно точку b, то сумма

от такого добавления не уменьшится. Следовательно, неравенство (4) выполнено для любого разбиения отрезка [а, с], поэтому

(4ґ)

С другой стороны, для всякого е > 0 найдутся такие разбиения отрезков [а, b] и [b, с], что

Соединив эти два разбиения, мы получим разбиение отрезка [а, с], для которого



В силу произвольности е > 0 отсюда следует, что

(5)

Из (4') и (5) следует (3).

Так как полное изменение любой функции на любом отрезке неотрицательно, то из свойства 3 сразу следует свойство 4.

4. Функция

монотонно неубывающая.

5. Если f непрерывна в точке х* слева, то и непрерывна в этой точке слева. Действительно, пусть е > 0 задано. Выберем > 0 так, что

|f(x*) -- f(x)| < е /2, как только х*- < х ?х*. Далее, выберем разбиение

так, что

(6)



При этом мы можем считать, что

(иначе мы добавили бы еще одну точку разбиения, отчего разность, стоящая в (6) слева, могла бы только уменьшиться), поэтому

и, следовательно,

Но тогда, тем более,

т.е.

Так как -- монотонно неубывающая функция, то отсюда следует, что (x*) -- (x) < для всех х таких, что

А это и означает непрерывность функции в точке х* слева.

Если f непрерывна в точке х* справа, то, как показывают аналогичные рассуждения, и v непрерывна в этой точке справа. Следовательно, если f непрерывна в некоторой точке (или на всем отрезке [а,b]), то непрерывна и .

Пусть f -- произвольная функция на [а, b] с ограниченным изменением и -- ее полное изменение на [а, х]. Рассмотрим разность

Эта разность представляет собой монотонно неубывающую функцию. Действительно, пусть х' ? х". Тогда

(7)

Но всегда поэтому правая, а значит, и левая части равенства (7) неотрицательны[7, 150].

Итак, поскольку

мы получили следующий результат:

Теорема 1. Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена как разность двух монотонно неубывающих функций.

Обратное утверждение очевидно: всякая функция, представимая в виде разности двух монотонных, имеет ограниченное изменение.

Поэтому совокупность функций, представимых в виде разности монотонных функций, рассмотренная нами еще в предыдущем параграфе, это и есть совокупность функций с ограниченным изменением.

Из теоремы 1 и установленной в предыдущем параграфе теоремы Лебега о существовании производной у монотонной функции сразу следует, что всякая функция с ограниченным изменением имеет почти всюду конечную производную. Перейдя от монотонных функций к функциям с ограниченным изменением, полезно следующим образом обобщить введенное выше понятие функции скачков. Пусть х₁,..., х_п,... -- конечное или счетное множество точек на [а, b]. Поставим в соответствие каждой из этих точек х_п два числа g_п и h„ так, что

Предположим, кроме того, что если х_п = а, то g_п = 0, а если х_п =b, то h_n = 0. Положим

(8)

Мы будем называть теперь функциями скачков любые функции вида (8). Полное изменение функции (х) равно, очевидно

Точками разрыва функции (8) служат те х_п, для которых хотя бы одно из чисел g_п, h_n отлично от нуля; при этом



Всякая функция f с ограниченным изменением, определенная на [а,b], может быть представлена, и притом единственным образом, в вид

где непрерывна, а -- функция скачков[15, 85].



2. Интеграла Стилтьеса

2.1 Определение интеграла Стилтьеса

интеграл стилтьес криволинейный

Стилтьес Томас Иоаннес (29.21.1856, Эволле-31.12.1894, Тулуза) нидерландский ученый математик и астроном, член Нидерландской академии наук, иностранный член-корреспондент Санкт-Петербургской академии наук по Физико-математическому отделению. Окончил Политехническую школу в Делфте. Работал на Лейденской обсерватории, с 1886 года преподаватель, затем профессор Университета в Тулузе. Научные исследования Стилтьеса в основном касаются теории функциональных непрерывных дробей, проблемы моментов, теории ортогональных многочленов, интегрального преобразования, приближенного интегрирования и других вопросов классического анализа. Обобщенное Стилтьесам понятие интеграла Г.Римана, предложенное в 1894 году, играет важную роль в современной математике.

Определяется интеграл Стилтьеса следующим образом.

Пусть в промежутке [a,b] заданы две ограниченные функции f(x) и g(x). Разложим точками

промежуток [a,b] на части и положим Выбрав в каждой из частей (i=0, 1,…,n-1) по каждой точке , вычислим значение f() функции f(x) и умножим его на соответствующее промежутку приращение функции g(x)



Наконец, составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.

Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции f(x) по функции g(x) и обозначается символом

Чтобы особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение

Предел здесь понимается в том смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла.

Точнее говоря, число I называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число , что лишь только промежуток [a,b] раздроблен на части так, что , тотчас же выполняется неравенство

Как бы ни выбирать точки в соответствующих промежутках[2, 91].

При существовании интеграла (3) говорят также, что функция f(x) в промежутке [a,b] интегрируема по функции .

Единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве функции взята сама независимая переменная x:

2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса

Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограниченность, впрочем, предположением, что функция монотонно возрастает.

Отсюда следует, что при a<b теперь все , наподобие того, как раньше было . Аналогично сумма Дарбу, здесь целесообразно ввести сумм

где означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции f(x) в i-ом промежутке . эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу - Стилтьеса.

При одном и том же разбиении , причем s и S служат точными границами для стилтьесовых сумм . Сами суммы Дарбу - Стилтьеса обладают следующими свойствами:

1-е свойство: Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу - Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма - разве лишь уменьшится.

2-е свойство: Каждая нижняя сумма Дарбу - Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.

Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу - Стилтьеса:

то оказывается, что

Наконец, с помощью сумм Дарбу - Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:

Теорема. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтоб было

если под понимать колебание функции f(x) в i-ом промежутке [20, 205].



2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса

Определение функции с ограниченным изменением:

Пусть функция f(x) определена в некотором конечном промежутке [a,b]. Разложим этот промежуток произвольным образом на части с помощью точек деления:

Из абсолютных величин приращений функции, отвечающих отдельным частичным промежуткам, образуем сумму

Если такие суммы в их совокупности ограничены сверху, то говорят, что функция f(x) в промежутке [a,b] имеет ограниченное изменение (или ограниченную вариацию). При этом точную верхнюю границу этих сумм называют полным изменением функции в указанном промежутке и обозначают символом

I. Если функция f(x) непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса существует.



Сначала предположим, что монотонно возрастает: тогда применим критерий предыдущего пункта. По произвольному заданию ввиду равномерной непрерывности функции f(x) найдется такое , что в любом промежутке с длиной, меньшей , колебание f(x) будет меньше . Пусть теперь промежуток [a,b] произвольно разбит на части так, что . Тогда все

и

откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла.

В общем случаи, если функция имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: . В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции :

Так как каждая из сумм и при стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы , что и требовалось доказать[6, 65]. Можно ослабить условия, налагаемые на функцию f(x), если одновременно усилить требования к функции

II. Если функция f(x) интегрируема в [a, b] в смысле Римана, а удовлетворяет условию Липшица:



(L=const., ), то интеграл существует.

Предположим, что функция не только удовлетворяет условию (6), но и является монотонно возрастающей.

Ввиду (6), очевидно, , так что

Но последняя сумма при и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции f(x), а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).

В общем случаи функции удовлетворяющей условию Липшица (6), представим ее в виде разности

Функция , очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции , так как, в силу (6) , при

III. Если функция f(x) интегрируема в смысле Римана, а функция представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:



где абсолютно интегрируема в промежутке [a,b], то интеграл (5) существует.

Пусть , так что монотонно возрастает. Если интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена:

, то для имеем

Таким образом, в этом случаи удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу II.

Предположим теперь, что интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, например, b. Прежде всего, т.к. выберем так, чтобы было

где - общее колебание функции в рассматриваемом промежутке.

Разобьем промежуток [a, b] произвольным образом на части и составим сумму



Она распадается на две суммы из которых первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке а вторая - остальным промежуткам. Последнее содержатся в промежутке [b-,b], если только тогда, в силу (8),

С другой стороны, так как в промежутке функция интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом и сумма станет меньше . Отсюда следует (4), что и требовалось доказать[17, 301]. В общем случаи, когда функция абсолютно интегрируема в промежутке [a, b]:

неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как

то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.

Замечание. Пусть функция непрерывна в промежутке [a, b] и имеет, исключая лишь конечное число точек, производную , причем эта производная (если ее значения в точках, где она не существует, выбрать произвольным образом) интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от a до b; тогда имеет место формула типа (7):



Если абсолютно интегрируема, то к функции полностью приложимо изложенное в III[1, 157].

2.4 Свойства интеграла Стилтьеса

Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие свойства:

=



Что и требовалось доказать.

При этом в случаях из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.

Затем имеем

в предложении, что a<c<b и существуют все три интеграла.

Для доказательства этой формулы достаточно включить точку с в число точек деления промежутка [a, b] при составлении суммы Стилтьеса для интеграла [8, 251].

Из существования интеграла следует существование обоих интегралов

.

Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого из стилтьесовой суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано-Коши. Таким образом, по заданному ввиду существования интеграла найдется такое, что любые две суммы и Стилтьеса, которым отвечают разнятся меньше чем на . Если при этом в состав точек деления включить точку с, а точки деления, приходящиеся на промежуток [с, b], брать в обоих случаях одними и теми же, то разность( ) сведется к разности() двух сумм Стилтьеса , относящихся уже к промежутку [а, с], ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку [a, с] и вычисленным для него стилтьесовым суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла. Аналогично устанавливается и существование интеграла

Надо отметить что из существования обоих интегралов , вообще говоря, не вытекает существование интеграла [19, 320].

2.5 Интегрирование по частям

Для интегралов Стилтьеса имеет место формула

в предположении, что существует один из этих интегралов. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям.

Доказательство:

Пусть существует интеграл . Разложим промежуток [a,b] на части (i=0, 1, …, n-1), выберем в этих частях произвольно , так что

Сумму Стилтьеса для интеграла



можно представить в виде

Если прибавить и отнять справа выражение

то перепишется так:

Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла (существование которого предположено!). Она отвечает разбиению промежутка [a,b] точками деления

если в качестве выбранных из промежутков (i= 1, …, n-1) точек взять , а для промежутков [a, ] и [, b], соответственно, a и b. Если положить , то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут 2. При сумма в квадратных скобках стремится к следовательно, существует предел , т.е. интеграл и этот интеграл определяется формулой (9).

Если функция g(x) в промежутке [a,b] интегрируема по функции f(x), то и функция f(x) интегрируема по функции g(x) [5, 211].

2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана

Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [a,b], а g(x) монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле (для упрощения). Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса с помощью подстановки =g(x) непосредственно приводится к интегралу Римана.

На рисунке изображен график функции =g(x). Для тех значений x=x', при которых функция g(x) испытывает скачок, дополним график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки (x',g(x'-0) ) и (x',g(x'+0)). Так создается непрерывная линия, которая каждому значению v между и V=g(b) относит одно определенное значение x между a и b. Эта функция будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; ее можно рассматривать как своего рода обратную для функции .

Именно, если ограничиться лишь теми значениями , которые функция действительно принимает при изменении от a до b, то является обратной для нее в обычном смысле, т.е. относит именно те значения , при которых . Но из промежутка значений [g(x'-0), g(x'+0)], связанного со скачком функции , лишь одно значение имеет себе соответствующим значение ; другим значениям в упомянутом промежутке никакие значения не отвечают. Условно относим и им то же значение ; геометрически это и выразилось в дополнении графика функции рядом вертикальных отрезков.

Теперь докажем:

где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция , а с нею и сложная функция , непрерывна.

С этой целью разложим промежуток [a,b] на части с помощью точек деления

и составим стилтьесову сумму



Если предположить (i=0, 1, …, n), то будем иметь

Так как , то

Это выражение имеет вид римановой суммы для интеграла

Отсюда, однако, нельзя еще непосредственно заключить, переходя к пределу, о равенстве (10), ибо даже при может оказаться, что к нулю не стремится. Тогда имеем

так что

Предположим теперь настолько малым, чтобы колебания функции во всех промежутках были меньше произвольного наперед заданного числа . Так как при очевидно,

То одновременно и В таком случаи

Этим доказано, что

откуда и следует (10) [4, 335].

2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса

1. Если функция интегрируема в смысле Римана в промежутке , а представлена интегралом

где функция абсолютн интегрируема в , то



Интеграл справа существует. Существование Стилтьеса было уже доказано в п.3 (III). Остается лишь установить равенство (11).

Предположим, что - положительная функция (для упрощения).

Составим сумму Стилтьеса

Так как, с другой стороны, можно написать

то будем иметь

Очевидно, для будет где - это колебание функции в промежутке . Отсюда выкает оценка написанной выше разности:

Т.к. в п.3 (III) мы доказали, что при стремится к 0, следовательно



что и доказывает формулу (11).

2. При прежних предложениях относительно функции допустим, что функция непрерывна во всем промежутке и имеем, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая в абсолютно интегрируема. Тогда

Интеграл справа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимая символ буквально как дифференциал, заменить его выражением .

Если функция оказывается разрывной, то начнем с рассмотрения «стандартной» разрывной функции , определяемой равенствами

Она имеет разрыв первого рода - скачок - в точке x=0 справа, причем величина скачка равна 1; в точке x=0 слева и в остальных точках функции непрерывна. Функция будет иметь такой же разрыв в точке x=c справа; наоборот, будет иметь подобный разрыв в точке x=c слева, причем величина скачка будет равна -1.

Предположим, что функция непрерывна в точке x=c, и вычислим интеграл



где при (c=b этот интеграл равен нулю).

Составим сумму Стилтьеса:

Пусть точка c попадет в k-й промежуток, так что Тогда , а при . Таким образом, вся сумма сводится к одному слагаемому: . Пусть теперь . По непрерывности . Следовательно, существует (при )

Аналогично можно убедиться в том, что (при )

(при c=a этот интеграл обращается в нуль)[9, 86].

3. Пусть функция в промежутке непрерывна, а имеет в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая абсолютно интегрируема в . При этом пусть функция в конечном числе точек



Терпит разрыв первого рода. Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается формулой

Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции в точках a или b - односторонние (если на деле какой-либо из этих точек скачка нет, то соответствующее слагаемое суммы обращается в нуль).

Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции справа и слева:

очевидно, для

Составим вспомогательную функцию:

которая как бы вбирает в себя все разрывы функции , так что разность оказывается непрерывной (по доказанному ранее).

Для значений , отличных от всех , непрерывность функции не вызывает сомнений, т.к. для этих значений непрерывны обе функции и . Докажем непрерывность в точке справа. Все слагаемые суммы , кроме члена , непрерывны при справа; поэтому достаточно изучить поведение выражения При оно имеет значение ; но таков, же и предел при

Аналогично проверяется и непрерывность функции в точке слева.

Далее, если взять точку (отличную от всех ), в которой функция имеет производную, то вблизи этой точки сохраняет постоянное значение, следовательно, в ней и функция имеет производную, причем

Для непрерывности функции по предыдущей теореме, существует интеграл Стилтьеса

Точно так же легко вычислить и интеграл (с учетом (13), (14))

Складывая почленно эти два равенства, придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от по функции

устанавливается свойство в п.4 [11, 70].

2.8 Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса

Рассмотрим интеграл

предполагая функцию непрерывной и положительной а -монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки).

Система параметрических уравнений



выражает некоторую кривую (K) , разрывную, как на рисунке.

Если при некотором функция испытывает скачок, так что , то этим предельным значениям отвечает одно и то же предельное значение , равное ). Дополним кривую (K) всем горизонтальным отрезками, соединяющими пары точек

отвечающие всем скачкам функции (по рисунку). Таким образом, составится уже непрерывная кривая (L). Покажем, что интеграл (16) представляет площадь фигуры под этой кривой, т.е. площадь фигуры, ограниченной кривой (L), осью x и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам и .

С этой целью разложим промежуток на части точками

и в соответствии с этим промежуток на оси - на части точками

Введя наименьшее и наибольшее значения функции в i-ом промежутке , составим нижнюю и верхнюю суммы Стилтьеса - Дарбу



Они представляют площади фигур, составленных из входящих и из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.

Так как при стремлении в 0 всех обе суммы стремятся к общему пределу (16), то отсюда следует, что фигура, изображенная на рисунке квадрируема и площадью ее служит действительно интеграл (16) [18, 193].

2.9 Теорема о среднем

1. Пусть в промежутке функция ограничена: , а монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от и , то имеет место формула

То есть это теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.

Доказательство:

Переходя к пределу, получим

Возьмем , т.к. случай (т.е. ) не представляет интереса: обе части формулы (18) - нули.

Тогда



Обозначая написанное отношение через и придем к (18).

Если в промежутке непрерывна, тогда и есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, и формула (18) имеет вид

2. Пусть непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива оценка интеграла Стилтьеса:

где

Доказательство:

так что остается перейти к пределу, чтобы получить (21) [3, 255].

3. Пусть в промежутке функция ограничена, монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от и , то имеет место формула



и почленно вычитая эти равенства, получим

Обозначим через колебание функции в промежутке , тогда для , то, применяя оценку (21) к каждому интегралу с границами в отдельности, получаем:

Если промежуток раздроблен на столь мелкие части, что все - произвольное наперед заданное взятое число, тогда

2.10 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса

Пусть функции непрерывны в промежутке и при равномерно стремятся к предельной функции



также непрерывной, а - функция с ограниченным изменением. Тогда

Доказательство:

По заданному найдется такое N, что при n>N будет для всех x

Тогда в силу (21), для n>N

т.к. - произвольное, то теорема доказана.

Пусть функция непрерывна в промежутке , а функция - все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этих функций в их совокупности ограничены:

и при стремятся к предельной функции



Доказательство:

Докажем, что имеет ограниченное изменение. Разложим промежуток произвольным образом на части точками

Тогда для любого

Перейдем к пределу при

откуда и

Составим суммы Стилтьеса



Если предположить, что промежуток при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функции в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа , то, в силу оценки (22), при всех

С другой стороны, если разбиение фиксировать, то, очевидно, при , так что найдется такое N, что для n>N будет

Тогда для тех же значений n в силу (23) и (24) получаем:

Т.к. - любое, то теорема доказана [10, 54].

2.11 Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями



в направлении от к , когда . Тогда точкам (), взятым на кривой для образования интегральной суммы, будут отвечать возрастающие значения параметра :

а выбранной на дуге точке - значение

(). Сама же интегральная сумма, например, для первого из интегралов, напишется в виде

Эта интегральная сумма представляет собою стилтьесову сумму, так что криволинейный интеграл второго типа по самому определению отождествляется с частным случаем интеграла Стилтьеса:

Отсюда следуют общие условия существования криволинейного интеграла (25); достаточно предположить функцию непрерывной, а функцию имеющей ограниченное изменение (п.3, ) [13, 95].

В частности, если кривая AB спрямляема, а функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны, то существует интеграл



Заключение

Интеграл, который мы рассмотрели в данной работе, был введен Стилтьесом. Он ввёл новое понятие, разработка же выпала на доли других математиков, таких, как Кёниг, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, Г.Ф. Вороной, Рисс, Гильберт, Хеллингер, причем каждый из них пришел к понятию интеграла Стилтьеса, отправляясь от разных задач. В дальнейшем разработкой интеграла занимались также У.Г. Юнг и Радон. Юнг использовал интеграл Стилтьеса в теории тригонометрических рядов, Радон применял также в теории линейных функционалов, в теории интегральных уравнений.

Очень велико число работ, посвященных изучению различных свойств интеграла Стилтьеса. Это работы Хелли, Брэй, Гильдебрандт, Р. Юнг, Г.М. Шварц, Яджи и др.

Совершенно необозримо поле приложений различных типов интеграла Стилтьеса. После работ Стилтьеса, Маркова, Юнга и других ученых, о которых сказано выше, поток применений интеграла Стилтьеса вырос в трудно обозримый комплекс. Многие разделы математики невозможно представить без использования интеграла Стилтьеса.

Идея интегрирования методом Стилтьеса использовалась и продолжает использоваться при изучении различных вопросов математики, физики, квантовой механики.

Рассмотрев все доступные источники информации и проанализировав их мы пришел к выводу что интегрирование методом Стилтьеса для функций с ограниченным (конечным) изменением более удобно и просто по сравнению с классическими методами.



Литература

1. Агафонов С.А., А.Д. Герман, Т.В. Муратова Дифференциальные уравнения. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - 7-е изд., стер. - М.: Дрофа, 2010 г.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. ( В 3-х томах ) М., Дрофа, 2004 г.

3. Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. М.: Физматлит, 2003 г.

4. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов. 2-е изд. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002 г.

5. Выгодский Марк: Справочник по высшей математике. АСТ, 2010 г.

6. Геворкян П.С. Высшая математика. Интегралы, ряды, ТФКП, дифференциальные уравнения Том 2. М.: Физматлит, 2007 г.

7. Гусак А.А. Справочник по высшей математике. М.: Физматлит, 2005г.

8. Данилов Ю.М., Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Нуриева С.Н. Математика М., Инфра-М, 2009 г.

9. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. - М.: Издательство "Факториал Пресс", 2002 г.

10. Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И., Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Том 1 и 2. Учебное пособие для студентов заочной (дистанционной) формы обучения. М.: МИИР, 2007 г.

11. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. (Курс высшей математики и математической физики) 7-е изд. -- М.: Физматлит, 2005 г.

12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебник для вузов 7 изд. -- М.: Физматлит 2009г.

13. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. ( В 3-х томах ). - М.: Дрофа 2006 г.

14. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. ( В 3-х томах ). - 2-е изд., перераб. - М.: Физматлит, 2004 г.

15. Кузнецова Т.А., Мироненко Е.С., Розанова С.А., Сирота А.И. и др. Высшая математика. М.: Физматлит 2009 г.

16. Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. Высшая математика, краткий курс. М.: Физматлит 2007 г.

17. Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд., исправл. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.

18. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. - М., Айрис-пресс, 2006 г.

19. Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физматлит 2007 г.

20. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. ( В 3-х томах ). - М.: Физматлит, 2003 г.



Приложение

СТИЛТЬЕС ТОМАС ИОАННЕС (Stieltjes Thomas Johannes 1856-1894).

Стилтьес Томас Иоаннес (29.12.1856-31.12.1894) - нидерландский математик и астроном. Член Нидерландской Академии наук (1886г) Родился в Зволле. Окончил Политехническую школу в Делфте. В 1877-1883гг. работал в Лейденской обсерватории, с 1886г. - профессор Тулузского университета. Научные исследования Стилтьеса в основном касаются теории функциональных непрерывных дробей, проблемы моментов, теории ортогональных многочленов, приближенного интегрирования и других вопросов классического анализа. Обобщенное Стилтьесом понятие интеграла Римана играет важную роль в современной математике. Известно также интегральное преобразование Стилтьеса.

Размещено на Allbest.ru