Теория вероятностей и математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

11

ГОУ ВПО Всероссийский заочный финансово-экономический институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Уфа 2010

Задача 1. В результате выборочного обследования российских автомобилей, обслуживающихся в автосервисе по гарантии, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 280 автомобилей были отобраны 60. Полученные данные о пробеге автомобилей с момента покупки до первого гарантийного ремонта представлены в таблице

Найти:

а) вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876

Решение.

N=280 n=60

Считаем, что если случайная величина принимает значение из соответствующего интервала, то это значение приблизительно равно найденному среднему для этого интервала

Находим среднее арифметическое

Находим дисперсию

а) Находим среднюю квадратическую ошибку выборки

Находим вероятность

,

б) Расчет выборочной доли

Находим среднюю квадратическую ошибку для доли

Учитывая, что г= Ф(t) = 0,95 по табл. II найдем t = 1.96

Определяем доверительный интервал

в) Объем бесповторной выборки

Ответ: а) вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине) 0,9736.

б) с вероятностью 0,95 доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км. Будет находиться в пределах от 0,182 до 0,378 (либо 18,2% до 37,8%)

в) объем бесповторной выборки составляет 89 автомобилей.

дисперсия арифметический выборка вероятность

Задача 2. По данным задачи 1, используя ч²-критерий Пирсона, на уровне значимости б=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X - средний пробег автомобиля до гарантийного ремонта распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую кривую

Решение.

, , ,

Для расчета вероятностей p_i используем функцию Лапласа

.

Число степеней свободы k = m - r - 1, где m - число интервалов, r- число уже вычисленных числовых характеристик. k = 7-2-1 = 4. Табличное значение , т.е. 2,89 < 9,49 > гипотеза о нормальном распределении не отвергается.

Задача 3. Распределение 60 банков по величине процентной ставки X(%) и размеру выданных кредитов Y(млн. руб.) представлено в таблице.

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние x_i и y_i, построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости б = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка которого равна 16%.

Решение:

1) Вычислим групповые средние для каждой строки корреляционной таблицы. Для каждого значения x_i найдем групповые средние по формуле

;

Аналогично, для каждого значения y_i найдем групповые средние

2. а) Среднее значение для x

Среднее значение для y

Коэффициент регрессии

Уравнение регрессии Y по X

Коэффициент регрессии

Уравнение регрессии X по Y

Из первого уравнения регрессии У по Х следует, что при увеличении процентной ставки размер выданных кредитов уменьшиться в среднем на 1,42 млн. руб.

Второе уравнение регрессии Х по У показывает, что для увеличения размера выдаваемых кредитов необходимо уменьшить процентную ставку.

б) ,

Берем радикал со знаком «-», т.к. коэффициенты b_xy и b_yx отрицательны.

Связь между переменными обратная и достаточно тесная (ибо |r| близок к 1)

t_{1-б; k} = 2 < 14.26 - значимо отличается от 0.

в) , при х = 16%

При процентной ставке 16% в среднем размер выданного банком кредита составит 9,68 млн. руб.

Список используемой литературы

1. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Никитина Ю.В., - Уфа. - 2010.

2. Высшая математика для экономистов: учебник для ВУЗов, под ред. Н.Ш. Кремера - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов.-М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

Размещено на Allbest.ru