Анализ методов аппроксимации кривых разгона
Аппроксимация кривых разгона передаточными функциями более высокого порядка (способ Шварца). Нахождение передаточной функции объекта методом М.П. Симою. Определение подобных связей объектов регулирования по кривым разгона способом площадей и Ротача.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 05.11.2011 |
| Размер файла | 951,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное агентство по образованию
Московский государственный открытый университет
Чебоксарский политехнический институт
Кафедра управления и информатики в технических системах
Специальность 220201
Контрольная работа
по дисциплине "Идентификация и диагностика систем управления"
Выполнил студент
Заочного отделения (сокращённого)
Клепцова Наталья Николаевна
Учебный шифр 607144
Курс 3
Проверил
Т.А.Изосимова
2009г.
Содержание
- 1. Анализ методов аппроксимации кривых разгона
- 1.1 Аппроксимация кривых разгона передаточными функциями более высокого порядка (метод Шварца)
- 1.2 Определение передаточных функций объектов регулирования по кривым разгона методом площадей
- 1.3 Определение передаточных функций объектов регулирования по кривым разгона методом Ротача
- 2. Определение по кривой разгона передаточной функции объекта методом М.П. Симою (метод площадей)
- Литература
1. Анализ методов аппроксимации кривых разгона
Аппроксимации графиков переходных характеристик объектов регулирования обычно включает в себя два этапа:
1. Выбор общей аналитической формулы;
2. Определение максимальных значений из условия минимума принятого критерия приближенных характеристик.
В практике чаще всего встречаются следующие объекты:
1) объекты с самовыравниванием без транспортного запаздывания;
Рис. 1.1.
2) объекты без самовыравнивания и без транспортного запаздывания;
Рис. 1.2.
3) объекты обоих видов, но с транспортным запаздыванием.
Рис. 1.3.
Имея экспериментально снятую кривую разгона, можно вычислить передаточную функций объекта регулирования. Известны несколько способов нахождения передаточных функций. Простейший из них основан на аппроксимации переходной функций объекта некоторой кривой, вид передаточной функции которой известен.
Рис. 1.4. Рис. 1.5. Рис. 1.6.
Рассмотрим типовую кривую разгона объекта с самовыравниванием (рис. 1.5.). Проведем к ней через точку перегиба касательную и обозначим отрезок отсекаемый касательной на оси абсцисс, буквой , а отрезок от точки пересечения касательной с линией нового установившегося состояния до буквой , как это показано на рис. 1.5. Тогда кривую разгона можно приближенно заменить экспонентой (рис. 1.7.) с постоянной времени , чистым запаздыванием и установившимся значением равным установившемуся значению кривой разгона. Передаточную функцию такой экспоненты:
, (1.1)
где - коэффициент усиления объекта, приближенно можно считать передаточной фикцией объекта регулирования, имеющего кривую разгона (рис. 1.5).
Рис. 1.7. Рис. 1.8.
Для приближенной аппроксимации кривой разгона объекта без самовыравнивания (рис. 1.6) к кривой разгона проводится касательная. Отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс, обозначается (рис.1.8). Угол наклона касательной определится из формулы:
, (1.2)
Тогда кривую разгона объекта без самовыравнивания можно приближенно заменить прямой (рис. 1.8), имеющей с осью абсцисс угол наклона и отсекающей на оси абсцисс отрезок . Этой прямой соответствует передаточная функция:
, (1.3)
которую приближенно можно считать передаточной функцией объекта регулирования без самовыравнивания.
1.1 Аппроксимация кривых разгона передаточными функциями более высокого порядка (метод Шварца)
Более точное совпадение кривой разгона и аппроксимирующей кривой дает способ, предложенный Г. Шварцем. Рассматриваются несколько вариантов аппроксимации. Первый случай - объект с самовыравниванием. Передаточная функция представляется в виде:
, (1.4)
то есть модель объекта составляется из одинаковых апериодических звеньев, соединенных последовательно. Значения коэффициента усиления объекта, постоянной времени и показатели степени определяются с помощью графиков (рис. 1.9).
Рис. 1.9.
Для этого берется кривая разгона, приведенная к единичному возмущению. Проводится касательная к ней в точке перегиба и отмечаются отрезки , , (рис. 1.9, а), а также определяется коэффициент усиления . Далее на графике (рис. 1.9, 6) по известному отношению кривой разгона находится показатель степени . Затем по графику (рис. 1.9, в) определяется отношение и вычисляется постоянная времени .
В другом варианте передаточная функция объекта с самовыравниванием представляется в виде:
, (1.5)
где - постоянный коэффициент.
По кривой разгона определяются величины , , в соответствии с рис. 1.10, а. Далее, воспользовавшись графиками (рис. 1.10, б и 1.10, в), находят значение и, а затем постоянную времени . Коэффициент усиления , в предположении, что кривая разгона снята при единичном возмущении, определяется непосредственно по кривой разгона.
Рис. 1.10.
Передаточную функцию объекта без самовыравнивания можно представить в виде:
, (1.6)
Значения величин , находятся по графикам (рис. 1.11,б и 1.11, в). Для этого следует по кривой разгона предварительно найти вспомогательные величины , . Коэффициент усиления объекта при единичном скачкообразном возмущении определится угла (рис. 1.11, а) наклона касательной к оси абсцисс.
Другой разновидностью приближенной передаточной функции объекта без самовыравнивания является:
, (1.7)
Постоянная времени и коэффициент в этом случае определяются по графикам (рис. 1.12, а, б).
Рис. 1.11. Рис. 1.12.
Если исследуемый объект регулирования обладает дифференцирующими свойствами и кривая разгона имеет вид (рис. 1.13, а), его передаточная функция может быть приближенно представлена выражением:
, (1.8)
Значения вспомогательных величин , , , , а также , , находятся с помощью графиков (рис. 1.13, б, в, г).
Рис. 1.13.
1.2 Определение передаточных функций объектов регулирования по кривым разгона методом площадей
В ряде случаев точность представления передаточной функции, определяемой приближенными методами, сказывается недостаточной. Более точный способ вычисления передаточных функции по экспериментально снятым кривым разгона был предложен М.Д. Симою и получил название метода площадей. Теоретически этот метод может дать любую точность. Но реально эта точность не может быть выше точности исходной информации, т.е. точности экспериментального определения кривой разгона.
Рассмотрим кривую разгона изучаемого объекта (рис. 1.14).
Рис. 1.14.
Обозначим звездочкой входные и выходные величины, записанные в размерном виде, и представим кривую разгона в безразмерной форме, приняв обозначения:
; , (1.9)
где - выходная величина в безразмерной форме,
- входная безразмерная величина.
Прочерк в квадратных скобках - символ размерности - означает, что данная величина представлена в безразмерной форме. Перестроенная кривая разгона приведена на рис. 1.15.
Рис. 1.15.
В основе метода лежит предположение, что исследуемый объект регулирования может быть описан линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:
, (1.10)
где , - постоянные коэффициенты.
Передаточная функция объекта, описываемого уравнением (1.10) может быть представлена как:
, (1.11)
или в размерной форме:
, (1.12)
Задача состоит в том, чтобы определить неизвестные коэффициенты , используя для этого систему уравнений (1.13). В этой системе уравнений для всех значений , , а для , .
, (1.13)
Входящие в данную систему уравнений коэффициенты вычисляются по следующим формулам:
, (1.14)
Эти коэффициенты получили наименование «площадей». Для - это действительно геометрическая площадь (рис. 1.15), а для остальных коэффициентов это название условно. В формулах (1.14) введена новая переменная:
, (1.15)
В практике чаще всего встречаются следующие объекты:
1) объекты с самовыравниванием без транспортного запаздывания;
2) объекты без самовыравнивания и без транспортного запаздывания;
3) объекты обоих видов, но с транспортным запаздыванием.
Данным методом буду решать контрольную работу, в которой по кривой разгона буду определять передаточную функцию объекта.
1.3 Определение передаточных функций объектов регулирования по кривым разгона методом Ротача
Надежный и простой метод аппроксимации переходных характеристик объекта (отсутствуют колебательные составляющие).
, (1.16)
Рис. 1.16.
Цель аппроксимации в выборе оптимальных коэффициентов , , , , .
Условимся считать, что значения этих коэффициентов оптимальны, если они обеспечивают совпадение исходные и аппроксимирующие переходные характеристики.
Критерий может быть записан:
,
Простейшее выражение запаздывающее звено:
, (1.17)
ее переходная характеристика:
Геометрический смысл производной
При второе выражение можно заменить:
Получившийся график показан на рисунке пунктиром.
2. Определение по кривой разгона передаточной функции объекта методом М.П. Симою (метод площадей)
Передаточная функция объекта определяется как произведение двух передаточных функций и . График представлен в виде переходной характеристики , где . Кривая разгона объекта с самовыравниванием без транспортного запаздывания.
1. На кривой разгона (Приложение 1) ось абсцисс разбиваем на равные отрезки с интервалом времени . При выборе величины отрезка следует учесть:
а) кривая разгона на участке должна мало отличаться от прямой;
б) чем меньше , тем более точным будет конечный результат. Однако с уменьшением интервала разбиения резко возрастает объем вычислений, а излишне высокая точность вычисления может не дать желаемого результата.
2. Значения в конце каждого интервала делим на и получившиеся значения заносим в таблицу 2.1.
Таблица 2.1.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
0 |
0,000 |
1,000 |
0,000 |
|
|
5 |
0,472 |
0,528 |
0,668 |
|
|
10 |
0,740 |
0,260 |
1,336 |
|
|
15 |
0,885 |
0,115 |
2,004 |
|
|
20 |
0,946 |
0,054 |
2,672 |
|
|
25 |
0,970 |
0,030 |
3,340 |
|
|
30 |
0,990 |
0,010 |
4,008 |
|
|
35 |
1,000 |
0,000 |
4,676 |
|
|
40 |
1,000 |
0,000 |
5,344 |
|
|
45 |
1,000 |
0,000 |
6,012 |
|
|
50 |
1,000 |
0,000 |
6,680 |
3. Вычисляем значение 3-го столбца и записываем в таблицу 2.1.
4. Определяем площадь по формуле:
, (2.1)
где - сумма 3-го столбца (1). Сумма 3-го столбца равна 1,997.
5. Функцию перестраиваем в другом масштабе времени, за независимую переменную берем время , значения которой также записываем в таблицу 2.1.
6. Заполняем таблицу 2.2 (столбцы 1 и 2 переписываем из таблицы 2.1).
Таблица 2.2
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
0,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
|
|
0,668 |
0,528 |
0,332 |
0,175 |
-0,113 |
-0,060 |
|
|
1,336 |
0,260 |
-0,336 |
-0,087 |
-0,780 |
-0,203 |
|
|
2,004 |
0,115 |
-1,004 |
-0,115 |
-1,000 |
-0,115 |
|
|
2,672 |
0,054 |
-1,672 |
-0,090 |
-0,774 |
-0,042 |
|
|
3,340 |
0,030 |
-2,340 |
-0,070 |
-0,102 |
-0,003 |
|
|
4,008 |
0,010 |
-3,008 |
-0,030 |
1,016 |
0,010 |
|
|
4,676 |
0,000 |
-3,676 |
0,000 |
2,581 |
0,000 |
|
|
5,344 |
0,000 |
-4,344 |
0,000 |
4,591 |
0,000 |
|
|
6,012 |
0,000 |
-5,012 |
0,000 |
7,048 |
0,000 |
|
|
6,680 |
0,000 |
-5,680 |
0,000 |
9,951 |
0,000 |
7. Определяем площади и по формулам:
, (2.2)
где - сумма 4-го столбца.
, (2.3)
где - сумма 6-го столбца.
Сумма 4-го столбца равна 0,783, а сумма 6-го столбца равна 0,587.
8. Тип передаточной функции выбираем по виду кривой разгона, исходя из следующих предпосылок: если значение регулируемой величины при равна нулю, но производная не равна нулю, то порядок числителя передаточной функции на единицу меньше порядка знаменателя:
, (2.4)
При расчете ограничимся всего тремя площадями: , , . В этом случае имеем уравнения:
, (2.5)
Если в этом случае передаточная функция принимает вид (2.4), то получим
.
В этом случае и уравнение (2.5) примет вид:
, (2.6)
В этих уравнениях 5 неизвестных. Для того, чтобы не было не определенности, рекомендуется вычислить площади и . С учетом того, что , , , , получим 5 уравнений, необходимых для вычислений 5 неизвестных.
Так как получится громоздкое решение, остановимся на передаточной функции 2-го порядка:
, (2.7)
При нашей передаточной функции (2.7) , , система уравнений (2.6) примет вид:
9. Определим коэффициенты выбранной передаточной функции путем решения системы уравнений (2.6): , , . При отрицательных значениях коэффициенты не учитываются, следовательно, передаточная функция объекта примет вид:
аппроксимация кривая разгон передаточный площадь
10. Получаем передаточную функцию вида .
Для проверки результата снимем для полученной передаточной функции при помощи математического пакета Mat Cad.
Рис. 2.1. Полученная временная характеристика полностью соответствует заданной.
Литература
1. Яковлев Ю.С. Локальные системы автоматики: Текст лекций. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та,1993.- 176с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Методика экспериментального определения кривых разгона объекта управления по каналам регулирования и возмущения для напорного бака. Динамические характеристики объекта управления, математическое описание динамики линейным дифференциальным уравнением.
лабораторная работа [277,7 K], добавлен 14.12.2010Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений для сравнительно простых объектов. Выражение входной и выходной величины элемента в долях, введение безразмерных координат. График кривой разгона, коэффициент усиления.
реферат [12,5 K], добавлен 16.05.2010Доказательство теоремы единственности для кривых второго порядка. Преимущества и недостатки разных способов доказательства теоремы единственности. Пучок кривых второго порядка. Методы решения теоремы единственности для поверхностей второго порядка.
курсовая работа [302,7 K], добавлен 22.01.2011Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013Сведения о плоских кривых. Замечательные кривые третьего порядка. Классификация Ньютона кривых третьего порядка. Циссоида и ее свойства. Преобразования плоскости, переводящие кривые второго порядка в кривые третьего порядка. Преобразования Маклорена.
дипломная работа [960,1 K], добавлен 22.04.2011Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.
курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009Понятие и классификация кривых Безье, их разновидности и методика, основные этапы построения. Порядок и условия применения данных кривых в компьютерной графике. Преобразование квадратичных кривых в кубические. Финитные функции. В-сплайны Шёнберга.
реферат [456,6 K], добавлен 14.01.2011Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Аппроксимация переходных характеристик объектов без самовыравнивания по МНК в программном комплексе "20-sim Pro 2.3", а также методом площадей. Определение оптимальных параметров настройки промышленных регуляторов. Расчет экономической эффективности.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 24.04.2013Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019
