Точечная группа симметрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Точечная группа

точечная группа симметрия

В международном символе точечной группы симметрии на первом месте находится главная ось симметрии (ось четвертого порядка), значит данная точечная группа принадлежит к средней категории, а именно к тетрагональной сингонии. Это сингония, симметрии, которой отвечает декартова система координат с метриками: , .

Определю систему координат, в которой все углы между осями равны . Перпендикулярные оси и расположу в плоскости листа, а ось направлю перпендикулярно листу.

На первом месте в данной сингонии стоит главная ось симметрии. Это ось симметрии четвертого порядка, которая совпадает с осью и изображается в виде квадрата. Остальные элементы - плоскости зеркального отражения, которые в данной сингонии перпендикулярны осям , . На схеме они изобразится в виде параллельных прямых (Рисунок 1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теперь, когда на рисунке представлено взаимное расположение формульных элементов симметрии, можно применять теоремы сложения элементов симметрии.

Воспользуюсь теоремой №4. Если есть ось симметрии n-го порядка и вдоль нее проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется n. В нашем случае плоскость пересекаются по оси симметрии четвертого порядка, значит, существует еще две плоскости, проходящая через эту ось. Угол между полученной и исходной плоскость равен .

Остальные теоремы не применяются или их действие приводит к появлению уже найденных элементов симметрии. Окончательный план точечной группы приведен ниже (Рисунок 2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

После того, как применены все теоремы, необходимо убедиться, что ничего не упущено. Для этого повторно проверю условия всех теорем.

Теорема №1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, причем угол поворота вокруг этой оси вдвое больше угла между плоскостями. Теорема не использована, однако ее действие приводит к появлению уже известных элементов симметрии.

Теорема №2. Точка пересечения четной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии. Теорема применена.

Теорема №3. Если есть ось симметрии порядка и перпендикулярно этой оси проходит ось 2, то всего имеется осей 2-го порядка, перпендикулярных оси -го порядка. Теорема не использована, однако ее действие приводит к появлению уже известных элементов симметрии.

Теорема №4. Если есть ось симметрии n-го порядка и вдоль нее проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется n. Теорема использована полностью.

Теорема №5 (теорема Эйлера). Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения. Теорема применима, однако после ее использования появляются уже известные элементы симметрии.

Теорема 6. Плоскости, проходящие вдоль четной инверсионной оси симметрии, приводит к появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями. Теорема не использована, однако ее действие приводит к появлению уже известных элементов симметрии.

Пересчитав все появившиеся элементы симметрии, запишем формулу точечной группы: 1 ось четвертого порядка и 4 плоскости зеркального отражения, центр инверсии. Этот полный перечень элементов симметрии можно записать формулой.

Нанесем стереографическую проекцию кристаллографической системы координат, выполнив следующие правила:

1. Проекция оси всегда совпадает с центром круга проекций;

2. Проекция оси всегда совпадает с отметкой , если только заданная точечная группа не относится к моноклинной сингонии (Рисунок 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Используя правила записи символа, сначала нанесу на кальку формульные элементы. Теперь я займусь поворотом плоскости зеркального отражения. Для плоскости, проходящей через ось четвертого порядка и перпендикулярной кругу проекций, эта задача упрощена. Нужно повернуть кальку так, чтобы стереографическая проекция плоскости легла на горизонтальный диаметр круга проекций, тогда в нашем случае по вертикальному меридиану проходит вторая вертикальная плоскость. Затем, вращая кальку вокруг центра круга, отмечу ось второго порядка, которая перпендикулярна формульной оси. Это выполняется аналогично вращению плоскости зеркального отражения (Рисунок 4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Переведем стереографические проекции плоскостей в гномостереографические.

Воспользуюсь их взаимосвязью:

· Плоскость зеркального отражения в стереографической проекции изображается в виде дуги большого круга, а в гномостереографической - в виде точки.

· Точка изображается в первой проекции в виде точки, а во второй - в виде дуги большого круга.

Выводя попарно проекции элементов на один меридиан сетки Вульфа, определю углы между ними обычным способом.

Угловые расстояния на сфере измеряются по дугам больших кругов, то есть по меридианам или экватору. Рассмотрим случаи: обе точки лежат на одной половине сферы - вращая кальку, привожу обе точки на один меридиан и отсчитываю по нему угол; обе точки лежат в разных полусферах - поворачиваю кальку так, чтобы они попали на меридианы, симметричные относительно центра сетки, и отсчитываю угол по одному меридиану от точки до полюса, а по другому -- от полюса до точки.

Если две точки являются гномостереографическими проекциями граней, то найденный угол является углом между нормалями к граням. Если же эти точки являются стереографическими проекциями ребер, то найденный угол отвечает углу между этими ребрами.

Результаты измерения углов занесены в таблицу, которая представлена ниже (Таблица 1).

Таблица 1. Значение углов между элементами симметрии

С помощью преобразований симметрии из одной грани можно получить остальные грани многогранника, который является простой формой кристалла. Простую форму определяют также как совокупность симметрично эквивалентных плоскостей, получаемых из одной плоскости, если размножить ее с помощью операций симметрии, свойственных данному классу симметрии. Угловые соотношения в кристалле не изменятся, если мысленно перенести грань параллельно самой себе. Перенеся грани простой формы так, чтобы они пересеклись, получим пучок симметрично эквивалентных плоскостей.

Простые формы делятся на общие и частные. Частная простая форма получается, если исходная грань располагается параллельно или перпендикулярно осям, или плоскостям симметрии кристалла, или если она образует одинаковые углы с двумя равными элементами симметрии. Общая простая форма получается, если исходная грань задана в общем положении, то есть не на элементах симметрии. В каждом классе симметрии может быть одна общая форма и несколько частных форм.

Начну вывод частной простой формы кристалла. Для этого я воспользуюсь гномостереографической и стереографической проекциями.

Перейду к рассмотрению кристалла, принадлежащий к классу . Для начала я выберу грань в качестве исходной, и размножу ее всеми операциями симметрии этого класса, то есть . В результате поворота вокруг оси появятся грани , и (на сетке Вульфа отмечены кружками. Размножив эти грани с помощью любого из остальных отражений или поворотов, можно убедиться в том, что все дальнейшие преобразования приведут лишь к повторению этих же граней, и я не получу новых граней. Таким образом, из грани , проведя все преобразования симметрии класса , я получу четыре грани, которые все одинаково наклонены к осям координат и в совокупности образуют тетрагональную призму.

Изображение гномостереографической и стереографической проекций этой тетрагональной призмы представлено в приложение Б.

Займусь выводом общей формы кристалла. Для этого нанесу на кальку произвольное направление плоскости, которая не размещена на элементах симметрии (пусть оно будет с координатами ). После чего начну воздействовать на нее всеми элементами симметрии. В результате появится окончательный результат: многогранник с 8 гранями - дитетрагональная пирамида. Полученная дитетрагональная пирамида и является простой общей формой данного класса симметрии.

Изображение стереографической и гномостереографической проекций этой дитетрагональная пирамида представлено в приложение В.

Пространственная группа

Перейдем теперь к пространственной группе симметрии. По заданию необходимо построить план пространственной группы . Сначала построим проекцию системы трансляций, которая задается символом ячейки Бравэ, стоящем на перовом месте. В данном случае символ означает примитивная система, состоящую из трех осевых трансляций вдоль осей системы координат ромбической сингонии. То есть характеризуется такими векторами трансляций , и , а ромбическая сингония - системой координат с метриками , (декартовая система координат). Построим проекции данной системы трансляции на плоскость, причем плоскость лежит в плоскости листа, ось ей перпендикулярна (Рисунок 5).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нанесем на эту проекцию формульные (генерирующие) элементы симметрии в соответствии с правилами записи. На первом и втором месте в заданном интернациональном символе пространственной группы стоят плоскости зеркального скользящего отражения, которые располагается вдоль осей и (Рисунок 6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Развитие плана пространственной группы проведем с помощью последовательного применения теорем о сложении элементов симметрии.

Применяя теоремы сложения элементов симметрии континуума для данной группы, легко убеждаюсь в том, что в результате их действие новые элементы симметрии не появляются. Поэтому можно перейти к применению теоремам сложения элементов симметрии дисконтинуума.

Воспользуюсь теоремой №2. Плоскость симметрии и перпендикулярная ей трансляция с параметром порождают новые вставленные плоскости симметрии, параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от нее на расстоянии . В нашем случае появятся 4 плоскости отражения: 2 горизонтальные и 2 вертикальные, отстающие друг от друга на расстояние и соответственно (Рисунок 7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

В результате взаимодействия плоскостей скользящего отражения получим

винтовую ось второго порядка которая отстоит от трансляции на расстояние (Рисунок 8).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Как и в случае точечной группы симметрии, после применения последней теоремы, еще раз проверим условие применимости всех десяти теорем. Однако теоремы сложения дисконтинуума не дали новых элементов симметрий, которые можно было бы задействовать в теоремах сложения континуума. Поэтому можно опустить проверку теорем сложения континуума и заняться проверкой теорем сложения дисконтинуума:

1. Теорема №1. Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии равносильно трансляции на параметр , где - расстояние между плоскостями. Теорема не задействована, так как последовательное отражение в двух плоскостях симметрии приводит к изначально данным трансляциям.

2. Теорема №2. Плоскость симметрии и перпендикулярная ей трансляция с параметром порождают новые вставленные плоскости симметрии, параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от нее на расстоянии . Теорема использована.

3. Теорема №3. Плоскость симметрии и трансляция , составляющая с плоскостью угол , порождают плоскость скользящего отражения, параллельную порождающей плоскости и отстоящую от нее в сторону трансляции на . Теорема не использована, так как угол между трансляцией и плоскостью зеркального отражения равен , что автоматически приводит к теореме №2.

4. Теорема №4. Отражение в двух пересекающихся плоскостях симметрии можно заменить вращением вокруг оси симметрии, совпадающей с линией пересечения этих плоскостей. Угол поворота вокруг этой оси равен удвоенному углу между плоскостями. Теорема не использовалась, однако с помощью нее можно было получить оси второго порядка.

5. Теорема №5. Трансляция, перпендикулярная оси симметрии, порождает такую же ось симметрии, параллельную порождающей и смещенную на в направлении трансляции. Теорема использована.

Изображение плана пространственной группы симметрии приведено в приложении Г.

При нахождении правильных систем точек вспомню, что два любых объекта, связанные преобразованием трансляции являются эквивалентными.

Выполнение задания начну с систем точек частного положения. Для этого выделю неэквивалентные элементы симметрии. В моем случае все элементы симметрии являются эквивалентными.

За начало системы координат выберу центр плана пространственной группы точку , с координатами . После воздействия на нее всех имеющихся элементов симметрии получим еще 1 точку с координатами . Поэтому точка образует правильную систему точек частного положения с кратностью 2.

На винтовой оси симметрии второго порядка, в точке с пересечения плоскостей, расположу точку с координатами . В результате воздействия на эту точку всеми элементами симметрии получу такие точки: . Таким образом, точка образует вторую правильную систему точек частного положения с кратностью 2.

Точка на пересечении плоскостей имеет координаты . В результате воздействия на эту точку всеми элементами симметрии получу такие точки: . Таким образом, точка образует третью правильную систему точек частного положения с кратностью 2.

Аналогично предыдущей правильной системы точек получу такие следующие преобразования точки , лежащей на пересечение плоскостей: , . Значит, т. образует четвертую правильную систему точек частного положения с кратностью 2.

Теперь перейдем к рассмотрению общей правильной системы точек. Действие имеющихся элементов симметрии на точку , с координатами дает систему из 4 неэквивалентных точек, расположенных в пределах плана. Эти точки имеют координаты , , . Таким образом, получаем правильную систему точек общего положения с кратностью 4.

Все правильные системы точек общего и частного положения нанесены на план в приложении Д. После того, как определены все правильные системы точек общего и частного положения, сведу их в таблицу, которая представлена ниже (Таблица 2).

Таблица 2. Правильные системы точек

Размещено на Allbest.ru