Распределение случайных величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вариант № 17

Содержание расчетного задания:

I. Проверить гипотезу о нормальном распределении случайных величин Х и Y, для чего:

1. Построить сгруппированные выборочные ряды распределений признаков Х и Y и корреляционную таблицу.

2. Построить полигоны, гистограммы для величин Х и Y.

3. Вычислить выборочные характеристики: средние и , , оценки среднеквадратичных отклонений и, асимметрии А_х и А_у и эксцессы Е_х и Е_у.

4. Сформулировать и проверить гипотезу о законе распределения случайных величин Х и Y по критерию Пирсона с уровнем значимости .

5. Найти доверительные интервалы для и , и

6. Записать функции плотности вероятностей случайных величин.

II. Проанализировать зависимость случайных величин Х и Y, для чего:

1. Вычислить выборочной коэффициент корелляции ;

2. Проверить гипотезу о незначимости его отклонения от нуля;

3. Найти уравнения прямых линий регрессии Х на Y и Y на Х;

4. Построить графики линии регрессии и экспериментальные точки.

распределение случайная величина корелляция

Решение:

Дана выборочная совокупность объёма n = 84.

Таблица 1 (выборочная совокупность)

I. Из таблицы 1 находим:

Размах R _х разобьем на К=7 интервалов:

При этом размах R_х увеличивается > R^*_{х =}0.004х7=0.028

При этом размах R_y увеличивается > R^*_y=24х7=168

Найдем условный ноль для Х:

Найдем условный ноль для Y:

Строим корреляционную таблицу, опираясь на которую построим полигон частот варианты X и Y, а так же гистограммы относительных частот:

Вычисление параметров распределения случайной величины U будем вести с помощью начальных моментов н₁, н₂, н₃, н₄.

Таблица 3-1 (для варианты Х)

Столбцы 5 и 8 контрольные: для указанных сумм должны выполняться тождества:

У₅= У₄+ 2У₃+ У₂

278=182+2х6+84 ?верно

У₈= У₇+ 4У₆+ 6У₄+4 У₃+ У₂

2114=770+4х36+6х182+4х6+84 -верно

Расчет суммы выполнен верно:

Числовые характеристики для варианты U находим по формулам:

Ассиметрия

Эксцесс

Числовые характеристики для варианты X находим по формулам:

As(x) = As(U)= -0.009

E(x) = E(U) = -1.05

Оценим соответствие

Таблица 3-2 (для варианты Y)

Столбцы 5 и 8 контрольные: для указанных сумм должны выполняться тождества:

У₅ = У₄+2У₃+У₂

-верно

У₈ = У₇+4У₆+6У₄+4У₃+У₂

- верно

Расчет суммы выполнен верно:

Числовые характеристики для варианты V находим по формулам:

Асимметрия

Эксцесс

Числовые характеристики для варианты Y находим по формулам:

As(Y) = As(V)= -0.068

E(Y) = E(V) = -1.09

Оценим соответствующие числовые характеристики генеральной совокупности:

Проверка гипотезы о виде распределения случайной величины Х

Построенные полигон и гистограмма, значения As и E позволяют высказать гипотезу Н₀ о нормальном законе распределения случайной величины Х и Y. Критерием проверки Н₀ служит величина ч² (критерий Пирсона)

Расчет ведем в таблице 4-1:

Таблица 4-1

Число интервалов после объединения .

Для проверки гипотезы выберем уровень значимости б=0.05, вычислим число степеней свободы. По таблице критических точек распределения

Так как , то случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (Н0 - верна), т.е. можно утверждать, что эмпирические данные подтверждают гипотезу Н₀ с уровнем значимости б=0.05 и плотностью вероятности:

т.е.

Найдем интервальные оценки с надежностью

Математического ожидания б и среднего квадратичного отклонения у по формулам:

Доверительный интервал для математического ожидания:

Аналогично для У: расчет ведем в таблице 4-2:

Таблица 4-2

Число интервалов после объединения .

Для проверки гипотезы выберем уровень значимости б=0.05, вычислим число степеней свободы. По таблице критических точек распределения

Так как , то случайная величина Y имеет нормальный закон распределения (Н0 - верна), т.е. можно утверждать, что эмпирические данные подтверждают гипотезу Н₀ с уровнем значимости б=0.05 и плотностью вероятности:

т.е.

Найдем интервальные оценки с надежностью

Математического ожидания б и среднего квадратичного отклонения у по формулам:

Доверительный интервал для математического ожидания:

- выборочный коэффициент корреляции, который характеризует тесноту связи Х и Y, и . Чем ближе к 1, тем теснее корреляционная зависимость случайных величин Х и Y.

;

> т.е. связь сильная.

> то между Х и Y зависимость прямая, т.е. чем больше Х тем больше Y.

Оценим значимость коэффициента корреляции, для чего проверим гипотезу Н0 : при конкурирующей гипотезе Н1: .

Используем случайную величину

, уровень значимости > (берем из таблицы критических точек распределения Стьюдента)

Так как , то гипотеза Н0 не подтверждается, следовательно, между и Y существует корреляционная связь.

Функция называется регрессией Y на Х, а -регрессией Х на Y.

Методом наименьших квадратов получаем уравнения линейной регрессии:

- уравнение линейной регрессии Y на Х

- уравнение линейной регрессии Х на Y

Построим графики линейных уравнений регрессии и эмпирические точки и.

Размещено на Allbest.ru