Математическое исследование процесса диффузии вещества

Размещено на http://www.allbest.ru/

8

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание №23, вариант №13

Ацетон, растворенный в воде с начальной концентрацией 500 кг/м3 диффундирует из раствора, заключенного между плоскостями х = 0 и х = l/2 в растворитель, ограниченный плоскостями х = l/2 и х = l. Исследовать процесс диффузии, если плоскость х = 0 непроницаема, а в плоскости х = l поддерживается концентрация ацетона равная нулю. Взять x0 = l.

м2/с,

l = 0,13 м,

t0 = 5 c.

определить поле концентраций вещества в среде и исследовать его на стационарность;

2) построить графики распределения температуры в теле в моменты времени t = t, 10t0, 100t0, 1000t0;

3) определить массу вещества, прошедшего через сечение х0, за промежуток времени (0, 100t0).

Решение:

Рассмотрим среду (газообразную, жидкую, пористую и т.д.) в которой находится некоторое вещество (газ, жидкость, и т.д.). Распределение этого вещества в среде характеризуется значением его концентрации С, как функции координат и времени, т.е.

Совокупность мгновенных значений концентрации вещества во всех точках среды образует поле концентраций, для которого, так же как и для поля температур, вводятся понятия стационарности, нестационарности, размерности. Будем рассматривать среды, в которых распределение вещества описывается одномерным полем концентраций

, .

Примером таких сред может служить среда, заполняющая полую прямую трубку (неограниченную пластину), если в любой момент времени концентрация вещества по сечению х одинакова.

Если концентрация вещества в различных точках среды неодинакова, то в ней происходит перераспределение вещества в соответствии с законом Нернста, согласно которому масса вещества dQ, протекающая через сечение х за промежуток времени (t, t+t), равна

,

, (1)

где D - коэффициент диффузии (м2/с), S - площадь сечения х, W -плотность диффузионного потока, равная массе вещества, протекающей в единицу времени через единицу площади (кг/м2с).

Чтобы определить массу вещества, протекающую за промежуток времени (t1, t2) через сечение x с площадью S, закон Нернста (1) записывается в интегральной форме

, (2)

Изменение концентрации вещества в любой точке среды описывается дифференциальным уравнением диффузии, полученным на основании закона Нернста

, (3)

где с - коэффициент пористости, равный отношению объема пор к полному объему; F(x,t) - интенсивность источников вещества в среде (кг/м3l); q - коэффициент поглощения (с-1) (в том числе и боковыми стенками полой трубки, если они проницаемы для вещества); Q(х,t) - концентрация вещества за боковыми стенками полой трубки (кг/м3).

Уравнение (3) аналогично уравнению теплопроводности и для него точно также ставятся начальное и граничные краевые условия.

Граничные условия:

(плоскость х = 0 непроницаема),

(в плоскости x = l поддерживается нулевая концентрация ацетона);

Начальные условия:

.

Задача состоит в отыскании решения уравнения диффузии

, 0 x l, t 0 (4)

при начальном условии

 (5)

и граничных условиях

, (6)

Для решения задачи (4)-(6) воспользуемся методом Фурье (метод разделения переменных). Будем искать частные решения уравнения (7) в виде

.(7)

Подставляя (7) в (4), имеем

Или

, где >0,

откуда получаем два уравнения

(8)

. (9)

Чтобы получить нетривиальное решение уравнения (4) вида (7) удовлетворяющее граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям

X/(0) = 0, (10)

Докажем, что значения отношений могут быть только отрицательными. Обозначим за = . Те значения параметра , при которых задача (9)-(10) имеет нетривиальные решения, называются собственными числами, а сами эти решения - собственными функциями. Для возможны три случая.

При < 0 общее решение уравнения (9) имеет вид

.

Для нахождения А и В из условий (10) получим систему

,

которая имеет единственное решение А = В = 0, следовательно, X(x)0.

При = 0 общее решение уравнения (9) имеет вид

X(x) = A+Bx.

Граничные условия (10) дают

.

Отсюда А = В = 0 и, следовательно X(x)0.

При > 0 общее решение уравнения (9) имеет вид

.

Удовлетворяя граничным условиям (10), получим

.

Из первого уравнения следует B = 0, а из второго , где > 0. Считаем А 0, ибо в противном случае X(x)0. Поэтому , т.е. (k = 1,2,3,…), т.е. ().

Следовательно, нетривиальные решения задачи (9)-(10) возможны лишь при значениях

(k = 1,2,3,…), т.е.

Этим собственным числам соответствуют собственные функции (полагаем A = 1)

.

При = k решение уравнения (8) имеет вид

,

где Аk - произвольные постоянные.

Получим, что все функции

(11)

удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6).

Составим ряд

(12)

который в предположении, что и сходятся равномерно, удовлетворяет уравнению (4) и граничным условиям (6).

Требуя выполнения для (12) начального условия (5), получим

диффузия концентрация уравнение вещество

 (13)

Предположим, что функция (x) может быть продолжена нечетным образом с промежутка (0, l) на промежуток (-l, l) и разложена в нем в ряд Фурье по синусам. Тогда (13) является разложением 0(x) в ряд Фурье и

Таким образом, получим решение задачи (4)-(6) в виде

Определим массу вещества Q протекшее через сечение x цилиндра за промежуток времени (0, t).

Для определения Q воспользуемся формулой (2), считая D постоянной величиной и учитывая, что .

Возьмем в качестве приближенного значения Q первое слагаемое ряда.

Вычислим количество тепла, прошедшее через сечение х = l = 0,13м. за 5 с:

кг.

Возьмем t=500c.

кг.

Возьмем k от 1 до 200 при l=0.13м. и t=5с.

Вычислим значения концентраций в точках трубки x= 0; ; ; ;l в моменты времени t=, 2, 10, 100, 1000.

Построим графики распределения температуры в теле в моменты времени t = t, 10t0, 100t0, 1000t0.

Размещено на Allbest.ru