Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Способы определения

Свойства

Примеры

История

Доказательство иррациональности

Интересные факты

Распределение Пуассона или закон редких явлений

Список используемой литературы

ЧИСЛО «Е» (ЕХР), иррациональное число, служащее основанием натуральных ЛОГАРИФМОВ. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная 2,7182818284590...., является пределом выражения (1/n) при п, стремящемся к бесконечности. По сути, число «е» является трансцендентным, поскольку не существует такого АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, решением которого оно бы являлось. Это же число присутствует в экспоненциальных функциях.

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

· Через предел:

(второй замечательный предел).

· Как сумма ряда:

или .

· Как единственное число a, для которого выполняется

· Как единственное положительное число a, для которого верно

Свойства

·

Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения

является функция

,

где c -- произвольная константа.

· Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e -- нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

· , см. формула Эйлера, в частности

o

· Ещё одна формула, связывающая числа е и р, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

· Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:

· Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:

, то есть

·

· Представление Каталана:

Примеры

Рассмотрим последовательность {xn}, общий член которой выражается формулой:

xn=(1+1/n)n

В курсе математического анализа доказывается, что эта последовательность монотонно возрастает, ограниченна (xn<3) и имеет предел. Этот предел называется числом е. Следовательно, по определению,

Число е играет большую роль в математике. Далее будет рассмотрен способ его вычисления с любой требуемой точностью.

Расчеты, выполненные по формуле (3) , называют вычислениями по непрерывным процентам.

Пример. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Бернулли показал, что процентный доход в случае сложного процента имеет предел: и этот предел равен 2,71828….

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690--1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой.

Доказательство иррациональности

Предположим, что рационально. Тогда , где  -- целое, а  -- натуральное и больше 1, так как  -- не целое. Следовательно

Умножая обе части уравнения на , получаем

Переносим в левую часть:

Все слагаемые правой части целые, следовательно:

 -- целое

Но с другой стороны

Получаем противоречие.

логарифм дифференциальный иррациональность пуассон

Интересные факты

· В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленное число представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.

· В языках программирования символу e в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений:

Например, записи 7.38e-43 соответствует число , а не .

Закон распределения Пуассона

Определение. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

где m=0, 1, 2, ...

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо сумма ряда

(учтено, что в скобках записано разложение в ряд функции при).

На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром (для =0,5; 1; 2; 3,5; 5).

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределённой по закону Пуассона, совпадают и равны значению параметра этого закона, т. е.

При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность p события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Наряду с "предельным" случаем биномиального распределения закон Пуассона может возникнуть и в ряде других случаев. Так для простейшего потока событий число событий, попадающих на произвольный отрезок времени, есть случайная величина, имеющая пуассоновское распределение. Также по закону Пуассона распределены, например, число рождения четверней, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в "нормальном режиме", число "требований на обслуживание", поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания, и др.

Замечание. Если случайная величина представляет собой сумму двух независимых случайных величин, распределённых по закону Пуассона, то она также распределена по закону Пуассона.

Список используемой литературы

1. http://bestlogistics.ru/lession_nadejn/3.htm

2. http://matematiku.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=2333&Itemid=39

Размещено на Allbest.ru