Параллелепипед, призма и пирамида

Размещено на http://www.allbest.ru/

Параллелепипед

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы. Все шесть граней параллелепипеда (рис. 1) - параллелограммы. Отрезки, соединяющие вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной и той же грани, называются диагоналями параллелепипеда.

Свойства параллелепипеда: 1) Середина диагонали параллелепипеда является его центром симметрии. 2) Противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. 3) Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскости основания параллелепипеда, называется прямым параллелепипедом (на рис. 2 ABCDA1B1C1D1 - прямой параллелепипед). Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники. Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Свойства прямоугольного параллелепипеда: 1) Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

2) Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Так как параллелепипед есть частный случай призмы, то площадь поверхности и объем параллелепипеда вычисляются по формулам для площади поверхности и объема призмы. Кроме того, объем прямоугольного параллелепипед можно вычислять по формуле

V=abc,

где a,b,c - три измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб. Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все грани куба - равные квадраты. Объем куба вычисляется по формуле

,

где a - измерение куба.

Призма

Многогранник, две грани которого - равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней - параллелограммы, называется n-угольной призмой. Пару равных n-угольников называют основаниями призмы. Остальные грани призмы называют ее боковыми гранями, а их объединение - боковой поверхностью призмы. На рис. 1 изображена пятиугольная призма.

Стороны граней призмы называют ребрами, а концы ребер - вершинами призмы. Ребра, не принадлежащие основанию призмы, называют боковыми ребрами. Призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называют прямой призмой. В противном случае призма называется наклонной. Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований призмы, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы. Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной призмой.

Площадь боковой поверхности призмы. Пусть дана произвольная призма (на рис. 2 пятиугольная призма). Через точку А, принадлежащую одному из ее боковых ребер, проведем плоскость б, перпендикулярную этому ребру (и, следовательно, перпендикулярную всем остальным боковым ребрам). Если плоскость б пересекает все боковые ребра призмы, то многоугольник, полученный в результате сечения всех боковых граней плоскостью б (на рис. 2 пятиугольник ABCDE), называется перпендикулярным сечением призмы (если такого многоугольника не существует, то за перпендикулярное сечение призмы принимают многоугольник с вершинами в точках пересечения плоскости б с продолжениями боковых ребер). Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле

,

пирамида параллелепипед параллелограмм пирамида

где  - периметр перпендикулярного сечения призмы, - длина бокового ребра.

Пирамида

Многогранник, одна из граней которого - произвольный многогранник, а остальные грани - треугольники, имеющие одну общую вершину, называется пирамидой. Многоугольник называется основанием пирамиды, а остальные грани (треугольники) называютсябоковыми гранями пирамиды.

Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. пирамиды в зависимости от вида многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

Треугольную пирамиду также называют тетраэдром. На рис. 1 изображена четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD и боковыми гранями SAB, SBC, SCD, SAD.

Стороны граней пирамиды называются ребрами пирамиды. Ребра, принадлежащие основанию пирамиды, называют ребрами основания, а все остальные ребра - боковыми ребрами. Общая вершина всех треугольников (боковых граней) называется вершиной пирамиды (на рис. 1 точка S - вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC, SD - боковые ребра, отрезки АВ, ВС, CD, AD - ребра основания).

Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды S к плоскости основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра). На рис. 1 SO - высота пирамиды. Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой; все боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пирамиды. На рис. 2 SN - апофема. Все апофемы правильной пирамиды равны между собой. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей треугольников боковых граней, а площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и площади основания. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле 

,

где P - периметр основания пирамиды, h - апофема. Объем пирамиды вычисляется по формуле

,

где Sосн - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Размещено на Allbest.ru