Поверхности второго порядка. Эллипсоид
Понятие и классификация поверхности второго порядка. Исследование ее формы. Инварианты уравнения поверхности 2-го порядка относительно преобразований декартовой системы координат. Представление об эллипсоиде. Каноническая форма уравнения эллипсоида.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.10.2011 |
| Размер файла | 708,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования науки Российской Федерации
филиал Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
"Московского государственного технического университета МАМИ в городе Ликино-Дулево"
Реферат по дисциплине "Высшая математика"
на тему:
"Поверхности второго порядка. Эллипсоид"
Выполнил студент 1-ЛДн
Голубев А.О.
2011г.
Содержание
1. Понятие поверхности второго порядка
2. Классификация поверхностей второго порядка
3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям
Список использованной литературы
§ 1. Понятие поверхности второго порядка
Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14x+2а24у+2а34z+а44=0 (1)
в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, а22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля.
Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.
Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.
1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.
Справедливо следующее утверждение.
являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы координат.
§ 2. Классификация поверхностей второго порядка
1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S -- центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид
a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44 = 0 (2)
Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2), равно a11 * а22 * a33, то коэффициенты a11,а22, a33 удовлетворяют условию :
Рассмотрим следующий случай :
Коэффициенты a11,а22, a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.
Если коэффициенты a11,а22, a33, а44 одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.
Если знак коэффициентов a11,а22, a33 противоположен знаку коэффициента а44, то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.
Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа
положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:
Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.
§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям
Эллипсоид.
Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат--центром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.
Ради определенности рассмотрим линии Lh пересечения эллипсоида с плоскостями
z = h (4)
параллельными плоскости Оху. Уравнение проекции L*h линии Lh на плоскость Оху получается из уравнения (3), если положить в нем z = h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид
Если положить то уравнение (5) можно записать в виде
т. е. L*h представляет собой эллипс с полуосями а* и b*, которые могут быть вычислены по формулам (6). Так как Lh получается «подъемом» L*h на высоту h по оси Оz (см. (4)), то и Lh представляет собой эллипс.
Представление об эллипсоиде можно получить следующим образом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (7) (рис. 1), полуоси а* и b* которых зависят от h (см. (6)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на какую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс. Мы получим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «карту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида.
Эллипсоид.
поверхность эллипсоид канонический уравнение
Список использованной литературы
1. П.С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 1979 год. 612 стр.
2. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 10-е изд., испр. 2005 год. 304 стр.
3. Ефимов. Краткий курс аналитической геометрии. 2005 год. 240 стр.
4. Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. 2003 год. 160стр.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Теория инвариантов уравнения линии второго порядка от трех переменных, определение канонического уравнения. Общий пример решения задачи на определение вида и расположения поверхности, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 02.06.2013Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.
курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009Уравнение для описания поверхности второго порядка в аффинной системе координат. Виды квадрики в прямоугольной системе координат: мнимый эллипсоид, гиперболоид, конус, параболоид, цилиндр, плоскости. Способы приведения квадрики к каноническому виду.
курсовая работа [4,5 M], добавлен 19.09.2012Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Арифметическая теория квадратичных форм, их практическое применение в приведении уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду. Самосопряженный оператор, его характеристика, использование и функции. Собственные числа и вектора.
курсовая работа [277,9 K], добавлен 28.11.2012Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.
контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013
