Автоматизація розв’язання просторових задач з неповними даними

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

БОГАЄНКО Всеволод Олександрович

УДК 517.9:519.6

Автоматизація розв'язання просторових

задач з неповними даними

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України

Скопецький Василь Васильович,

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу. технологія прогноз розпізнавання ситуація

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України

Перевозчикова Ольга Леонідівна,

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, завідуюча відділом, кандидат технічних наук

Ігнатенко Петро Петрович,

Інститут програмних систем НАН України, завідувач відділу.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ.

Захист відбудеться 23.06.2006 р., о (об) _14_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою:

03680, МСП, Київ 187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий 20.05.2006 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради __________ СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дослідження. Актуальність математичного моделювання складних екологічних процесів викликана потребою вирішення великої кількості проблем пов'язаних з забрудненням навколишнього середовища. Для ефективного вирішення проблем охорони та раціонального використання природних ресурсів особливого значення набуває розробка методів дослідження процесів міграції забруднень. Основи теорії міграції викладені в численних наукових роботах, зокрема у працях М.М. Біляєва, М.Є. Берлянда, Ф.М. Бочевера, М.М. Верігіна, О.М. Глобуса, О.В. Ликова, Л. Лукнера, В.І. Лялька, Г.І. Марчука, Ф. Мезінгера, А.Ю. Орадовської, П. Роуча, Р. Скорера, А.Ф. Чудновського, які розробили фізичні моделі та сформулювали й обґрунтували основні математичні моделі цих процесів.

Заслуговують уваги проблеми розв'язання обернених задач, які в багатьох випадках, зводяться до задач керування динамічними об'єктами з розподіленими параметрами.

Питання побудови та дослідження розв'язків задач керування системами такого типу висвітлені, зокрема, в працях Б.М. Бублика, А.Г. Бутковського, В.С. Дейнеки, М.Ф. Кириченка, К.А. Лур'є, С.І. Ляшка, О.Г. Наконечного, Ю.І. Самойленка, І.В. Сергієнка, В.В. Скопецького, В.А. Стояна та інших. Одна з відомих загальних методик розв'язання таких задач розроблена В.В. Скопецьким, В.А. Стояном та Ю.Г. Кривоносом має в основі узагальнені М.Ф. Кириченком класичні результати лінійної алгебри та ідеї символічного методу Лур'є.

Розв'язанню цих та деяких пов'язаних з ними питань присвячена дана дисертаційна робота. Зокрема, методологія В.В. Скопецького, В.А. Стояна та Ю.Г. Кривоноса поширена на прямі та обернені задачі математичного моделювання стаціонарних процесів у довільних просторових областях. Розроблено та практично реалізоване програмно-алгоритмічне забезпечення для розв'язування цих задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі “Математичних систем моделювання проблем екології і енергетики” Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України за пері-од 2002 - 2005 рр. Частина наукових та практичних результатів отримана в рамках виконання:

- проекту 01.07/0005 “Розробка математичних методів та інформаційних технологій моделювання прямих та обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами” Міносвіти і науки України (2001 - 2005 рр.).

- держбюджетної теми В.Ф.К.175.10 „Розроблення високо-ефективних інформаційних технологій прогнозу та розпізнавання ситуацій в системах прийняття рішень.

Нові інформаційні технології (математичні моделі, алгоритми та програми) аналізу та синтезу фізико-механічних полів” НАН України (2002 - 2005 рр.).

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи - розробка методів та алгоритмів побудови та дослідження загальних розв'язків (або середньоквадратичних наближень до них) прямих та обернених задач для систем, що описуються еліптичними диференціальними рівняннями, а також їх програмна реалізація.

Для досягнення поставленої мети розв'язані такі задачі:

- створене програмне забезпечення, в якому реалізується весь процес математичного моделювання систем з розподіленими параметрами, що описуються лінійними диференціальними рівняннями еліптичного та параболічного типу;

- побудовані множини функцій, моделюючих крайовий стан стаціонарного процесу, що описується диференціальним рівнянням еліптичного типу, та виконаний перехід від диференціальної моделі процесу до інтегральної або функціональної моделі;

- розроблені чисельно-аналітичні методи й алгоритми побудови загальних розв'язків прямих і обернених задач для еліптичних систем, встановлені оцінки точності та критерії єдності їх розв'язків;

- розроблені та реалізовані паралельні алгоритми розв'язання прямих та обернених задач для еліптичних та параболічних систем.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Створено та програмно реалізовано автоматизовану систему діалогового моделювання прямих та обернених задач для систем, що описуються еліптичними та параболічними диференціальними рівняннями у тривимірному просторі. За допомогою розробленої системи розв'язано модельні приклади та практичні задачі.

2. Загальна методика математичного моделювання прямих та обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами поширена на задачі моделювання процесів, що зводяться до розв'язання прямих та обернених задач для еліптичних систем.

3. Побудовані множини функцій, якими з середньоквадратичною точністю описуються розв'язки прямих та обернених задач щодо розглядуваних процесів. Встановлені критерії точності та однозначності цих розв'язків.

Практичне значення одержаних результатів дисертаційної роботи полягає у тому, що запропоновані чисельно-аналітичні методи та алгоритми реалізовані у вигляді розширюваного програмного комплексу, який може бути використаний при розв'язанні задач розрахунку переносу забруднень, прямих та обернених задач електростатики, задач керування системами, що описуються диференціальними рівняннями еліптичного та параболічного типів, у довільних тривимірних просторових областях. Модулі, що входять у програмний комплекс можуть бути використані при розробці інших систем математичного моделювання у тривимірному просторі.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, які становлять суть дисертаційних досліджень, отримані автором особисто та в співпраці з науковим керівником. У публікаціях [4, 5, 6, 7] дисертанту належать розробки з автоматизації задач пре- та постпроцесування даних, а також програмної реалізації методів розв'язання розглядуваних задач.

Апробація результатів дисертації. Основні результати доповідались та обговорювались на міжнародних конференціях та семінарах: „Системний аналіз та інформаційні технології” (Київ, 2005); „Економічні та гуманітарні проблеми розвитку суспільства в третьому тисячолітті” (Рівне, 2003); „Питання оптимізації обчислень” (Кацивелі, 2005); наукових семінарах в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України (2003 - 2005).

Публікації. За темою дисертації опубліковано сім наукових праць, з них чотири статті у вітчизняних фахових виданнях, три - у збірниках доповідей міжнародних конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку літератури, що містить 127 найменувань, та трьох додатків. Повний обсяг роботи - 170 сторінок, із них 125 сторінок основного тексту, в тому числі 49 рисунків, 11 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мета та задачі дослідження, викладена характеристика наукової новизни, теоретичної та практичної цінності отриманих результатів.

У першому розділі наведено огляд робіт, пов'язаних з питаннями чисельного розв'язання прямих та обернених некоректних задач для систем з розподіленими параметрами та проблемами, що пов'язані з автоматизацією процесу математичного моделювання.

Другий розділ присвячено побудові множин псевдорозв'язків крайових задач для лінійного еліптичного рівняння в необмежених та обмежених тривимірних просторових областях. Розглядається крайова задача для еліптичного рівняння вигляду

, (1)

де компоненти коефіцієнта - задані додатні числа; коефіцієнта - константи; u(x) - інтегровна за Ріманом в області та обмежена функція.

Для рівняння (1) на області можуть бути задані крайові умови вигляду

(2)

Тут L₁ - лінійний диференціальний оператор, - границя області або її частина.

Розв'язок задачі (1),(2) представляється у вигляді суми

(3)

складові якої

(4)

моделюють вплив на стан розглядуваної системи функції зовнішніх збурень та крайових умов (2).

Тут - область зовнішня до , - функція Гріна рівняння (1) в необмежених областях зміни координат (), яка має вигляд

, ,

,

а - функція фіктивних зовнішніх впливів, яка моделює дію крайових умов і знаходиться з інтегрального рівняння

(5)

У випадку задачі, оберненої до (1),(2) функція правої частини невідома, або відома частково і знаходиться з умови

(6)

де L₂ - лінійний диференціальний оператор.

Рівняння (5) при цьому розширюється до системи рівнянь

(7)

де - область задання функції правої частини, - область керування нею.

При чисельному розв'язанні задач (1),(2) та (1),(2),(6), функція визначається шляхом дискретизації областей і S та границі й апроксимації інтегралів з формул (5) та (7). При дискретизації границі на скінченні елементи з вершинами інтегральне рівняння (5) перетворюється на систему рівнянь

(8)

Наближаючи інтеграли з формули (8) кубатурними формулами отримуємо СЛАР

де - точки дискретизації області S, c_i - коефіцієнти кубатурних формул.

Інший алгоритм розв'язання системи (8) полягає у поліноміальній апроксимації функції , що дозволяє знаходити неперервний розв'язок. Область S дискретизується множиною підобластей з вершинами . Моделююча функція шукається у вигляді

.

При цьому система інтегральних рівнянь (8) перетворюється у СЛАР

. (9)

Для випадку, коли - шестигранники з гранями паралельними до координатних площин, знайдені аналітичні вирази для інтегралів, що входять до формули (9) при .

Третій розділ присвячено створеному програмному комплексу, який реалізує всю процедуру математичного моделювання процесів, що описуються прямими та оберненими початково-крайовими задачами для лінійних диференціальних рівнянь параболічного та еліптичного типів з постійними коефіцієнтами.

В основу програмного комплексу покладені такі принципи:

- повнота класів задач предметної області завдяки високій варіативності постановок задач та вихідних даних;

- орієнтованість системи на інтерактивний графічний аналіз результатів розрахунків;

- надання максимальної свободи дій користувачу в ході обчислювального експерименту;

- збереження всієї пов'язаної з обчислювальним експериментом інформації в єдиному файлі;

- використання MDІ віконного інтерфейсу з розвинутою бібліотекою діалогових програм разом з наявністю директивної вхідної мови;

- максимальна гнучкість та конфігурованість комплексу, що проявляється у використанні модульної фізичної архітектури, параметризованого користувацького інтерфейсу та кросплатформеності комплексу, який може з однаковою функціональністю працювати як у Windows так і у Unix системах.

Комплекс складається з п'яти компонентів: завантажувача, який координує його роботу; модулів користувацького інтерфейсу; математичного ядра, в якому реалізоване зберігання даних, операції над моделлю геометрії, засоби дискретизації та задання фізичних параметрів; графічного ядра, яке відповідає за вивід тривимірних об'єктів та взаємодію з користувачем та розрахункових модулів.

Процес математичного моделювання при роботі з комплексом розбитий на сім етапів.

Перший етап полягає у виборі фізичного процесу, що буде моделюватися, з переліку процесів, які можуть бути досліджені за допомогою програмного комплексу.

На другому етапі проводиться створення нової моделі геометрії області чи завантаження раніше створеної та збереженої моделі. Моделювання геометрії області відбувається з використанням CSG підходу тривимірними примітивами першого порядку. Базовими елементами моделювання є випуклі багатогранники, до яких можна застосовувати булеві операції, операції додання та видалення вершин, розділення навпіл по грані та лінійні перетворення. Програмний комплекс дозволяє користувачеві створювати шестигранники з яких використовуючи раніше перераховані операції можливо отримувати твердотілі моделі довільних геометричних областей.

Окрім цього, комплекс також включає в себе такі засоби моделюван-ня геометрії як можливість створення замітаючих поверхонь, генерації моделей областей обмежених аналітично явно чи неявно-заданими поверхнями, а також імпортування моделей областей, створених іншими програмними продуктами.

Третій етап обчислювального експерименту передбачає задання фізичних характеристик області відповідно до обраної задачі. Інформація про фізичні параметри прив'язується до поточної області. Допускається задання параметрів на елементах об'єму, площини та у точках, як у числовому вигляді так і у вигляді функцій, заданих аналітично.

Дискретизація області виконується у напівавтоматичному режимі на четвертому етапі. Отримана розбивка зберігається в рамках інформаційної бази поточного обчислювального експерименту і читається розрахунковими модулями комплексу.

Реалізовані такі алгоритми побудови дискретизації як ізопараметричне розбиття шестигранників, побудова тетраедризації Делоне для областей довільної форми, побудова тетраедризації Делоне з доданням точок Штайнера за допомогою методу фізичної релаксації та генерація вбудованої діаграми Вороного. Реалізований також механізм оцінки якості дискретизації за такими показниками як розподілення відношень лінійних розмірів, кутів між ребрами, гранями та тілесних кутів елементів дискретизації.

Задання параметрів розрахунку проводиться на п'ятому етапі експерименту після чого на шостому етапі проблемним модулем виконується розв'язання поставленої задачі.

Зрештою, на сьомому етапі здійснюється аналіз отриманих скалярних та векторних функціональних розв'язків. Реалізовані такі засоби аналізу як побудова розрізів області площиною, ізоповерхонь, ізоліній, перетину області моделювання з неявно аналітично-заданою областю та візуалізація векторних полів. Комплекс також дозволяє анімовано проглядати змодельовану динаміку процесу та зберігати згенеровані як статичні так і анімовані зображення.

У підрозділі 3.7 описується підсистема паралельних розрахунків на кластерних системах та алгоритми, які дозволяють розпаралелити роботу проблемного модуля комплексу. У процесі чисельного розв'язання прямих задач (1),(2) та обернених задач (1),(2),(6) можна виділити три основних етапи - це дискретизація та зведення задачі до СЛАР, отримання множини розв'язків цієї системи або середньоквадратичних наближень до них та обчислення функціонального розв'язку задачі.

Для першого та останнього етапів, на яких допускається розпаралелювання за даними, розроблені та реалізовані відповідні алгоритми. Ефект прискорення при використанні цих алгоритмів близький до лінійного.

Реалізовано також два алгоритми паралельного знаходження множин розв'язків СЛАР: перший полягає у паралельному отриманні SVD прямокутної матриці з використанням алгоритму ротацій Гівенса та генерації псевдооберненої матриці з SVD, другий - у зведенні задачі псевдообернення прямокутної матриці до задачі псевдообернення квадратної матриці при чому найбільш затратні операції множення матриць виконуються паралельно. Другий алгоритм є більш швидким ніж перший, проте це супроводжується втратою точності. Ефект прискорення для цих алгоритмів нелінійний та при збільшенні кількості процесорів може навіть зникати, що є наслідком збільшення кількості обміну між процесами.

Всі алгоритми реалізовано у вигляді SPMD архітектури, відповідно до якої на всіх вузлах розподіленої обчислювальної системи виконується одна й та сама програма. Роль, яку кожна програма відіграє в обчисленні, визначається рангом - унікальним номером, що задається при запуску. Для обміну даними між процесами може використовуватись як високорівнева кластерна бібліотека MPI, яка окрім суто обміну даними забезпечує також групування, присвоєння рангів та запуск процесів, так і більш швидка, низькорівнева бібліотека sockets. При цьому групування та запуск процесів виконується користувачем. Для підвищення швидкодійності комплексу на кластерних системах реалізована також конфігурація в якій для групування та запуску процесів використовується бібліотека MPI, а для обміну даними - sockets. Реалізація обміну лише за допомогою низькорівневої бібліотеки sockets дозволяє комплексу працювати у паралельному режимі не лише на кластерних системах, але й у локальних мережах.

У четвертому розділі наведено отримані за допомогою розробленого програмного комплексу розв'язки ряду тестових та практично важливих задач. Зокрема, розв'язана задача моделювання фільтраційних процесів у тривимірних областях з включеннями, тестова обернена задача для еліптичного рівняння у випадку, коли в одній підобласті права частина рівняння задана, а в іншій підобласті - відновлюється, а також задача моделювання руху космічного апарата у космосі за рахунок сили сонячного тиску. При цьому, світлосприймаючу поверхню утворює система заряджених частинок, якій (теоретично) можна надати стійкої форми за допомогою зарядів, розміщених на космічному апараті. Сила тиску сонячних променів передається до космічного апарата через поле цих зарядів.

Деякі результати розрахунків наведені у графічному вигляді.

Висновки

У результаті досліджень, виконаних у даній дисертаційній роботі, набула подальшого розвитку та програмно реалізована запропонована В.В. Скопецьким, В.А. Стояном та Ю.Г. Кривоносом методика математичного моделювання прямих та обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами.

Основні результати дисертаційної роботи такі:

1. Створена система автоматизації дослідження прямих та обернених задач методом псевдообернення з використанням функцій Гріна.

2. Побудовані множини зосереджених за межами досліджуваної області точкових джерел, якими з середньоквадратичною точністю моделюється аналітично чи дискретно заданий крайовий стан систем, що описуються диференціальними рівняннями еліптичного типу.

3. Поширена на задачі моделювання процесів, що зводяться до розв'язання задач для еліптичних систем загальна методика математичного моделювання прямих та обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами.

4. Розроблені паралельні алгоритми розв'язання прямих та обернених задач моделювання систем, які описуються параболічними та еліптичними рівняннями.

5. Отримані чисельні результати розв'язання деяких задач моделювання фільтраційних процесів та електростатики.

Основні положення дисертації опубліковані в таких працях

1. Богаенко В.А. Об автоматизации решения трехмерных некорректных задач // Компьютерная математика. -2005.-№ 1. - C. 17-24.

2. Богаенко В.А Технологии автоматизации вспомогательных процессов решения трехмерных некорректных задач экологии и энергетики

// Компьютерная математика. - 2003. - № 2. - С. 54-61.

3. Богаєнко В.О. Застосування тривимірної візуалізації моделей у наукових дослідженнях та навчанні // Психолого-педагогічні основи гуманізації навчально-виховного процесу в школі та ВНЗ. Зб. наук. пр. - Рівне, 2003. - С. 228-231.

4. Марченко О.О., Благовещенська Т.Ю., Лєжніна Н.А., Вусата Л.А., Богаєнко В.О. Система програмно-аналітичного моделювання прямих та обернених задач // Пр. міжн. конф. “Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXII)”, присвяченої пам'яті академіка В.С. Михалевича. - К.: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2005. -

С. 141-142.

5. Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Стоян В.А., Благовещенская Т.Ю., Богаенко В.А. О программно-аналитическом моделировании задач дина-мики систем с распределенными параметрами // Кибернетика и систем-ный анализ. -2005. - № 2. - С. 35 - 55.

6. Скопецький В.В., Богаєнко В.О. Моделювання прямих на обернених задач для систем з розподіленими параметрами на кластерній системі СКІТ-1 // Системний аналіз та інформаційні технології: Матеріали VII Міжнар. науково-техн. конф.. - К.: НТУ України “КПІ”, 2005. - С. 80.

7. Скопецкий В.В., Стоян В.А., Благовещенская Т.Ю., Богаенко В.А. Программный комплекс моделирования динамики систем с распре-деленными параметрами // Управляющие системы и машины. - 2006. - № 2. - С. 32 - 41.

АНОТАЦІЯ

Богаєнко В.О. Автоматизація розв'язання просторових задач з неповними даними. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2006.

Дисертація присвячена питанням розробки чисельно-аналітичних алгоритмів розв'язання прямих та обернених тривимірних задач математичної фізики з неповними даними та програмного забезпечення, що дозволяє розв'язувати такі задачі.

На базі апарата псевдообернення побудовані множини функцій, якими з середньоквадратичною точністю описуються розв'язки крайових задач та задач керування. Встановлені оцінки точності та критерії єдиності розв'язків досліджуваних систем в необмежених, частково-обмежених та обмежених просторових областях. Розроблені чисельно-аналітичні (послідовні та паралельні) алгоритми, які реалізовані в рамках програмного комплексу, який імплементує весь процес математичного моделювання. Створена підсистема пре- та постпроцесування даних.

Ключові слова: еліптичні рівняння, функція Гріна, прямі та обернені задачі, псевдообернення, паралельні алгоритми, програмний комплекс.

Аннотация

Богаенко В.А. Автоматизация решения пространственных задач с неполными данными. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02. - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2006.

Сложность природы процессов, которые протекают, в частности, в атмосфере и грунтах, приводит к необходимости постановки и решения задач, в случаях, когда уравнения и краевые условия заданные не полностью. Являются актуальными проблемы решения обратных задач, которые, во многих случаях, сводятся к задачам управления динамическими объектами с распределенными параметрами.

Диссертация посвящена вопросам разработки численно-аналитических алгоритмов решения прямых и обратных трехмерных задач математической физики с неполными данными и программного обеспечения, позволяющего решать такие задачи. На базе аппарата псевдообращения построены множества функций, которыми со среднеквадратичной точностью описываются решения краевых задач и задач управления и установлены оценки точности и критерии единственности решений для исследуемых систем в неограниченных, частично ограниченных и ограниченных пространственных областях. Разработаны численно-аналитические (последовательные и параллельные) алгоритмы, которые реализованы в рамках программного комплекса, который имплементирует весь процесс математического моделирования. Создана подсистема пре- и постпроцессирования данных.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

- создана система автоматизации исследования прямых и обратных задач методом псевдообращения с использованием функций Грина;

- общая методика математического моделирования прямых и обратных задач динамики систем с распределенными параметрами предложенная В.В. Скопецким, В.А. Стояном и Ю.Г. Кривоносом применена к задачам моделирования процессов, которые сводятся к решению задач для эллиптических систем;

- построены множества функций, которыми с среднеквадратической точностью моделируется состояние систем, которые описываются дифференциальными уравнениями эллиптического типа;

- разработаны параллельные алгоритмы решения прямых и обратных задач моделирования систем, которые описываются линейными параболическими и эллиптическими уравнениями.

Ключевые слова: эллиптические уравнения, функция Грина, прямые и обратные задачи, псевдообращение, параллельные алгоритмы, программный комплекс.

ABSTRACT

Bohaienko V.O. Three-dimensional incomplete data problems automation. - Manuscript.

Dissertation thesis for a candidate degree on technical sciences on speciality 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. - V.M.Glushkov Institute of Cybernetics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2006.

Problems of development of numerical-analytical algorithms and software for solving direct and inverse three-dimensional problems of mathematical physics with incomplete data have been studied in the dissertation.

Set of mean-square solution functions for boundary and control problems has been built using pseudoinversion. Accuracy and uniqueness criterions have been built for researched systems solutions in the unlimited, partially limited and limited spatial domains. Sequential and parallel numerical-analytical algorithms have been developed and implemented in new mathematical modeling software. Pre- and postprocessing subsystem has been created.

Keywords: elliptic equations, Green function, direct and inverse problems, pseudoinversion, parallel algorithms, software.

Размещено на Allbest.ru