Алгебри Лі, асоційовані з силовськими р-підгрупами скінченних симетричних груп

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

РЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Алгебри Лі, асоційовані з силовськими р-підгрупами скінченних симетричних груп

Бондаренко Наталія Вячеславівна

Київ 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського

національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук

ОЛІЙНИК Андрій Степанович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, доцент кафедри

алгебри та математичної логіки, м. Київ.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

БОНДАРЕНКО Віталій Михайлович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу алгебри, м. Київ;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ЛЕОНОВ Юрій Григорович,

Одеська національна академія зв'язку

імені О.С. Попова, завідувач кафедри

інформаційних технологій, м. Одеса.

Провідна установаЛьвівський національний університет

імені Івана Франка, кафедра алгебри і логіки,

м. Львів.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка

за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник

АНОТАЦІЇ

Бондаренко Н.В. Алгебри Лі, асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена вивченню алгебр Лі, асоційованих з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп. Побудовано табличне зображення L_m алгебри Лі, асоційованої з нижнім центральним рядом силовської p-підгрупи симетричної групи степеня p^m, m N. На алгебру Лі L_m перенесено ряд технічних понять, визначених Л.А. Калужніним для силовської p-підгрупи симетричної групи степеня p^m, основними з яких є поняття висоти редукованого многочлена, характеристики таблиці і паралелотопічної підалгебри. В термінах характеристик описано нижній та верхній центральні ряди, ряд комутантів та eнгелевий ряд алгебри Лі L_m.

Введено до розгляду конструкцію вінцевого добутку L A_n довільної алгебри Лі L з n-вимірною абелевою алгеброю Лі A_n над полем F_p виходячи з класичного поняття напівпрямого добутку алгебр Лі. Доведено, що алгебра Лі L_m ізоморфна m-кратному вінцевому добутку одновимірних алгебр Лі. Описано алгебри Лі, асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп S_n, n N, в термінах вінцевих добутків одновимірних алгебр Лі.

Показано, що алгебра Лі L_m занурюється в алгебру Лі верхніх 0-трикутних матриць порядку p^m-1+1 і не може бути занурена в алгебру Лі верхніх 0-трикутних матриць меншого порядку. Побудовано занурення алгебри Лі верхніх 0-трикутних матриць, порядку m над полем F_p, в алгебру Лі L_m-1.

Ключові слова: алгебра Лі, вінцевий добуток, алгебра Лі асоційована з нижнім центральним рядом групи, паралелотопічна підалгебра, силовська p-підгрупа, симетрична група.

Бондаренко Н.В. Алгебры Ли, ассоциированные с силовскими p-подгруппами конечных симметрических групп. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

Диссертационная работа посвящена изучению алгебр Ли, ассоциированных с силовскими p-подгруппами конечных симметрических групп. Построена алгебра Ли L_m, m N, над полем F_p, элементами которой являются упорядоченные наборы редуцированных по модулю некоторого идеала многочленов над полем F_p, так называемые таблицы. На алгебру Ли L_m перенесено ряд технических понятий, определенных Л.А. Калужниным для силовских p-подгрупп симметрических групп степени p^m, главную роль в которых играет понятие высоты редуцированного многочлена. Используя понятие высоты многочлена, в алгебре Ли L_m определен класс параллелотопических подалгебр. Каждая такая подалгебра однозначно определяется своей характеристикой - некоторой последовательностью неотрицательных чисел. Доказано, что алгебра Ли, ассоциированная с силовской p-подгруппой симметрической группы степени p^m, m N, изоморфна алгебре Ли L_m. Таким образом, предложено изоморфное представление алгебр Ли, ассоциированных с силовскими p-подгруппами симметрических групп , m N, конечными наборами редуцированных многочленов над полем F_p.

Определены необходимые и достаточные условия, когда параллелотопическая подалгебра алгебры Ли L_m является идеалом. В терминах характеристик описаны нижний и верхний центральные ряды, ряд коммутантов и энгелевый ряд алгебры Ли L_m; доказано, что члены этих рядов являются параллелотопическими подалгебрами и найдены их характеристики.

Определено понятие сплетения L A_n произвольной алгебры Ли L с n-мерной абелевой алгеброй Ли A_n над полем F_p исходя из классического понятия полупрямого произведения алгебр Ли. Исследовано ряд основных свойств сплетения L A_n. Показанно, что операция сплетения алгебр Ли сохраняет нильпотентность и разрешимость. Доказано, что алгебра Ли L_m изоморфна m-кратному сплетению алгебр Ли размерности один. Описаны алгебры Ли, ассоциированные с силовскими p-подгруппами конечных симметрических групп S_n, n N в виде прямой суммы сплетения алгебр Ли размерности один.

Показано, что алгебра Ли L_m вкладывается в алгебру Ли верхних 0-треугольных матриц порядка p^m-1+1 и не может быть вложена в алгебру Ли верхних 0-треугольных матриц меньшего порядка. Построено вложение алгебры Ли верхних 0-треугольных матриц порядка m над полем F_p в алгебру Ли L_m-1.

Ключевые слова: алгебра Ли, сплетение, алгебра Ли ассоциированная с нижним центральным рядом группы, параллелотопическая подалгебра, силовская p-подгруппа, симметрическая группа.

Bondarenko N. V. Lie algebras associated with Sylow p-subgroups of finite symmetric groups. - Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of Candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2006.

Thesis is devoted to study of Lie algebras associated with Sylow p-subgroups of finite symmetric groups. The tableau representation L_m of the Lie algebras associated with the lower central series of Sylow p-subgroups of the symmetric groups of degree p^m, m N, is constructed. A number of notions defined by L.A. Kaloujnine for Sylow p-subgroups of symmetric groups of degree p^m, m N, such as the notions of the height of a reduced polynomial, the characteristic of a tableau and parallelotopic subalgebra are transferred on Lie algebras. The lower and the upper central series, the commutant series and the engel series are described in terms of characteristics.

The notion of the wreath product L A_n of arbitrary Lie algebra L with an abelian finite-dimensional Lie algebra over the field F_p is introduced. It is based on the classical notion of a semidirect product. A number of basic properties of the wreath product L A_n are investigated. It is proved that the Lie algebra associated with the Sylow p-subgroup of the symmetric group , is isomorphic to the m-iterated wreath product of one-dimensional Lie algebras over the field F_p. The Lie algebras associated with the Sylow p-subgroups of finite symmetric groups S_n, n N, is described in the form of the wreath product of Lie algebras.

It is shown that the Lie algebra L_m can be embedded to the Lie algebra of the upper 0-triangular matrices of the order p^m-1+1 over the field F_p and cannot be embedded to the Lie algebra of the upper 0-triangular matrices of smaller order. The embedding of the Lie algebra of the upper 0-triangular matrices of the order m over the field F_p to the Lie algebra L_m-1 is constructed.

Keywords: Lie algebra, wreath product, Lie algebra associated with the lower central series of a group, parallelotopic subalgebra, Sylow p-subgroup, symmetric group.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Ідея побудови кілець Лі, асоційованих з абстрактними групами, виникла у В. Магнуса Magnus W. Ьber Gruppen und zugeordnete Liesche Ringer // J. Reine Angew. Math. - 1940. - Vol. 182. - P. 142-149.. З тих пір ця конструкція широко застосовувалась у різноманітних розділах теорії груп і теорії про-скінченних груп Huppert B., Blackburn N. Finite groups II. - Berlin: Springer Verlag, 1982. - 531 c.. Багато властивостей груп відображені у властивостях відповідних їм алгебр Лі. Саме тому алгебри Лі, асоційовані з групами, стали важливим інструментом при дослідженні різноманітних проблем теорії груп. Одним з найбільш важливих результатів, отриманих за допомогою лієвих методів, є теорема E. Зельманова Zelmanov E.I. Lie ring methods in the theory of nilpotent groups // in Groups '93, Galway-St Andrews, London Math. Soc. Lecture Note Ser. - Cambridge: Camb. Univ. Press, 1995. - Vol. 212. - P. 567-585 ., яка стверджує, що коли алгебра Лі, асоційована з нижнім p-центральним рядом скінченно-породженої періодичної фінітно апроксимовної p-групи G, задовольняє поліноміальну тотожність, то група G є скінченною. Це дозволяє дати позитивну відповідь на одну з найбільш відомих проблем в теорії груп - послаблену проблему Бернсайда Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда. - М.: Наука, 1977. - 237 с.. Іншим прикладом успішного використання лієвої техніки є критерій аналітичності для про-p-груп знайдений M. Лазаром Lazard M. Groupes analytiques p-adiques // Inst. Hautes Лtudes Sci. Publ. Math. - 1965 . - Vol. 26. - P. 389-603..

Розв'язання Е. Зельмановим послабленої проблеми Бернсайда та розвинені при цьому методи сприяли подальшому розвитку теорії груп. Використання алгебр Лі, асоційованих з групами, дозволяє застосовувати лінійні методи в доведеннях і обчисленнях, здійснювати природне переформулювання теоретико-групових питань в лієвих термінах. При переході до розгляду алгебр Лі проблема, що досліджується в групах, як правило, спрощується, з'являється більше обчислювальних можливостей для її розв'язання. Лієві методи виявилися ефективними при вивченні Дж. Уілсоном, Е. Зельмановим, Ю. Мєдвєдєвим та іншими авторами групових тотожностей. Вони використовувались Г. Хігманом в теорії автоморфізмів з нерухомою точкою, Е. Зельмановим та А. Шалевим в теорії кокласів для p-груп і про-p-груп, при дослідженні строго нескінченних (just infinite) про-p-груп, дослідженні таких сучасних понять як розмірність Хаусдорфа і спектр про-p-груп Shalev A. Lie methods in the theory of pro-p groups // in New horizons in pro-p-groups (Marcus du Sautoy, Dan Segal, Aner Shalev, editors), Progr. Math. - Boston, MA: Birkhдuser Boston, 2000. - Vol. 184. - P. 1-54.. Алгебри Лі, асоційовані з групами, вивчалися в роботах Р.І. Григорчука та Л. Бартольді при дослідженні росту груп Bartholdi L., Grigorchuk R.I. Lie Methods in Growth of Groups and Groups of Finite Width // in Computational and Geometric Aspects of Modern Algebra (Edinburgh, 1998), London Math. Soc. Lecture Note Ser. - Cambridge: Camb. Univ. Press, 2000. - Vol . 275. - P . 1-27.. Було показано, що асимптотика ряду Гільберта-Пуанкаре деякої градуйованої алгебри Лі дає оцінку на ріст груп. Зокрема, це було використано при доведенні того, що в класі фінітно апроксимовних p-груп не існує групи з порядком росту між поліноміальним і . Алгебри Лі, асоційовані з групами, є цікавими також і самі по собі. Досліджена будова алгебр Лі, асоційованих з конкретними групами автоморфізмів однорідних кореневих дерев, групою Григорчука, Гупта-Сідкі, Гупта-Фабриковського Bartholdi L. Lie Algebras and Growth in Branch Groups // Pasific Journal of Mathematics. - 2005. - Vol. 218, № 1. - P . 241-282.. Використовуючи опис цих алгебр Лі, описані нормальні підгрупи групи Григорчука, показано, що група Григорчука має скінченну ширину, а група Гупта-Сідкі - нескінченну. Дослідження алгебр Лі, асоційованих з групами, є стандартною задачею при дослідженні довільного класу нільпотентно апроксимовних груп. Саме тому дослідженню алгебр Лі, що співставляються різноманітним групам, в наш час приділяється велика увага.

В дослідженнях алгебр Лі, асоційованих з групами, важливу роль відіграють алгебри Лі, асоційовані з p-групами. Особливим класом p-груп є силовські p-підгрупи симетричних груп, що відіграють в теорії скінченних p-груп таку ж роль, як симетричні групи в теорії груп, тобто кожна скінченна p-група є підгрупою силовської p-підгрупи певної симетричної групи. Силовські p-підгрупи P_m симетричних груп , m , вивчалися Л.А. Калужніним Kaloujnine L.A. La structure des p-groupes de Sylow des groupes symetriques finis // Ann. Sci de l'Ecole Norm. Super. - 1948. - Vol. 65, № 3. - P. 239-276., який запропонував так зване табличне зображення елементів цих груп та застосував його для дослідження основних властивостей цих груп. В.І. Сущанський Сущанський В.І. Вербальні підгрупи силовських p-підгруп скінченних симетричних груп // Вісник Київського університету. Серія: Математика, Механіка. - 1970. - Вип. № 12. - С. 134-141. описав вербальні підгрупи груп P_m, Ю.В. Дмитрук Дмитрук Ю.В. Строение силовской 2-подгруппы симметрической группы степени 2ⁿ // Укр. мат. журн. - 1978. - Т. 30, № 2. - С . 155-164. дослідив будову силовських 2-підгруп скінченних симетричних груп, Ю.В. Боднарчук Боднарчук Ю.В. Строение группы автоморфизмов силовской p-подгруппы симметрической группы (p 2) // Укр. мат. журн. - 1984. - Т. 36, № 6. - С. 688-694. дослідив групу автоморфізмів групи P_m (p>2). Силовські p-підгрупи симетричних груп , m , ізоморфні кратному вінцевому добутку циклічних груп порядку p. Операція вінцевого добутку груп є класичною операцією в теорії груп. Вінцевий добуток алгебр Лі був введений А.Л. Шмелькіним Шмелькин А.Л. Сплетения алгебр Ли и их применение в теории групп // Труды Московского математического общества. - 1973. - Т. 29. - С. 247-260. ще в 1973 році, проте застосування операції вінцевого добутку в теорії алгебр Лі на сьогоднішній день розглядались мало.

На основі всього вище сказаного природно виникає потреба дослідження алгебр Лі, асоційованих з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп. Зважаючи на зв'язки між групами і відповідними їм асоційованими алгебрами Лі, які було встановлено в роботах різних авторів, слід також вивчати поняття вінцевого добутку алгебр Лі, подібного до поняття вінцевого добутку груп.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з дослідженнями кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка, які ведуться в рамках науково дослідної теми “Теорія алгебраїчних систем та їх зображення і її застосування” (номер державної реєстрації 0197U003160).

Мета i задачi дослiдження. Дослідити будову алгебр Лі, асоційованих з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп. Охарактеризувати їх члени нижнього та верхнього центральних рядів, ряду комутантів, енгелевого ряду. Зобразити алгебри Лі, асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп, у вигляді вінцевого добутку алгебр Лі.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи комбінаторної теорії груп та теорії алгебр Лі, а також теорії многочленів над скінченними полями.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертаційній роботі одержано такі нові результати:

введено до розгляду новий клас алгебр Лі L_m над простим полем F_p характеристики p, елементами яких є трикутні набори редукованих многочленів над F_p, і встановлено, що алгебра Лі, асоційована з нижнім центральним рядом силовської p-підгрупи симетричної групи степеня p^m, ізоморфна алгебрі Лі L_m; описано нижній та верхній центральні ряди, а також ряд комутантів алгебри Лі, асоційованої з силовською p-підгрупою симетричної групи степеня p^m;

описано енгелевий ряд алгебри Лі, асоційованої з силовською p-підгрупою симетричної групи степеня p^m;

введено до розгляду конструкцію вінцевого добутку довільної алгебри Лі зі скінченно-вимірною абелевою алгеброю Лі над полем F_p в термінах напівпрямих добутків алгебр Лі;

доведено, що алгебра Лі, асоційована з нижнім центральним рядом силовської p-підгрупи симетричної групи степеня p^m, ізоморфна m-кратному вінцевому добутку одновимірних алгебр Лі;

доведено, що алгебра Лі, асоційована з силовською p-підгрупою симетричної групи степеня p^m, занурюється в алгебру Лі верхніх 0-трикутних матриць порядку p^m-1+1 над полем F_p і алгебра Лі верхніх 0-трикутних матриць порядку m над полем F_p занурюється в алгебру Лі L_m-1.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер. Запропонована в дисертації методика може бути застосована при дослідженні будови алгебр Лі, асоційованих з різними типами p-груп та про-p-груп, групами автоморфізмів однорідних кореневих дерев. Розроблена конструкція вінцевого добутку може бути використана при класифікації різноманітних алгебр Лі.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. Результати спільних статей викладені в другому та третьому розділі роботи. Співавтору, професору В.І. Сущансьому, належать постановка задач, доведення леми 2.3, твердження 2.4, теореми 3.6 отримані при рівному вкладі авторів.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертації доповідалися на семінарі “Теорія груп та напівгруп” у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (2001 - 2006), на алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка, а також на конференціях: V Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Одеса, 2005 р.); Міжнародній алгебраїчній конференції “Классы групп и алгебр” (м. Гомель, Білорусь, 2005 р.); Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2006 р.).

Публікації. Основні результати дисертації викладено в 4 наукових статтях, опублікованих в журналах, що входять до переліку наукових фахових видань ВАК України, та у 3 тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях. Список публікацій наведено в кінці автореферату.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 126 сторінок друкованого тексту. Список використаних джерел обсягом 5 сторінок містить 49 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

алгебра лі числення многочлен

У вступі сформульовано мету та задачі дисертаційної роботи, викладено основні результати дослідження.

У першому розділі наведено визначення основних понять та формулювання відомих результатів, які використовуються в дисертаційній роботі.

Підрозділ 1.1 містить основні означення та результати щодо комутаторного числення в групах та алгебрах Лі.

Нехай G - деяка група. Послідовність нормальних підгруп групи G називається N-рядом (або строгою центральною фільтрацією) цієї групи, якщо

для всіх m,n=1,2,….

Кожен N-ряд є центральним рядом групи G, тобто Зокрема, всі фактори є абелевими групами.

Одним із прикладів N-ряду групи G є її нижній центральний ряд.

В підрозділі 1.2 наводяться основні означення та найбільш відомі результати, що стосуються алгебр Лі, асоційованих з N-рядами груп, та результати щодо зв'язку між групами та асоційованими алгебрами Лі.

Нехай - N-ряд групи G. Тоді кільце Лі, асоційоване з цим рядом, є прямою сумою його факторів Lazard M. Sur les groupes nilpotents et les anneaux de Lie // Annal Sci de l'Ecole Norm. Super. - 1954. - Vol. 71, № 3. - P. 101-190. з дужкою Лі, яка визначена на однорідних елементах, прямої суми рівністю а на довільні елементи із L(G) поширюється по лінійності.

Нехай F_p - поле лишків за простим модулем р. Якщо кожна фактор-група G_n /G_n+1 (n=1,2,...) є елементарною абелевою p-групою для фіксованого простого числа p, то кожен з факторів, а отже, і все кільце L(G), можна ототожнити з адитивною групою векторного простору відповідної розмірності над полем F_p. В цьому випадку можна ввести додатково операцію множення елементів L(G) на елементи поля F_p, що перетворює кільце L(G) на алгебру Лі над полем F_p.

Підрозділ 1.3 присвячено конструкції вінцевого добутку груп підстановок.

Нехай (G,X) - група підстановок на множині X, Н - деяка абстрактна група. Вінцевим добутком групи підстановок (G,X) з групою H називається група (G,X) H, елементами якої є всі найможливіші пари вигляду [g,f(x)], де g G, а f(x) - це функція з X в H, а f(x) H^X з дією множення, визначеною рівністю де для довільного x X.

Якщо H є групою підстановок на множині Y, то вінцевий добуток (G,X) H також можна розглядати як групу підстановок на множині XY. Дія (G,X) H на XY задається правилом: для довільних uX, vY та довільного елемента [g,f(x)] (G,X) H.

Вінцевий добуток груп підстановок є асоціативною операцією на класі всіх груп підстановок. Це дозволяє для довільної скінченної послідовності (G₁,X₁),(G₂,X₂), .... ,(G_k,X_k) груп підстановок визначити кратний вінцевий добуток, незалежно від способу розміщення дужок. Тому вінцевий добуток є групою підстановок на множині X₁X₂ … X_k.

В підрозділі 1.4 розглянуто теорію силовських p-підгруп симетричних груп степеня p^m, mN, та двох типів класичних лінійних груп: повної лінійної групи та спеціальної лінійної групи над скінченним простим полем.

Силовська p-підгрупа P_m симетричної групи , mN, розкладається у вінцевий добуток m циклічних груп порядку p. Як показав Л.А. Калужнін Калужнин Л. А. Избранные главы теории групп. - К.: КГУ, 1979. - 52 с., група P_m ізоморфна групі трикутних таблиць вигляду

де a₁ F_p, - редукований за модулем ідеалу I_k,p =-x_1, -x_{2, …,} -x_k многочлен над полем F_p. Зображення елементів групи P_m такими таблицями називається табличним зображенням.

Добутком двох таблиць u та v групи P_m, що задані відповідно координатами a_i(x₁,…,x_i-1) та b_i(x₁,…,x_i-1) є таблиця w з координатами a_i(x₁,…,x_i-1)+b_i(x₁+a₁,…,x_i-1+a_i-1(x₁,…,x_i-2)), i=1,2,…,m, де всі координати добутку зводяться до редукованого вигляду.

Завдяки такому зображенню була досліджена будова групи P_m, зокрема описаний верхній та нижній центральні ряди цієї групи. Показано, що група P_m є нільпотентною класу p^m-1. Крім того, фактори _k(P_m) / _k+1(P_m) нижнього центрального ряду групи P_m є елементарними абелевими p-групами.

Далі розглядається група унітрикуних матриць UT(n,p), яка є силовською p-підгрупою двох типів класичних лінійних груп над полем F_p: повної лінійної групи GL(n,p) та спеціальної лінійної групи SL(n,p) Супруненко Д.А. Группы матриц. - М.: Наука, 1972. - 325 с..

В підрозділі 1.5 наводяться необхідні відомості про вінцевий добуток елементарних абелевих p-груп.

Елементи групи, m-кратного вінцевого добутку елементарної абелевої p-групи рангу n, мають табличне зображення вигляду Сущанский В. И. Сплетения элементарных абелевых групп // Математические заметки. - 1972. - Т. 11, № 1. - С. 61-72.

де на перетині i-того рядка та k-того стовпчика, тобто (i,k)-тій координаті, стоїть многочлен a_ik(x₁₁,...,x_1n,...,x_k-1,1,...,x_k-1,n)

редукований за модулем ідеалу -x₁₁,...,-x_1n,…,-x_k-1,1,…,-x_k-1,n над полем F_p.

Добутком двох таблиць з координатами та є відповідно таблиця з координатами

Використовуючи таке табличне зображення В.І. Сущанським були описані характеристичні підгрупи групи P_m,n, зокрема нижній та верхній центральні ряди цієї групи.

Другий роздiл дисертаційної роботи присвячено дослідженню алгебри Лі, асоційованої з нижнім центральним рядом силовської p-підгрупи симетричної групи степеня p^m.

В підрозділі 2.1 будується зображення алгебри Лі, асоційованої з нижнім центральним рядом силовської p-підгрупи симетричної групи , трикутними наборами редукованих многочленів над полем F_p, так званими таблицями.

Розглядається множина L_m трикутних таблиць вигляду

де - редукований за модулем ідеалу многочлен над полем F_p. Такі многочлени назвемо (p,0)-редукованими. Многочлен називається k-тою координатою таблиці u і позначається символом {u}_k.

На множині L_m вводяться наступні операції:

Сумою таблиць u, v L_m будемо називати таблицю u+v з координатами

(k=1,2,…,m).

Добутком таблиці u L_m на елемент F_p будемо називати таблицю u з координатами

(k=1,2,…,m).

(iii) Дужкою Лі таблиць u,v L_m будемо називати таблицю (u,v) з координатами

Теорема 2.1 Множина L_m всіх трикутних таблиць (p,0)-редукованих многочленів над полем F_p, що мають довжину m, відносно визначених вище операцій (i) - (iii) є алгеброю Лі над полем F_p.

Теорема 2.2 Алгебра Лі L(P_m), асоційована з нижнім центральним рядом групи P_m, ізоморфна алгебрі Лі L_m.

В групі P_m верхній та нижній центральні ряди збігаються. Тому алгебра Лі, асоційована з довільним N-рядом групи P_m, ізоморфна алгебрі Лі L_m.

При дослідженні алгебри Лі L_m можна використовувати поняття аналогічні тим, що використовувалися Л.А. Калужніним при дослідженні групи P_m.

Висотою ненульового одночлена (0 k_i p-1, i=1,2,…,s) називається число

Висотою h(f) редукованого многочлена f(x₁,…,x_s) називається найбільша із висот його одночленів. Будемо також вважати, що висота нульового многочлена рівна 0.

Цілочисельний вектор для таблиці u L_{m б}удемо називати характеристикою таблиці u.

На множині характеристик таблиць алгебри Лі L_m вводиться частковий порядок покоординатного порівняння. Якщо =<h₁,h₂,…,h_m>, '=<h₁',h₂',…,h_m'> дві характеристики, то покладемо ', якщо h_i h_i' для всіх i=1,2,…,m. Вектор <1,p,p²,…,p^m-1> є максимальним, а вектор <0,0,…,0> мінімальним відносно таким чином введеного порядку.

Підалгебра U L_m називається паралелотопічною, якщо для довільних таблиць u, v L_m із того, що u U і h(v) h(u), випливає, що v U.

Кожна паралелотопічна підалгебра U однозначно визначається вектором який будемо називати її характеристикою.

Паралелотопічна підалгебра з характеристикою h складається з всіх можливих таблиць, характеристики яких не перевищують h в сенсі порядку покоординатного порівняння.

Наступна лема встановлює оцінки на висоти координат таблиць, що отримані в результаті застосування дужки Лі в алгебрі Лі L_m.

Лема 2.3 Для довільних таблиць u,v L_m справедливі співвідношення:

(i) якщо i<k, то ;

(ii) h({(u,v)}_k) max(h({u}_k),h({v}_k))-1, причому для довільної таблиці u L_m існує таблиця v L_m така, що h({(u,v)}_k)=h({u}_k)-1.

Твердження 2.4 Паралелотопічна підалгебра I з характеристикою є ідеалом в L_m тоді і тільки тоді, коли для кожного i l+1 справедлива нерівність h_i p^i-1-p^l, l 0.

Твердження 2.5 Якщо H₁ і H₂ - паралелотопічні підалгебри алгебри Лі L_m, то їх взаємний

комутант (H₁,H₂) є паралелотопічною підалгеброю алгебри Лі L_m.

В підрозділах 2.2 - 2.4 описано в термінах характеристик верхній та нижній центральні ряди, ряд комутантів та енгелевий ряд алгебри Лі L_m.

Теорема 2.6 k-тий член _k(L_m) (k 1) нижнього центрального ряду алгебри Лі L_m є паралелотопічною підалгеброю з характеристикою

де (p^s-k+1)⁺ = max{0, p^s-k+1} (0 s m-1).

Як наслідок одержуємо, що алгебра Лі L_m є нільпотентною класу p^m-1.

Теорема 2.7 k-тий член _k(L_m) (k 0) верхнього центрального ряду алгебри Лі L_m є паралелотопічною підалгеброю з характеристикою

де t_i^(k)=(p^i-1-p^m-1+k)⁺=max{0, p^i-1-p^m-1+k} (1 i m).

З теорем 2.6 та 2.7 випливає, що верхній та нижній центральні ряди алгебри Лі L_m збігаються і для довільного k=1,2,…,p^m-1+1 має місце рівність.

Теорема 2.8 k-тий член (k 1) ряду комутантів алгебри Лі L_m є паралелотопічною підалгеброю з характеристикою де h_l=p^l-1-p^k-1 ( l=k+1,…,m).

Як наслідок одержуємо, що алгебра Лі L_m є розв'язною ступеня m, та, враховуючи теорему 2.6, маємо, що k-тий комутант (k 1) алгебри Лі L_m збігається з (p^k-1+1)-шим членом її нижнього центрального ряду.

Теорема 2.9 k-тий член E_k(L_m) (k 0) енгелевого ряду алгебри Лі L_m є паралелотопічною підалгерою з характеристикою де (p^s-k+1)⁺ = max{0, p^s-k+1} (0 s m-1). З цієї теореми випливає, що алгебра Лі L_m є енгелевою алгеброю Лі довжини p^m-1 та, враховуючи теорему 2.6, k-й член (k 0) енгелевого ряду алгебри Лі L_m збігається з (k+1)-шим членом її нижнього центрального ряду.

Третій розділ дисертації присвячений дослідженню операції вінцевого добутку алгебр Лі над полем F_p та зображенню алгебр Лі, асоційованих з нижнім центральним рядом силовських p-підгруп скінченних симетричних груп , m N, та S_n, n N, у вигляді вінцевих добутків одновимірних алгебр Лі.

В підрозділі 3.1 вводиться визначення вінцевого добутку довільної алгебри Лі зі скінченно-вимірною абелевою алгеброю Лі над полем F_p.

Нехай L деяка алгебра Лі над полем F_p, A_n - n-вимірна абелева алгебра Лі над полем F_p.

Розглянемо алгебру Лі многочленів від n змінних над L, степінь яких не більший за p-1 по кожній змінній. Операції додавання, множення на елементи поля F_p для многочленів з визначаються природним чином. Дужка Лі одночленів цієї алгебри визначається таким чином:

По лінійності дужка Лі визначається для всіх поліномів.

Надалі зафіксуємо деякий базис n-вимірної абелевої алгебри Лі A_n над полем F_p. В цьому базисі кожен елемент A_n можна однозначно подати у вигляді =₁e₁+…+_ne_n, де _i Fp, i = 1,2,…,n. Будемо записувати елементи A_n у вигляді =(₁,…,_n).

Твердження 3.2 Кожному відображенню f: A_n L відповідає єдиний многочлен q(x₁,...,x_n) над L, степінь якого не більший за p-1 по кожній змінній, такий, що f()=q((₁,..., _n)), де =(₁,...,_n) A_n.

Таким чином, існує бієкція між множиною всіх відображень f: A_n L і множиною всіх многочленів від n змінних над L, степінь яких не більший за p-1 по кожній змінній. Тому структура алгебри Лі визначає структуру алгебри Лі на множині всіх відображень f: A_n L. А саме, операції додавання, множення на елементи поля F_p і дужка Лі ( , ) для відображень f₁,f₂: A_n L визначаються як відповідні операції для поліномів q₁, q₂ алгебри Лі , що їм відповідають. Позначимо цю алгебру Лі як Fun(A_n,L).

Нехай f Fun(A_n,L). Позначимо через f' похідну полінома f, що визначається таким чином:

Твердження 3.3 Для кожного =(₁,...,_n) A_n відображення D: Fun(A_n,L) Fun(A_n,L), визначене правилом є диференціюванням.

Визначимо відображення з алгебри Лі A_n в алгебру Лі диференціювань (Fun(A_n,L)) алгебри Лі Fun(A_n,L), задане правилом:

Відображення є гомоморфізмом.

Напівпрямий добуток алгебри Лі A_n з алгеброю Лі Fun(A_n,L), що відповідає гомоморфізму , назвемо вінцевим добутком алгебри Лі L з A_n і позначимо L A_n. Отже, L A_n:=A_n ? Fun(A_n,L) ={[a,f]| a A_n, f Fun(A_n,L)} з дужкою Лі, де ?₁, ? ₂ A_n, f₁, f₂ Fun(A_n,L).

В підрозділі 3.2 встановлюються основні властивості вінцевого добутку алгебр Лі.

Підмножина алгебри Лі L A_n елементів вигляду [a,e], де e()=0_L для довільного A_n і 0_L -нульовий елемент алгебри L, утворює підалгебру В, що ізоморфна A_n. Підмножина H елементів вигляду [0,f], де 0 - нульовий елемент алгебри Лі A_n, є підалгеброю алгебри Лі L A_n, що ізоморфна Fun(A_n,L).

Нехай H Fun(A_n,L) - деяка підмножина. Позначимо [0,H] підмножину {[0,f] | f H} алгебри Лі L A_n.

Твердження 3.5 Нехай Z(L) - центр алгебри Лі L, тоді

Z(L A_n)=[0,Z(L)],

де елементи Z(L) розглядаються як многочлени-константи алгебри Лі Fun(A_n,L).

Теорема 3.6 Нехай L - розв'язна алгебра Лі ступеня l. Тоді L A_n є розв'язною алгеброю Лі ступеня l+1.

Теорема 3.7 Нехай L - нільпотентна алгебра Лі класу l. Тоді алгебра Лі L A_n є нільпотентною класу ld, де d=n(p-1)+1.

Підрозділи 3.3 та 3.4 присвячені зображенню алгебр Лі, асоційованих з нижніми центральними рядами силовських p-підгруп скінченних симетричних груп та S_n (m, n N), у вигляді вінцевого добутку одновимірних алгебр Лі.

Використовуючи табличне зображення алгебри Лі L_m, побудоване в підрозділі 2.1, доводиться така теорема.

Теорема 3.8 Алгебра Лі L_m ізоморфна m-кратному вінцевому добутку одновимірних алгебр Лі A₁.

Нехай S_n - група всіх підстановок на множині з n елементів, де

Силовська p-підгрупа симетричної групи S_n ізоморфна прямому добутку Сущанський В.I., Сікора В.С. Операції на групах підстановок. Теорія та застосування. - Чернівці: Рута, 2003. - 256 c.

Теорема 3.10 Алгебра Лі, асоційована з нижнім центральним рядом силовської p-підгрупи групи S_n, ізоморфна

Четвертий розділ дисертації присвячено алгебрам Лі, асоційованим з деякими матричними p-групами.

В підрозділі 4.1 встановлено зв'язок алгебри Лі L_m та алгебри Лі, асоційованої з нижнім центральним рядом групи унітрикутних матриць UT(n,p).

Нехай T(n,p) - алгебра Лі верхніх 0-трикутних матриць порядку n над полем F_p, тобто матриць, у яких елементи вище головної діагоналі є довільними елементами поля F_p, а всі інші елементи нульові. Коротко позначимо 0-трикутну матрицю алгебри Лі T(n,p) символом ||a_ij||_j>i.

Теорема 4.2 Алгебра Лі L(UT(n,p)), асоційована з нижнім центральним рядом групи унітрикутних матриць UT(n,p), ізоморфна алгебрі Лі T(n,p).

Теорема 4.3 Алгебра Лі L_m занурюється в алгебру Лі верхніх 0-трикутних матриць T(n,p), де n=p^m-1+1. Крім того, для довільного точного зображення : L_m T(n,p) має місце нерівність n p^m-1+1.

Теорема 4.4 Алгебра Лі T(m,p) занурюється в алгебру Лі L_m-1 так, що її образ при такому зануренні складається з усіх таблиць, компоненти яких є многочленами першого степеня. При цьому ізоморфізмом буде відповідність

В підрозділі 4.2 вивчаються алгебри Лі, асоційовані з нижнім центральним рядом вінцевих добутків елементарних абелевих груп.

Розглядається множина L_m,n таблиць вигляду

де c_i1 F_p і c_ik(x₁₁,...,x_1n,...,x_k-1,1,...,x_k-1,n) - редукований за модулем ідеалу (i=1,...,n; k=2,...,m) многочлен над полем F_p.

Додавання, множення на елементи поля F_p і дужку Лі ( , ) для таблиць u, v L_m,n визначимо такими рівностями (1 i n, 1 k m):

(i);

(ii), F_p;

(iii)

Множина L_m,n відносно визначених операцій (i) - (iii) утворює алгебру Лі над полем F_p.

Використовуючи табличне зображення групи P_m,n в наступному твердженні побудоване табличне зображення алгебри Лі, асоційованої з нижнім центральним рядом групи P_m,n.

Теорема 4.6 Алгебра Лі L(P_m,n), асоційована з нижнім центральним рядом групи P_m,n, ізоморфна алгебрі Лі L_m,n.

Підрозділ 4.3 присвячений зображенню алгебри Лі, асоційованої з нижнім центральним рядом групи P_m,n, у вигляді вінцевих добутків алгебр Лі. Основним результатом тут є наступна теорема.

Теорема 4.7, де A_n - абелева алгебра Лі розмірності n над полем F_p.

Як наслідок, враховуючи теореми 3.6 та 3.7, одержуємо, що алгебра Лі L_m,n - нільпотентна класу d^m-1 та розв'язна ступеня m.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджуються алгебри Лі, асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп.

Введено до розгляду новий клас алгебр Лі L_m, m N, над полем F_p, елементами яких є так звані трикутні таблиці редукованих многочленів над F_p. Доведено, що алгебра Лі, асоційована з силовською p-підгрупою симетричної групи степеня p^m, m N, ізоморфна алгебрі Лі L_m, m N. Таке табличне зображення дозволило перенести на алгебру Лі, асоційовану з силовською p-підгрупою симетричної групи , ряд технічних понять, визначених Л.А. Калужніним для силовских p-підгруп симетричних груп степеня p^m, основними з яких є поняття висоти редукованого многочлена, характеристики таблиці і паралелотопічної підалгебри. Визначені необхідні і достатні умови, коли паралелотопічна підалгебра є ідеалом. Описано верхній та нижній центральні ряди, ряд комутантів та енгелевий ряд алгебр Лі, асоційованих з силовськими p-підгрупами симетричних груп степеня p^m, m N, а саме показано, що члени цих рядів є паралелотопічними підалгебрами та знайдено їх характеристики.

Введено до розгляду конструкцію вінцевого добутку L A_n довільної алгебри Лі L з n-вимірною абелевою алгеброю Лі A_n над полем F_p виходячи з класичного поняття напівпрямого добутку алгебр Лі. Досліджено ряд основних властивостей вінцевого добутку L A_n. Зокрема, встановлено, що коли алгебра Лі L є нільпотентною класу l, то алгебра Лі L A_n є нільпотентною класу ld, де d=n(p-1)+1. Крім того, коли L - розв'язна алгебра Лі ступеня l, то L A_n є розв'язною алгеброю Лі ступеня l+1. Доведено, що алгебра Лі L_m ізоморфна m-кратному вінцевому добутку одновимірних алгебр Лі. Охарактеризовано алгебри Лі, асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп S_n, n N, в термінах вінцевих добутків одновимірних алгебр Лі.

Показано, що алгебра Лі L_m занурюється в алгебру Лі верхніх 0-трикутних матриць порядку
p^m-1+1 над полем F_p і не може бути занурена в алгебру Лі верхніх 0-трикутних матриць меншого порядку. Побудовано занурення алгебри Лі верхніх 0-трикутних матриць, порядку m над полем F_p, в алгебру Лі L_m-1.

Запропонована в дисертаційній роботі методика може бути застосована при дослідженні алгебр Лі, асоційованих з різними типами p-груп та про-p-груп, групами автоморфізмів однорідних кореневих дерев. Розроблена конструкція вінцевого добутку може бути використана при класифікації різноманітних алгебр Лі.

Автор висловлює щиру подяку професору Віталію Івановичу Сущанському та науковому керівнику Олійнику Андрію Степановичу за постановку задач, постійну увагу і підтримку в роботі.

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.Sushchansky V.I., Netreba N.V. Wreath product of Lie algebras and Lie algebras associated with Sylow p-subgroups of finite symmetric groups // Algebra and Discrete Mathematics. - 2005. - № 1. - P. 122-132.

2.Сущанский В.И., Нетреба Н.В. Алгебры Ли, ассоциированные с силовскими p-подгруппами конечных симметрических групп // Математичні Студії. - 2005. - Т. 24. - С. 127-138.

3.Нетреба Н.В. Енгелеві ряди алгебр Лі асоційованих з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп // Вiсник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2005. - Вип. 4. - С. 47-51.

4.Бондаренко Н.В. Алгебри Лі асоційовані з силовськими p-підгрупами деяких класичних лінійних груп // Вiсник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2006. - Вип. 2. - С. 21-27.

5.Netreba N.V., Sushchansky V.I. Lie algebras associated with Sylow p-subgroups of finite symmetric groups // 5th International Algebraic Conference in Ukraine (July 20-27, 2005). - Odessa, 2005. - P. 142.

6.Netreba N.V., Sushchansky V.I. Wreath product of Lie algebras and Lie algebras associated with Sylow p-subgroups of finite symmetric groups // Международная алгебраическая конференция “Классы групп и алгебр” (5-7 октября 2005 г.). - Гомель, Беларусь, 2005. - P. 20-21.

7.Бондаренко Н.В. Алгебри Лі нуль-трикутних матриць та алгебри Лі асоційовані з силовськими p-підгрупами скінченних симетричних груп // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука (18-20 травня 2006 р.). - Київ, 2006. - С. 338.

Размещено на Allbest.ru