Алгебри з додатковими структурами та їх зображення

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

математичний аналіз

АЛГЕБРИ З ДОДАТКОВИМИ СТРУКТУРАМИ ТА ЇХ ЗОБРАЖЕННЯ

СТРІЛЕЦЬ Олександр Вікторович

Київ 2002

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота належить до одного з напрямків сучасного аналізу - теорії зображень алгебр з додатковими структурами операторами в гільбертовому просторі. Ця теорія має різноманітні застосування в математичній фізиці, аналізі, топології тощо. Зокрема, вона знаходить застосування при побудові моделей теоретичної фізики; в теорії квантових однорідних просторів і їх застосуваннях для побудови точних розв'язків диференціальних рівнянь у частинних похідних; при вивченні аніонних статистик та їх застосуваннях, зокрема до вивчення дробового квантового ефекту Хола; при побудові символів оборотності сингулярних інтегральних операторів; при вивченні певних класів несамоспряжених операторів; при побудові топологічних інваріантів вузлів тощо.

У дисертаційній роботі вивчаються алгебри з такими додатковими структурами, які дозволяють розглядати її зображення в гільбертових просторах операторами (обмеженими чи необмеженими), і вивчаються властивості таких зображень. Техніка функціонального аналізу і теорії операторів у гільбертовому просторі застосовується до вивчення алгебр, відповідних операторних алгебр та їх зображень.

Структурами такого типу є інволюція ($*$-алгебри), виділення твірних і співвідношень (скінченнопороджені алгебри та скінченнозадані алгебри), операторна структура (абстрактні операторні алгебри), топологія (топологічні, полінормовані, банахові алгебри та інші), а також комбінації цих структур ($C^*$-алгебри, скінченнопороджені $*$-алгебри, топологічні $*$-алгебри тощо). Зображення відповідних алгебр розглядаються узгодженими з цими структурами, що звужує множину зображень, але дозволяє проводити більш детальне їх вивчення. Крім того, факти теорії зображень, узгоджених з такими додатковими структурами, можуть бути застосовані до вивчення самої алгебри (вже без додаткової структури в ній) та її зображень.

Перші результати з теорії зображень, зокрема теорії зображень $*$-алгебр, були одержані в кінці XIX -- на початку XX сторіччя Г. Фробеніусом, І. Шуром, В. Бернсайдом, Ф. Е. Моліним та іншими.

Для групових алгебр $*$-структура виділяє унітарні зображення відповідних груп. Розвиток теорії зображень $*$-алгебр у 30-60 рр. XX сторіччя обумовлений значною мірою застосуваннями у теорії унітарних зображень груп і пов'язаний з вивченням самоспряжених операторних алгебр, зокрема $C^*$-алгебр та $W^*$-алгебр (Дж. фон Нейман, Дж. Діксм'є, І.М. Гельфанд, М.А. Наймарк, Д.А. Райков, А.А. Кирилов, І. Сігал та інші).

Подальший розвиток теорії зображень $*$-алгебр пов'язаний з відкриттям у 80-х рр. квантових груп і квантових однорідних просторів (В.Г. Дрінфельд, М. Джимбо, С. Воронович, Л.Д. Фадєєв, С. Клімек, А. Лісневський та інші) та їх застосуваннями у моделях математичної фізики, теорії спеціальних функцій, моделях $q$-квантової механіки, квантової теорії поля (Б. Зуміно, Дж. Весс, Е. Віттен, А.У. Клімик та інші).

Сучасні роботи по теорії зображень $*$-алгебр значною мірою присвячені вивченню алгебр, заданих твірними і співвідношеннями, та їх зображень. Значна кількість прикладів таких $*$-алгебр пов'язана з деформаціями класичних співвідношень квантової механіки (А. Макфарлейн, Л. Біеденхарн, С. Воронович, К. Шмюдген, П. Йоргенсен, Д. Б. Фарлі та інші), аніонними статистиками (Г. Голдін, В. Шарп, Р. Менікофф та інші) і їх застосуваннями, зокрема до дробового квантового ефекту Хола (Р. Логлін, Ф. Вілчек, Б. Халперін, И. Чен, Е. Віттен та інші). Цікаві приклади $*$-алгебр та їх зображень, пов'язані з теорією вузлів, вивчалися у роботах В. Джонса (1980-2000 рр.). В роботах С.А. Кругляка, В.І. Рабановича, Ю.С. Самойленко (2000-і рр.) розв'язуються задачі опису зображень алгебр, які породжені скінченною кількістю самоспряжених ідемпотентів, сума яких кратна одиниці. У дисертаційній роботі (другий розділ) вивчаються деякі скінченнозадані алгебри, інволюції в них та їх зображення.

У 90-x рр. XX сторіччя почала розвиватися теорія абстрактних операторних просторів, алгебр та модулів (Е. Еффрос, З.-Дж. Руан, Д. Блетчер, В. Полсента інші). Як і теорії $C^*$-алгебр та $W^*$-алгебр ця теорія дає абстрактний підхід до вивчення алгебр обмежених операторів у гільбертовому просторі, але дозволяє також вивчати і несамоспряжені підалгебри (та підпростори) алгебри всіх обмежених операторів у гільбертовому просторі. У дисертаційній роботі (перший розділ) вивчаються операторні просторові модулі.

Разом з теорією операторних алгебр і зображень $*$-алгебр обмеженими операторами розвивається та застосовується теорія алгебр необмежених операторів та теорія зображень $*$-алгебр необмеженими операторами (Е. Нельсон, Р. Гудман, М. Флато, Р. Пауерс, Дж. Сімон, К. Шмюдген, А. Іню, А. Малліос, М. Фраголопулота інші).

У теорії зображень як обмеженими, так і необмеженими операторами, одним з важливих питань є питання існування точного зображення даної алгебри. Відома теорема Гельфанда-Наймарка дає необхідні та достатні умови того, щоб банахова $*$-алгебра була ізоморфною самоспряженій рівномірно замкненій алгебрі обмежених операторів. Аналог теореми Гельфанда-Наймарка у випадку несамоспряжених нормованих алгебр можна отримати з теореми Еффроса-Руана. В теорії зображень необмеженими операторами $*$-алгебр ці питання вивчені недостатньо. В дисертаційній роботі (третій розділ, підрозділи 3.1 та 3.2) вивчаються зображення необмеженими операторами $*$-алгебр, зокрема питання про існування точного зображення необмеженими операторами.

У випадках одного оператора та зображень груп Лі важливим питанням є питання щільності просторів аналітичних, цілих, обмежених векторів. Ці питання досліджуються в роботах І.М. Гельфанда, Е. Нельсона, Р. Гудмана, М. Флато, Дж. Сімона та інших математиків. У дисертаційній роботі (третій розділ, підрозділ 3.3) вводяться простори <<гладких>> векторів для зображення $*$-алгебри необмеженими операторами, аналогічні просторам аналітичних, цілих, обмежених векторів для необмеженого оператора або зображення групи Лі, вивчається питання про щільність таких просторів.

Все зазначене вище свідчить про актуальність теми дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з дослідженнями відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України за темою <<Спектральна теорія операторів та їх застосування до задач математичної фізики>> (номер державної реєстрації 0101v000321).

Мета і задачі дослідження:

*Знайти умови того, що гільбертів простір $\mathcal{H}$, в якому задана операторна структура (так званий гільбертіан), є лівим операторним модулем над операторною алгеброю ${\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$ всіх обмежених операторів у ньому (з дією $a\cdot{v}=a(v)$, де $a\in{\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$, $v\in\mathcal{H}$).

*Побудувати лінійні базиси алгебр, породжених скінченною кількістю ідемпотентів, сума яких кратна одиниці. Довести існування точного зображення $*$-алгебри, породженої $4$ проекторами, сума яких дорівнює $2$.

*Дослідити питання про існування точного зображення $*$-алгебри необмеженими операторами.

*Ввести поняття простору <<гладких>> векторів для зображення $*$-алгебри необмеженими операторами. Дослідити їх властивості, дослідити питання про щільність таких просторів.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі застосовуються методи теорії асоціативних алгебр, що задані твірними та визначальними співвідношеннями, зокрема техніка побудови базису Грьобнера; методи функціонального аналізу, зокрема теорії операторів (обмежених та необмежених), теорії абстрактних операторних алгебр, теорії алгебр необмежених операторів тощо.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі отримані такі нові результати:

*Наведені критерії того, щоб гільбертіан був ізоморфним стовпчиковому гільбертіану.

*Доведено, що гільбертіан $\mathcal{H}$ є лівим операторним модулем над операторною алгеброю ${\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$ (з дією $a\cdot{v}=a(v)$, де $a\in{\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$, $v\in\mathcal{H}$) тоді і тільки тоді, коли він цілком ізоморфний стовпчиковому гільбертіану. Більш того, він є лівим стискаючим операторним модулем над ${\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$ (з тією ж самою дією) тоді і тільки тоді, коли він цілком ізометричний стовпчиковому гільбертіану.

*Доведено, що базисом алгебри $\mathbb{C}\langle\, {q_1},\dots,{q_n} \,\vert\,{q_k^2=q_k}, \sum\limits_{k=1}^n{q_k}=\lambda{e}\,\rangle $ при $n\geqslant4$ і довільному $\lambda$ є множина всіх слів в алфавіті $\{q_k\}_{k=1}^{n-1}$, які не містять у якості підслів елементів множини

$\{ q_k^2,\: k=1,\ldots,n-1;\: q_{n-1}q_{n-2};\: q_{n-1}q_{n-3}q_{n-2} \}.$

Доведено, що при $n\geqslant5$ вона не є алгеброю з поліноміальними тотожностями.

*Доведено, що алгебра $\mathbb{C}\langle\,{q_1},\dots,{q_4}\,\vert\,{q_k^2=q_k}, \sum\limits_{k=1}^4{q_k}=2{e}\,\rangle $ є $F_4$-алгеброю і має точне зображення обмеженими операторами.

*Доведена необхідна умова існування точного зображення $*$-алгебри необмеженими операторами.

*Введено поняття $\sigma $-обмеженого зображення $*$-алгебри. Наведено критерій існування точного $\sigma $-обмеженого зображення $*$-алгебри. Доведено існування точного $\sigma $-обмеженого зображення обгортуючої алгебри алгебри Лі компактної групи Лі.

*Введено поняття сумісних <<гладких>> векторів для скінченної сім'ї необмежених операторів та для зображення $*$-алгебри необмеженими операторами. Досліджені деякі властивості просторів таких векторів. Наведені приклади сімей операторів, для яких: сумісні обмежені вектори є щільними; сумісні цілі вектори є щільними, але обмежені складаються тільки з нульового вектора; сумісні аналітичні вектори є щільними, але цілі складаються тільки з нульового вектора; аналітичні складаються тільки з нульового вектора, але вектори, що є обмеженими для кожного з операторів сім'ї, є щільними.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані при вивченні операторних модулів та абстрактних операторних алгебр, $*$-алгебр, заданих твірними та визначальними співвідношеннями, їх зображень обмеженими і необмеженими операторами та їх застосувань.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися: на засіданнях семінару <<Алгебраїчні питання функціонального аналізу>> в Інституті математики НАН України, на засіданні Київського семінару з функціонального аналізу (2002), на Міжнародній конференції <<Симетрія в нелінійній математичній фізиці>>, м. Київ (2001) та на Міжнародній конференції з функціонального аналізу, м. Київ (2001).

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у наукових статтях [1-5], надрукованих у фахових виданнях. Роботи [2,4,5] написані автором самостійно. Зі спільної статті [1] до дисертації включені результати про базис Грьобнера в $\mathbf{Q}_{\,n,\lambda }$ і доведення того, що алгебра $\mathbf{Q}_{\,4,2}$ є $F_4$-алгеброю (підрозділи 2.1 та 2.2), які отримані автором. З сумісної роботи [3] до дисертації (підрозділ 3.3 та пункт 3.2.3) включені тільки результати, отримані дисертантом.

Структура та об'єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку літератури, викладених на 113 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 43 найменування.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору Самойленку Юрію Стефановичу за постійну увагу і підтримку під час написання роботи.

ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ присвячений доведенню теореми, яка характеризує ліві просторові операторні модулі $\mathcal{H}$ над операторною алгеброю всіх обмежених операторів ${\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$.

У підрозділі 1.1 наводяться необхідні поняття теорії операторних просторів, алгебр та модулів: операторна структура; операторний простір; $\mathrm{cb}$-норма оператора та білінійного оператора; цілком обмежений, цілком стискаючий, цілком ізометричний оператори та білінійні оператори; цілком ізоморфні ($\cong_{\mathrm{cb}}$) та ізометричні ($\cong_{\mathrm{ci}}$) операторні простори; операторна алгебра; лівий операторний та лівий стискаючий операторний модулі над операторною алгеброю.

Ми будемо називати гільбертів простір $\mathcal{H}$, в якому введено будь-яку операторну структуру, гільбертіаном. Далі наводимо 3 операторні структури в $\mathcal{H}$: мінімальну, максимальну та стовпчикову, які будуть відігравати суттєву роль.

Гільбертів простір $\mathcal{H}$ природним чином є лівим модулем над алгеброю ${\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$ зі <<стандартною>> дією $a\cdot{v}=a(v)$, $a\in{\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$ і $v\in\mathcal{H}$. Ціль першого розділу -- дати відповідь на питання, які гільбертіани є лівими операторними модулями над операторною алгеброю ${\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$ з вказаною дією.

У підрозділі 1.2 наводяться допоміжні означення, у термінах яких формулюється Теорема 1.2 (Мезес), яка характеризує гільбертіан, цілком ізометричний стовпчиковому гільбертіану. Далі, як наслідок цієї теореми, доводиться теорема, яка характеризує гільбертіан, цілком ізоморфний стовпчиковому.

Теорема 1.3. Нехай $\mathcal{H}$ -- гільбертіан. Наступні умови еквівалентні:

1) $\mathcal{H}$ цілком ізоморфний $\mathcal{H}_\mathrm{col}$;

2) існують сталі ${\mathrm{D}_\mathrm{col}}\in(0,1]$ і ${\mathrm{D}_\mathrm{row}}\in[1,\infty)$ такі, що для довільного $n$ і будь-яких $x_1,\dots x_n\in\mathcal{H}$ виконуються

\left\|\left(\begin{array}{c} {{x}_1}\\ {\vdots}\\ {{x}_n} \end{array}\right)\right\|_{M_{{n,1}}{\left({\mathcal{H}}\right)} }\geqslant {\mathrm{D}_\mathrm{col}}\left\|\left(\begin{array}{c} {{x}_1}\\ {\vdots}\\ {{x}_n}\end{array}\right)\right\|_{M_{{n,1}}{\left({\mathcal{H}_\mathrm{max}}\right)}} \quad\text{;}

\left\| \left(\begin{array}{ccc} {x_1}&\ldots& {x_n} \end{array}\right) \right\|_{M_{{1,n}}{\left({\mathcal{H}}\right)} }\leqslant {\mathrm{D}_\mathrm{row}}\left\| \left(\begin{array}{ccc} {x_1}&\ldots& {x_n} \end{array}\right) \right\|_{M_{{1,n}}{\left({\mathcal{H}_\mathrm{min}}\right)}};

3) існують сталі ${\mathrm{D}_\mathrm{col}}\in(0,1]$ і ${\mathrm{D}_\mathrm{row}}\in[1,\infty)$ такі, що для довільного $n$ і будь-яких $x_{ij}\in\mathcal{H}$

{\mathrm{D}_\mathrm{col}}\left\|\left({x}_{ij}\right)\right\|_{M_{{n}} {\left({\mathcal{H}_\mathrm{col}}\right)}} \leqslant\left\|\left({x}_{ij}\right)\right\|_{M_{{n}}{\left({\mathcal{H}}\right)} } \leqslant{\mathrm{D}_\mathrm{row}}\left\|\left({x}_{ij}\right)\right\|_{M_{{n}}{\left({\mathcal{H}_\mathrm{col}}\right)}};

3') існують сталі ${\mathrm{D}_\mathrm{col}}\in(0,1]$ і ${\mathrm{D}_\mathrm{row}}\in[1,\infty)$ такі, що для довільного $n$ і будь-якого $\left({x}_{ij}\right)\in M_{{n}}{\left({\mathcal{H}}\right)} $

{\mathrm{D}_\mathrm{col}}\inf \left\|\left({y}_{ij}\right)\right\|_{M_{{n}}{\left({\mathrm{F}}\right)}} \leqslant\left\|\left({x}_{ij}\right)\right\|_{M_{{n}}{\left({\mathcal{H}}\right)}} \leqslant{\mathrm{D}_\mathrm{row}}\sup\left\|f \left({x}_{ij}\right)\right\|_{M_{{n}}{\left({\mathrm{G}}\right)} }\hbox{, }

де інфімум береться по всіх операторних просторах $\mathrm{F}$ і всіх $y_{ij}\in\mathrm{F}$, для яких існує ${\mathrm{max}\hbox{-}\mathrm{col}}$ цілком стискаючий $f:\mathrm{F}\to\mathcal{H}_\mathrm{max}$, такий що $f\left({y}_{ij}\right)=x_{ij}$, а супремум -- по всіх операторних просторах $\mathrm{G}$ і всіх ${\mathrm{min}\hbox{-}\mathrm{row}}$ цілком стискаючих $f:\mathcal{H}_\mathrm{min}\to\mathrm{G}$.

Ці дві теореми використовуються у підрозділі 1.3 при доведенні допоміжних лем:

Лема 1.5. Гільбертіан $\mathcal{H}_\mathrm{col}$ є лівим стискаючим операторним модулем над ${\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$ зі стандартним множенням.

Лема 1.6. Гільбертіан $\mathcal{H}$, цілком ізоморфний $\mathcal{H}_\mathrm{col}$, є лівим операторним модулем над ${\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$ зі стандартним множенням.

Лема 1.8. Нехай $\mathcal{H}\not\cong_{\mathrm{ci}}\mathcal{H}_\mathrm{col}$. Тоді стандартне зовнішнє множення не може бути цілком стискаючим. Якщо, більш того, $\mathcal{H}\not\cong_{\mathrm{cb}}\mathcal{H}_\mathrm{col}$, то воно не може бути цілком обмеженим.

Об'єднуючи ці леми, отримуємо основну теорему першого розділу:

Теорема 1.9. (1) Гільбертіан $\mathcal{H}$ є лівим операторним модулем над ${\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$ зі стандартним множенням тоді, і тільки тоді, коли $\mathcal{H}$ цілком ізоморфний $\mathcal{H}_\mathrm{col}$.

(2) Гільбертіан $\mathcal{H}$ є лівим стискаючим операторним модулем над ${\mathcal{B}({\mathcal{H}}) }$ зі стандартним множенням тоді, і тільки тоді, коли $\mathcal{H}$ цілком ізометричний $\mathcal{H}_\mathrm{col}$.

Другий розділ присвячений теорії скінченнозаданих алгебр та їх зображень. У підрозділі 2.1 техніка побудови базису Грьобнера застосовується для побудови лінійного базису в алгебрах $\mathbf{Q}_{n,\lambda}$. В пункті 2.1.1 наводяться необхідні означення та описується техніка побудови базису Грьобнера скінченнозаданих алгебр. В пункті 2.1.2 ця техніка використовується для побудови лінійних базисів алгебр

$\mathbf{Q}_{\,n,\lambda }=\mathbb{C}\langle\,q_1,\ldots,q_n\,\vert\, q_k^2=q_k\,\, (k=1,\ldots,n);\, \sum_{k=1}^{n}q_k=\lambda e\,\rangle ,$

породжених $n$ ідемпотентами, сума яких кратна одиниці. У випадку $n~\leqslant~3$ відомо, що ці алгебри не є нульовими тільки для скінченної множини параметрів $\lambda$ і всі вони -- скінченовимірні алгебри. В дисертаційній роботі будується лінійний базис алгебр

$\mathbf{Q}_{\,n,\lambda }$ у випадку $n\geqslant4$

При побудові базису користуємося позначеннями $m=n-1$, $\nu=\lambda -1$ та робимо заміну твірних: $p_1=q_1-\nu e$, $p_k=q_k$ $(k=2,\ldots,m+1)$. Тоді алгебра $\mathbf{Q}_{\,n,\lambda }$ ізоморфна алгебрі $\mathrm{F}_{m+1}/I$, де $I$ є ідеалом, який породжується елементами $u_1=p_1^2-p_1+P_1(\nu)$, $u_k=p_k^2-p_k$ $(k=2,\ldots,m+1)$, $v_0=\sum_{k=1}^{m+1}p_k-e$, де $P_1(\nu)=\nu(2p_1+(\nu-1)e)$.

При доведенні основної леми використовуємо позначення $S_1(r)=\sum_{k=1}^r p_k$, $S_2(r)=\sum_{k=1}^r\sum_{\substack{l=1\\ l\not=k}}^r p_kp_l$, $S_3(r)=\sum_{k=1}^r\sum_{\substack{l=1\\ l\not=k}}^r \sum_{\substack{j=1\\ j\not=l}}^r p_kp_lp_j$, де $r=0,\ldots,m+1$, вважаючи, що $S_1(0)=S_2(0)=S_3(0)=S_2(1)=S_3(1)=0$, та скористуємося двома твердженнями:

Твердження 2.1. За допомогою елементів $u_k$ ( $k=1,\ldots,m+1$) можна здійснити наступні редукції:

$(S_1(r))^2$${\to}S_2(r)+S_1(r)-P_1(\nu),{\qquad}$$r$$=1,\dots,m+1,$

$S_1(r)S_2(r)$${\to}S_3(r)+S_2(r)-P_1(\nu)S_1(r)+P_2(\nu), {\qquad}$$r$$=2,\dots,m+1,$

$S_2(r)S_1(r)$${\to}S_3(r)+S_2(r)-S_1(r)P_1(\nu)+P_2(\nu), {\qquad}$$r$$=2,\dots,m+1,$

де $P_2(\nu)=\nu((1-3\nu)p_1-2\nu(\nu-1)e)$.

Твердження 2.2. Для довільного $r=0,\dots,m$ справедливі наступні рекурентні співвідношення:

$S_1(r+1)=$$p_{r+1}+S_1(r),$

$S_2(r+1)=$$p_{r+1}S_1(r)+S_1(r)p_{r+1}+S_2(r),$

$S_3(r+1)=$$p_{r+1}S_2(r)+p_{r+1}S_1(r)p_{r+1}+ S_1(r)p_{r+1}S_1(r)+$

$+S_2(r)p_{r+1}+S_3(r).$

За допомогою цих двох тверджень доводиться основна лема:

Лема 2.3. При $m\geqslant3$ множина елементів

\begin{aligned} u_1=\,&p_1^2-p_1+P_1(\nu), \qquad&u_k=\,&p_k^2-p_k,{\quad}k=2,\ldots,m,\\ v_0=\,&S_1(m+1)-e,\qquad&v_1=\,&S_2(m)-P_1(\nu), \end{aligned}

\begin{aligned} v_2=&\Big( p_mS_1(m-2)p_{m-1}-S_1(m-1)p_mS_1(m-2)-S_2(m-1)p_m \Big)-\\&- \Big( p_{m-1}S_2(m-2)+S_1(m-2)p_{m-1}S_1(m-2)+S_3(m-2) \Big) -\\&- \Big( p_mS_1(m-2)+2S_1(m-1)p_m+ 2p_{m-1}S_{1}(m-2)+\\&+S_{1}(m-2)p_{m-1}+2S_{2}(m-2) \Big)+ \Big( P_1(\nu)S_1(m)+\\&+S_1(m-1)P_1(\nu)-P_1(\nu)p_{m-1} \Big)+P_1(\nu)-P_2(\nu) \end{aligned}

є редукованим базисом Грьобнера ідеала $I$.

Наслідком цієї леми є наступна теорема.

Теорема 2.4. Лінійним базисом алгебри $\mathbf{Q}_{\,n,\lambda }$ при $n\geqslant4$ є всі слова, в яких не містяться як підслова елементи множини

$\hat{G}=\{ q_{n},\quad q_k^2\: (k=1,\ldots,n-1),\quad q_{n-1}q_{n-2},\quad q_{n-1}q_{n-3}q_{n-2} \}. $

Наслідками останньої теореми є:

Наслідок 2.5. Всі алгебри $\mathbf{Q}_{\,n,\lambda }$ ( $n\geqslant4$) нескінченовимірні.

Наслідок 2.6. Алгебра $\mathbf{Q}_{\,n,\lambda }$ ( $n\geqslant5$) не може бути $PI$-алгеброю при будь-якому $\lambda$.

Підрозділ 2.2 присвячений доведенню існування розділяючої сім'ї $*$-зображень для $*$-алгебри

$\mathbf{P}_{4,2}=\mathbb{C}\langle\,p_1,p_2,p_3,p_4\,\vert\, p_k^2=p_k=p_k^*,\,\, k=1,\ldots,4;\,\sum_{k=1}^{4}q_k=2e\,\rangle .$

Для цього користуємося тим фактом, що вона $*$-ізоморфна $*$-алгебрі $\mathbb{C}\langle\, x_1=x_1^*, x_2=x_2^*, x_3=x_3^* \, \vert\,\{x_k,x_l\}=0,l<k; \sum_{k=l}^3 x_k^2-e=0\,\rangle $ (де $\{x,y\}=xy+yx$ позначає антикомутатор елементів $x$ і $y$). А також тим, що вона має континуальне число двовимірних $*$-зображень $\pi_{a,b,c}$, які задаються на твірних формулами

$x_1\mapsto a\begin{pmatrix}{1}&{0}\\ {0}&{-1}\end{pmatrix}$, $x_2\mapsto b\begin{pmatrix}{0}&{1}\\ {1}&{0}\end{pmatrix}$ , $x_3\mapsto c\begin{pmatrix}{0}&{i}\\ {-i}&{0}\end{pmatrix},$

де трійка $(a,b,c)$ належить множині $S$, яка складається з точок тривимірної сфери $\mathbb{S}^3$, для яких виконується одна з трьох умов: $a>0$, $b>0$, $c\in\mathbb{R}$; $a=0$, $b>0$, $c>0$; $a>0$, $b=0$, $c>0$.

Зауважимо, що як алгебра $\mathbf{P}_{4,2}$ ізоморфна $\mathbf{Q}_{\,4,2}$.

Основною в цьому підрозділі є така лема.

Лема 2.8. Для довільного ненульового елемента $v$ алгебри $\mathbf{P}_{4,2}$ знайдеться трійка $(a,b,c)\in S$ така, що $\pi_{a,b,c}(v)\not=0.$

Наслідками останньої леми є:

Наслідок 2.9. Алгебра $\mathbf{P}_{4,2}$ має точне $*$-зображення.

Наслідок 2.10. Алгебра $\mathbf{Q}_{\,4,2}$ є $F_4$-алгеброю.

Підрозділ 2.3 присвячений питанню опису інволюцій, які можна ввести в скінченнозаданій алгебрі.

Нехай $\mathbb{F}_{n}$ -- вільна алгебра з $n$ твірними $x_1,\dots,x_n$, а $\mathbf{A}$ є унітальною алгеброю, заданою твірними $x_1,\dots,x_n$ та співвідношеннями $q_k\in\mathbb{F}_{n}$, $k=1,\dots,m$. Можна вважати, що співвідношення $q_k$ не є лінійними, позначаємо $V(\mathbf A)$ $n+1$-вимірний лінійний підпростір $\mathbf A$, що є лінійною оболонкою елементів $x_0=e, x_1, \dots,x_n$.

Вільну $*$-алгебру з $n$ самоспряженими твірними $z_k$ позначаємо через $\mathbb{F}_{n}^*$, будь-яку іншу інволюцію будемо позначати $\star$. Вільну $*$-алгебру з інволюцією $\star$ позначаємо $\mathbb{F}_{n}^\star =\mathbb{C}\langle\, x_1,\dots, x_n \,\vert\, x_k^\star=p_k, k=1,\dots,n \,\rangle$, де $p_k\in\mathbb{F}_{n}$ задають інволюцію $\star$.

Означення 3. Інволюція $\star$ $*$-алгебри $\mathbf A^\star$ зберігає природну фільтрацію, якщо вона відображає простір $\mathrm V(\mathbf A^\star)$ в себе.

Наступна теорема показує єдиність інволюції, яка зберігає природну фільтрацію, у вільній алгебрі.

Теорема 2.11. Нехай інволюція $\star$ $*$-алгебри $\mathbb{F}_{n}^\star $ зберігає природну фільтрацію. Тоді існує $*$-ізоморфізм $\varphi:\mathbb{F}_{n}^*\to\mathbb{F}_{n}^\star $ такий, що $\varphi(V(\mathbb{F}_{n}^*))=V(\mathbb{F}_{n}^\star ).$

Далі розглядаємо скінченнозадану $*$-алгебру

$\mathbf A=\mathbb{C}\langle\, x_1,\dots, x_n \,\vert\, x_k^\star=p_k, k=1,\dots, n,\, r_{1}=0,\dots, r_{m}=0 \,\rangle,$

де $r_{k}\in\mathbb{F}_{n}$, $k=0,\dots,m$. Позначаємо через $\mathrm I$ $*$-ідеал, породжений $r_{1},\dots, r_{m}$, тобто $\mathbf{A}$ $*$-ізоморфна фактору $\mathbb{F}_{n}^\star /\mathrm{I}$.

Наслідком теореми 2.11 є наступна лема.

Лема 2.12. Припустимо, що інволюція $\star$ зберігає природну фільтрацію. Тоді $*$-алгебра $\mathbf A$ $*$-ізоморфна $*$-алгебрі

$\mathbf B=\mathbb{C}\langle\, z_1,\dots, z_n \,\vert\, z_k^{*}=z_k, k=1,\dots, n,\, s_{1}=0,\dots, s_{m}=0 \,\rangle,$

де $s_{k}$ мають таку ж ступінь як $r_{k}$, $k=1,\dots,m$.

Взагалі кажучи, співвідношення $r_{i}$ не співпадають з $s_{j}$. Далі наводимо відповідний приклад. А також показуємо, що для алгебри поліномів $n$ змінних $P_{n}$ має місце аналог теореми 2.11 і наводимо ще один приклад алгебри, для якої співвідношення $r_{i}$ співпадають з $s_{j}$.

У третьому розділі вивчаються $*$-зображення $*$-алгебр необмеженими операторами.

Підрозділ 3.1 присвячений питанню про існування точного $*$-зображення.

Нехай $\mathcal{D}$ є щільним підпростором гільбертового простору $\mathcal{H}$. Множину всіх лінійних операторів, які діють з $\mathcal{D}$ в $\mathcal{D}$, позначають через $\mathcal{L}(\mathcal{D})$. А через $\mathcal{L}^\dagger(\mathcal{D})$ позначають $*$-алгебру $\{X\in\mathcal{L}(\mathcal{D}): \mathcal{D}\subset\mathcal{D}(X^*), X^*\mathcal{D}\subset\mathcal{D}\}$ з інволюцією $X{\mapsto}X^\dagger:=X^*\lceil\mathcal{D}$.

Нехай $\mathbf{A}$ є унітальною $*$-алгеброю. Унітальний $*$-гомоморфізм $\pi:\mathbf{A}\to\mathcal{L}^\dagger(\mathcal{D}(\pi))$ називають $*$-зображенням (необмеженими операторами) $*$-алгебри $\mathbf{A}$ на $\mathcal{D}(\pi)$ в $\mathcal{H}$. $*$-зображення $\pi$ $*$-алгебри $\mathbf{A}$ називають точним, якщо $\ker\pi=\{0\}$.

Лема 3.1. Нехай $\pi$ є точним $*$-зображенням $*$-алгебри $\mathbf{A}$ на $\mathcal{D}(\pi)$ в $\mathcal{H}$. Нехай $\mathcal{D}\subset\mathcal{D}(\pi)$ є щільним в $\mathcal{H}$ підпростором, інваріантним відносно $\pi$. Тоді $*$-зображення $\tilde\pi(a):=\pi(a)\lceil\mathcal{D}$ $*$-алгебри $\mathbf{A}$ на $\mathcal{D}$ в $\mathcal{H}$ також є точним.

$*$-підалгебру $*$-алгебри $\mathcal{L}^\dagger(\mathcal{D}(\pi))$ часто називають $O^*$-алгеброю.

Означення 5. Будемо казати, що $*$-алгебра $\mathbf{A}$ є $O^*$-зображувальною, якщо існує точне $*$-зображення $\mathbf{A}$ необмеженими операторами.

$*$-алгебру $\mathbf{A}$ називають додатною, якщо з $xx^*=0$ для $x\in\mathbf{A}$ випливає $x=0$. $*$-алгебру називають цілком додатною, якщо $*$-алгебри $\mathbf{A}\otimes M_{{n}}{\left({\mathbb{C}}\right)}$, $n\in\mathbb{N}$, є додатними.

Теорема 3.3. Будь-яка $O^*$-зображувальна $*$-алгебра $\mathbf{A}$ є цілком додатною.

При доведенні цієї теореми користуємося наступною лемою.

Лема 3.2. Якщо $*$-алгебра $\mathbf{A}$ $O^*$-зображувальна, тоді $*$-алгебра $\mathbf{A}\otimes M_{{n}}{\left({\mathbb{C}}\right)}$, $n\in\mathbb{N}$, також є $O^*$-зображувальною для будь-якого $n\in\mathbb{N}$.

Далі наводиться приклад алгебри, яка не має $*$-зображень обмеженими операторами, але яка є $O^*$-зображувальною.

У підрозділі 3.2 вводиться та вивчається поняття $\sigma $-обмеженого $*$-зображення $*$-алгебри. У пункті 3.2.1 наводимо

Означення 6. $*$-зображення $\pi$ $*$-алгебри $\mathbf{A}$ на $\mathcal{D}(\pi)$ в $\mathcal{H}$ називається $\sigma $-обмеженим, якщо $\mathcal{D}(\pi)=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}H_n,$ де $H_1\subset \ldots\subset H_n\subset\ldots$ є послідовністю гільбертових просторів таких, що $\pi(\mathbf{A})H_n\subset H_n$ і для довільного $a\in\mathbf{A}$ оператор $\pi(a)\lceil H_n$ є обмеженим.

Кажуть, що $*$-алгебра $\mathbf{A}$ має розділяючу сім'ю ($*$-зображень обмеженими операторами), якщо для довільного ненульового $a\in\mathbf{A}$ існує $*$-зображення $\pi$ з сім'ї, таке що $\pi(a)\ne0$. Наступна лема встановлює зв'язок між існуванням точного $\sigma $-обмеженого $*$-зображення та існуванням розділяючої сім'ї.

Лема 3.4 . $*$-алгебра $\mathbf{A}$ має зліченну розділяючу сім'ю тоді, і тільки тоді, коли існує точне $\sigma $-обмежене $*$-зображення $\pi$ $*$-алгебри $\mathbf{A}$ на $\mathcal{D}(\pi)$ в $\mathcal{H}$.

Замкнену топологічну $*$-алгебру, топологія якої задається зліченною системою $C^*$-переднорм, називають $\sigma $-$C^*$-алгеброю. Як безпосередній наслідок з леми 3.4 у пункті 3.2.2 отримано теорему:

Теорема 3.5. Для будь-якої $\sigma $-$C^*$-алгебри $\mathbf{A}$ існує точне $\sigma $-обмежене $*$-зображення $\pi$ на деякому $\mathcal{D}(\pi)$ в деякому $\mathcal{H}$.

Далі показуємо, що з існування довільної розділяючої сім'ї для скінченнопороджених $*$-алгебр випливає існування зліченної. Ми користуємося тим фактом, що для довільної $*$-алгебри існує обгортуюча $\sigma $-$C^*$-алгебра. Отже, з теореми 3.5 отримаємо

Наслідок 3.6. Скінченнопороджена $*$-алгебра $\mathbf{A}$ має розділяючу сім'ю тоді, і тільки тоді, коли існує точне $\sigma $-обмежене $*$-зображення $\pi$ $*$-алгебри $\mathbf{A}$ на $\mathcal{D}(\pi)$ в $\mathcal{H}$.

Наступна теорема є іншим формулюванням попереднього твердження.

Теорема 3.7. Якщо $*$-алгебра $\mathbf{A}$ скінченнопороджена, тоді існує точне $\sigma $-обмежене $*$-зображення $\pi$ $*$-алгебри $\mathbf{A}/\kern-0.3em*$-$\mathrm{Rad}\,\mathbf{A}$ на $\mathcal{D}(\pi)$ в $\mathcal{H}$.

У пункті 3.2.3 доводиться, що для обгортуючої алгебри алгебри Лі компактної групи Лі існує точне $\sigma $-обмежене $*$-зображення.

Позначаємо через $L$ алгебру Лі, а через $G$ зв'язну однозв'язну групу Лі, якій відповідає алгебра Лі $L$. Також позначаємо $g\to{T}^L_g$ -- ліве регулярне зображення групи $G$, а $\hat{T^L}$ -- $*$-зображення алгебри Лі на $\mathcal{D}_G(T^L)$ в $L_2(G,\mu)$, де $\mathcal{D}_G(T^L)$ -- простір Гордінга, який породжується лінійними комбінаціями елементів $u(\varphi):=\int\limits_G\varphi(g)T_gu\, d\mu(g)$, $\varphi\in C^\infty_0(G)$, $u\in L_2(G,\mu)$.

Основною теоремою цього пункту є така теорема.

Теорема 3.11. Нехай $G$ є компактною групою Лі. Тоді існує підпростір $\mathcal{D}\subset\mathcal{D}_G(T^L)$, інваріантний відносно $*$-зображення $\hat{T}^L$ $*$-алгебри $\mathcal{E}(\mathfrak{g})$ і щільний в $L_2(G,\mu)$ такий, що звуження $\hat{T}^L$ на $\mathcal{D}$ є точним $\sigma $-обмеженим $*$-зображенням $\mathcal{E}(\mathfrak{g})$ на $\mathcal{D}$ в $L_2(G,\mu)$.

Доведення цієї теореми спирається на наступні твердження.

Твердження 3.8. $*$-зображення $\hat{T}^L$ є точним $*$-зображенням.

Нехай тепер $G$ є компактною групою Лі.

Твердження 3.9. Нехай $\mathcal{H}_0$ -- гільбертів підпростір простору $\mathcal{H}$, інваріантний відносно зображення $T$ групи Лі $G$. Тоді для довільного $u\in\mathcal{H}_0$ і будь-якої функції $\varphi\in{C^\infty_0(G)}$ ми маємо $u(\varphi)\in{\mathcal{H}_0}$.

Твердження 3.10. Нехай підпростір $\mathcal{H}_0$ є інваріантним відносно унітарного зображення $T$ групи Лі $G$. Тоді підпростір $\mathcal{H}_0\bigcap\mathcal{D}_G(T)$ є інваріантним відносно $*$-зображення $\hat{T}$ $*$-алгебри $\mathcal{E}(\mathfrak{g})$ і щільним в $\mathcal{H}_0$.

Підрозділ 3.3 присвячений вивченню просторів <<гладких>> векторів для сім'ї необмежених операторів і для $*$-зображення $*$-алгебри необмеженими операторами.

У пункті 3.3.1 вводяться поняття просторів <<гладких>> векторів. Нехай $\mathcal A=\{A_k\}_{k\in\Lambda}$ -- сім'я операторів в гільбертовому просторі $\mathcal{H}$ (множина $\Lambda$ є скінченною або зліченною), які допускають замикання. Множину операторів $W_n$ визначаємо як множину всіх добутків будь-яких $n$ операторів з сім'ї $\mathcal A$.

Ми припускаємо, що існує щільний в $\mathcal{H}$ простір $\mathcal{D}$, такий що $A_k(\mathcal{D})\subset\mathcal{D}$, $k\in\Lambda$. Позначимо $\rho_n(v;\mathcal A)=\sup\limits_{A\in W_n} \Vert Av\Vert, v\in\mathcal{D}$.

Означення 7. Нехай $m_n>0$ -- деяка послідовність. Позначимо

$\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\mathcal A;s)= \left\{v\in\mathcal{D}\,|\, \exists\:n_0 : \:\forall\: n>n_0\quad \rho_n(v)\leqslant s^n m_n\right\},\quad s>0,$

\hat{\mathcal{D}}_{\{m_n\}}(\mathcal A)=\bigcap_{s>0}\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\mathcal A;s),\qquad \check{\mathcal{D}}_{\{m_n\}}(\mathcal A)=\bigcup_{s>0}\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\mathcal A;s).

Для довільного $\alpha\geqslant0$ будемо позначати

$\mathcal{D}_\alpha(\mathcal{A};s) =\mathcal{D}_{\{n^{\alpha{n}}\}}(\mathcal{A};s)$, $\check\mathcal{D}_\alpha(\mathcal{A}) =\check\mathcal{D}_{\{n^{\alpha{n}}\}}(\mathcal{A})$ та $\hat\mathcal{D}_\alpha(\mathcal{A}) =\hat\mathcal{D}_{\{n^{\alpha{n}}\}}(\mathcal{A})$.

Означення 8. Нехай $\alpha\geqslant0$. Позначимо

$\mathcal{D}^{'}_\alpha(\mathcal A;s)= \left\{v\in\mathcal{D}\,|\, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{s^n}{(n!)^\alpha}\,\rho_n(v)<\infty \right\},\quad s>0,$

\hat{\mathcal{D}}^{'}_{\alpha}(\mathcal A)=\bigcap_{s>0}\mathcal{D}^{'}_{\alpha}(\mathcal A;s),\qquad \check{\mathcal{D}}^{'}_{\alpha}(\mathcal A)=\bigcup_{s>0}\mathcal{D}^{'}_{\alpha}(\mathcal A;s).

Означення 9. Простори $\check{\mathcal{D}}^{'}_1(\mathcal{A}) = \mathcal{D}^a(\mathcal{A})$, $\hat{\mathcal{D}}^{'}_{1}(\mathcal{A}) = \mathcal{D}^e(\mathcal{A})$ і $\check{\mathcal{D}}_0(\mathcal{A}) = \mathcal{D}^b(\mathcal{A})$ будемо називати просторами (сумісних) аналітичних, цілих та обмежених векторів відповідно для сім'ї операторів $\mathcal A$.

Наступне твердження та наслідок з нього висвітлюють зв'язок між означеннями 8 та 7.

Твердження 3.12. Для будь-яких $\alpha\geqslant0$

$\mathcal{D}_\alpha(\mathcal{A};1/(2e^\alpha{s}))\subset \mathcal{D}^{'}_\alpha(\mathcal{A};s)\subset\mathcal{D}_\alpha(\mathcal{A};1/s)).$

Наслідок 3.13. Для будь-якого $\alpha\geqslant0$ $\hat{\mathcal{D}}^{'}_{\alpha}(\mathcal{A})=\hat{\mathcal{D}}_{\alpha}(\mathcal{A})$, $\check{\mathcal{D}}^{'}_{\alpha}(\mathcal{A})= \check{\mathcal{D}}_{\alpha}(\mathcal{A})$

Нехай тепер $\mathbf{A}$ є скінченнопородженою унітальною $*$-алгеброю з твірними $x_1,\dots,x_d$ і $W$ є множиною всіх слів в алфавіті $x_1,\dots,x_d$. Якщо $w=x_{j_1}x_{j_2}\dots x_{j_n}\in{W}$, то довжину слова $w$ будемо позначати $\vert w\vert=n$. Через $W_n$ будемо позначати всі слова, довжина яких дорівнює $n$. Нехай $\pi$ є $*$-зображення $\mathbf{A}$ на деякому $\mathcal{D}(\pi)$ в $\mathcal{H}$. На $\mathcal{D}(\pi)$ можна коректно визначити сім'ю переднорм $\rho_n(v;\pi)=\max\limits_{w\in W_n} \Vert\pi(w)v\Vert, v\in\mathcal{D}(\pi)$.

Так визначені $\rho_n(v;\pi)$ дорівнюють $\rho_n(v;\mathcal A)$, де $\mathcal{A}=\{\pi(x_k)\}_{k=1}^d.$ Таким чином всі означення для сім'ї переносяться на випадок $*$-зображення.

У пункті 3.3.2 вивчаємо елементарні властивості просторів <<гладких>> векторів. Нехай сім'я $\mathcal A$ скінченна. Вважаємо, що областю визначення усіх операторів з сім'ї $\mathcal A$ є $\mathcal{D}$. Позначаємо лінійний простір, породжений сім'єю, через $V$. Наступне твердження показує, що якщо ми візьмемо іншу сім'ю $\tilde{\mathcal{A}}\subset V$, якою породжується $V$, то

$\hat{\mathcal{D}}_{\{m_n\}}(\mathcal{A})= \hat{\mathcal{D}}_{\{m_n\}}(\tilde{\mathcal{A})}$ та $\check{\mathcal{D}}_{\{m_n\}}(\mathcal{A})= \check{\mathcal{D}}_{\{m_n\}}(\tilde{\mathcal{A}})$.

У випадку $*$-зображення це означає, що якщо ми замінимо твірні $*$-алгебри $\mathbf{A}$ їх лінійними комбінаціями, то простори <<гладких>> векторів залишаться незмінними.

Твердження 3.14. Нехай $\tilde{\mathcal{A}}=\{\tilde{A}_k\}\subset{V}$ породжує $V$. Тоді існують константи $c>0$ та $C>0$ такі, що для будь-якого $v\in\mathcal{D}$

$c^n \rho_n(v;\mathcal{A})\leqslant \rho_n(v;\tilde{\mathcal{A}})\leqslant C^n\rho_n(v;\mathcal{A}).$

Далі доводиться твердження, яке показує, що простори $\check\mathcal{D}_\alpha(\mathcal{A})$ та $\hat\mathcal{D}_\alpha(\mathcal{A})$ є інваріантними відносно дії операторів з множини $W=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}W_{n}$.

Твердження 3.15. Якщо $v\in\check\mathcal{D}_\alpha(\mathcal{A} )$ ( $v\in\hat\mathcal{D}_\alpha(\mathcal{A} )$), то для будь-якого $A\in W$ $Av\in\check\mathcal{D}_\alpha(\mathcal{A})$ ( $Av\in\hat\mathcal{D}_\alpha(\mathcal{A})$ відповідно).

У випадку $*$-зображення $*$-алгебри отримуємо два наслідки.

Наслідок 3.16. Простори $\hat\mathcal{D}_\alpha(\pi)$ і $\check\mathcal{D}_\alpha(\pi)$ є інваріантними підпросторами для $\pi$.

Наслідок 3.17. Якщо існує циклічний вектор $u\in\mathcal{D}(\pi)$ для $*$-зображення $\pi$, який належить простору $\hat\mathcal{D}_\alpha(\pi)$ (простору $\check\mathcal{D}_\alpha(\pi)$), тоді $\hat\mathcal{D}_\alpha(\pi)$ ( $\check\mathcal{D}_\alpha(\pi)$ відповідно) є щільним в $\mathcal{H}$.

Пункт 3.3.3 присвячений доведенню двох тверджень та їх наслідків. Нехай $\Lambda=\{1,\dots,d\}$ -- фінітна множина. Розглянемо сім'ю $\mathcal{B}$, яка складається з матриць $B_k=\left(A_{ij}^k\right)$ від операторів $A_{ij}^k\in\mathcal{A}$ ( $1\leqslant{i,j}\leqslant{m}$, $1\leqslant{k}\leqslant{N}$).

Твердження 3.18. $\bigoplus\limits_{l=1}^{m}\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\mathcal{A},s)\subset \mathcal{D}_{\{m_n\}}(\mathcal{B},rs)$ для довільного $r>1$.

Наслідок 3.19.

$\bigoplus\limits_{l=1}^{m}\check\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\mathcal{A})\subset \check\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\mathcal{B})$ і $\bigoplus\limits_{l=1}^{m}\hat\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\mathcal{A})\subset \hat\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\mathcal{B})$.

Далі нехай $\mathcal{H}=\bigoplus\limits_{k=1}^\infty\mathcal{H}_k$ і $\pi_k$ є $*$-зображеннями $*$-алгебри $\mathbf{A}$ на $\mathcal{D}(\pi_k)$ в $\mathcal{H}_k$. Нехай $\mathcal{D}=\{v\in\mathcal{H}\,\vert\,v_k\in\mathcal{D}(\pi_k), k\in\mathbb{N}\:$ і $\exists\, k_0\in\mathbb{N}\::\forall\, k>k_0\:v_k=0\,\}$ і позначимо $l(v)=\min\{k_0\}, v\in\mathcal{D}$, де $k_0$ ті ж самі, що в означенні $\mathcal{D}$. На $\mathcal{D}$ ми визначимо $*$-зображенням $\pi$ $*$-алгебри $\mathbf{A}$ на $\mathcal{D}$ в $\mathcal{H}$ формулою $(\pi(a)u)_k=\pi_k(a)u_k$.

Твердження 3.20. Нехай $u\in\mathcal{D}$ і $u_{k}\in\mathcal{D}_{\{m_{n}\}}(\pi_{k};s_{k})$. Тоді

$u\in\mathcal{D}_{\{m_{n}\}}(\pi;l(u)\max\{ s_{k}, 1\leqslant k\leqslant l(u)\}). $

Наслідок 3.21. Нехай $u\in\mathcal{D}$. Якщо $u_{k}\in\hat\mathcal{D}_{\{m_{n}\}}(\pi_{k})$ ( $u_{k}\in\check\mathcal{D}_{\{m_{n}\}}(\pi_{k})$), то $u\in\hat\mathcal{D}_{\{m_{n}\}}(\pi)$ ( $u\in\check\mathcal{D}_{\{m_{n}\}}(\pi)$ відповідно).

Наслідок 3.22. Якщо простір $\hat\mathcal{D}_{\{m_{n}\}}(\pi_{k})$ ( $\check\mathcal{D}_{\{m_{n}\}}(\pi_{k})$) щільний в $\mathcal{H}_{k}$ для довільного $k$, то простір $\hat\mathcal{D}_{\{m_{n}\}}(\pi)$ ( $\check\mathcal{D}_{\{m_{n}\}}(\pi)$ відповідно) є щільним в $\mathcal{H}$.

У пункті 3.3.4 вивчається питання про зв'язок просторів <<гладких>> векторів для $*$-зображення $*$-алгебри та для сім'ї з операторів, які належать образу цього $*$-зображення.

Легко показати, що, якщо вектор $v\in\hat\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\pi)$ ( $v\in\check\mathcal{D}_{m_n\}}(\pi)$), то для довільного $y$, такого що $y=\sum\limits_{k=1}^d \lambda_k x_k$, маємо $v\in\hat\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\pi(y))$ ( $v\in\hat\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\pi(y))$ відповідно). Але, взагалі кажучи, це твердження невірне для довільного елемента $y\in\mathbf{A}$.

Наступне твердження і наслідок з нього показує, що у випадку $m_n=n^{\alpha n}$ вектор $v\in\mathcal{D}_{\alpha}(\pi;s)$ не є дуже <<поганим>> для скінченної сім'ї операторів $\pi(y_k)$, де $y_k\in\mathbf{A}$.

Твердження 3.23. Нехай $v\in\mathcal{D}_{\alpha}(\pi;s)$, і $\mathcal{Y}=\{y_j\}_{j=1}^N$ -- довільна скінченна сім'я елементів з $\mathbf{A}$:

$y_j=\sum\limits_{k=1}^r \lambda_{jk} w_k\in\mathbf{A},\:\: w_k\in W, \:\: j=1,\dots,{N}. $

Позначимо $\vert y_j\vert =\sum\limits_{k=1}^r \vert \lambda_{jk}\vert$, $C= \max\limits_{1\leqslant j\leqslant N} \vert y_j\vert$ і $m= \max\limits_{1\leqslant k\leqslant r} \vert w_k\vert$. Тоді

$v\in\mathcal{D}_{\alpha m}(\pi(\mathcal Y),Cs^mm^{\alpha m}).$

Наслідок 3.24. Нехай $\mathcal{Y}$ і $m$ є такими ж самими, як в попередньому твердженні, тоді для довільного $\alpha\geqslant0$

\check\mathcal{D}_\alpha(\pi)\subset\check\mathcal{D}_{m\alpha}(\pi(\mathcal Y)), \qquad \hat\mathcal{D}_\alpha(\pi)\subset\hat\mathcal{D}_{m\alpha}(\pi(\mathcal Y)).

Більш того, $\mathcal{D}^b(\pi)\subset\mathcal{D}^b(\pi(\mathcal Y)).$

Важливим є питання, коли простори <<гладких>> векторів є щільними в гільбертовому просторі $\mathcal{H}$. У пункті 3.3.5 розглянуто деякі приклади, а також показано важливість цього питання для теорії $*$-зображень необмеженими операторами.

a) Відомо, що у випадку сім'ї комутуючих самоспряжених операторів (КСО) $\mathcal{D}^{\char93 }(\mathcal A)=\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{D}^{\char93 }(A_{n})$ для $\char93 =a,e,b$. А також, що $\mathcal{D}^{b}(\mathcal A)$ є щільним в $\mathcal{H}$.

b) Нехай $\mathcal{A}=\{A_1,\dots,{A_d}\}$ є сім'ю КСО Для неперервних функцій $d$ змінних $b_{k}$ ( $1\leqslant{k}\leqslant{m}$) нехай $\mathcal{B}$ є сім'єю операторів $B_{k}=b_{k}(\mathcal{A})$.

Твердження 3.25. Простір $\mathcal{D}^b(\mathcal{B})$ щільний в $\mathcal{H}$.

Тепер ми можемо розглянути сім'ю $\mathcal{C}$, яка складається зі скінченної кількості ${r}\times{r}$ матриць, від елементів з сім'ї $\mathcal{B}$, тоді за наслідком 3.19 ми отримуємо, що $\bigoplus\limits_{l=1}^r\mathcal{D}^b(\mathcal{B})\subset\mathcal{D}^b(\mathcal{C})$, таким чином простір $\mathcal{D}^b(\mathcal{C})$ є щільним в $\mathcal{H}^r$.

c) Розглядаємо сім'ю $\mathcal{A}$з двох операторів $(P\varphi)(t)=i\varphi'(t)$ і $(Q\varphi)(t)=t\varphi(t)$, визначених на щільних в $\mathcal{H}$ просторах $\mathcal{D}_Q=\{\varphi\in\mathcal{H}\,\vert\, t\varphi\in\mathcal{H}\}$ та $\mathcal{D}_P=\{\varphi\in\mathcal{H}\,\vert\, \varphi'\in\mathcal{H}\}$. А також розглядаємо сім'ю $\mathcal{B}=\left\{e^P,Q\right\}$. Гудман показав, що простір $\check\mathcal{D}^e(\mathcal{A})$ є щільним в $\mathcal{H}$, а також що простір $\mathcal{D}^a(\mathcal{B})$ є щільним, але $\mathcal{D}^e(\mathcal{B})=\{0\}$. Легко показати, що $\mathcal{D}^b(\mathcal{A})=\{0\}$.

Основною в цьому прикладі є теорема:

Теорема 3.29. Простір $\check\mathcal{D}_{1/2}(\mathcal{A})$ є щільним в $\mathcal{H}$.

d) Розглядаємо оператори $C$ і $U$, визначені на $\mathcal{H}=l_2(\mathbb{Z})$ формулами:

$Ce_i=q^ie_i,\quad 0<q<1, \qquad Ue_i=e_{i-1}. $

Легко побачити, що $\mathcal{D}^b(C)\bigcap\mathcal{D}^b(U)$ є щільним в $\mathcal{H}$.

Теорема 3.32. $\mathcal{D}^a(C,U)=\{0\}$.

$*$-зображення $\pi$ називаємо $*$-зображенням на просторі <<гладких>> векторів, якщо $\mathcal{D}(\pi) =\hat\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\pi)$ (або $\mathcal{D}(\pi) =\check\mathcal{D}_{\{m_n\}}(\pi)$).

Цікавим є питання про існування для даної $*$-алгебри точного $*$-зображення на деякому просторі $\mathcal{D}(\pi)$ <<гладких>> векторів. Наступний наслідок леми 3.1 та наслідку 3.16 висвітлює зв'язок цього питання з питанням щільності просторів <<гладких>> векторів для $*$-зображення.

Наслідок 3.33. Нехай $\pi$ є точним $*$-зображенням $*$-алгебри $\mathbf{A}$ на $\mathcal{D}(\pi)$ в $\mathcal{H}$. Якщо простір $\mathcal{D}=\hat\mathcal{D}_\alpha(\pi)$ ( $\mathcal{D}=\check\mathcal{D}_\alpha(\pi)$) є щільним в $\mathcal{H}$, то $*$-зображення $\tilde\pi(a):=\pi(a)\lceil\mathcal{D}$ на $\mathcal{D}$ в $\mathcal{H}$ є точним $*$-зображенням на просторі <<гладких>> векторів.

алгебр модуль гілбертіан лінійний

ВИСНОВКИ

В роботі знайдено критерій того, щоб гільбертіан був лівим операторним модулем (лівим стискаючим операторним модулем) над алгеброю всіх обмежених операторів у ньому.

Побудовано лінійні базиси алгебр, породжених скінченною кількістю ідемпотентів, сума яких пропорційна одиниці. Показано, що у випадку, коли кількість ідемпотентів більша або дорівнює 5, такі алгебри не можуть бути алгебрами з поліноміальними тотожностями. Показано, що алгебра, породжена 4 ідемпотентами, сума яких дорівнює 2, є $F_4$-алгеброю та має точне зображення обмеженими операторами.

Доведена необхідна умова існування точного зображення $*$-алгебри необмеженими операторами. Введено поняття $\sigma $-обмеженого зображення $*$-алгебри та наведений критерій існування точного $\sigma $-обмеженого зображення. Доведено існування точного $\sigma $-обмеженого зображення обгортуючої алгебри алгебри Лі компактної групи Лі. Введено поняття сумісних <<гладких>> векторів для скінченної сім'ї необмежених операторів та для зображення $*$-алгебри необмеженими операторами, а також досліджені деякі їх властивості.

Отримані в дисертаційній роботі результати можуть бути використані при подальших дослідженнях операторних модулів та абстрактних операторних алгебр, $*$-алгебр, заданих твірними та визначальними співвідношеннями, їх зображень обмеженими і необмеженими операторами, та їх застосувань.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Рабанович В.И., Самойленко Ю.С., Стрелец А.В. О тождествах в алгебрах $\mathbf{Q}_{n,\lambda}$, порожденных идемпотентами // Укр. мат. журнал. -- 2001. -- Т. 53, 10. -- C. 1380-1390.

2. Стрелец А.В. Характеризация операторных пространственных модулей над полной операторной алгеброй // Фунд. и прикл. математика. -- 2001. -- Т. 7, 4. -- C. 1187-1201.

3. Samo{\u{\i\/}}\kern.15emlenko Yu.S., Strelets A.V. On ``good'' vectors for a family of unbounded operators and their application // Methods of Funct. Anal. and Topology. -- 2002. -- Vol. 8, 2. -- P. 88-100.

4. Strelets A.V. On a $O^*$-representable algebras // Methods of Funct. Anal. and Topology. -- 2001. -- Vol. 7, 4. -- P. 6-10.

5. Strelets A.V. On involutions which preserve natural filtration // Proc. of Institute of Math. of NAS of Ukraine. -- 2002. -- Vol. 43, Part 2. -- P. 490-494. 5

АНОТАЦІЇ

Стрілець О.В. Алгебри з додатковими структурами та їх зображення. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2002.

Дисертаційна робота присвячена теорії зображень алгебр з додатковими структурами обмеженими та необмеженими операторами в гільбертовому просторі.

Наведено критерій того, щоб гільбертіан був лівим операторним модулем над алгеброю обмежених операторів в ньому.

Знайдено лінійний базис алгебри, породженої скінченною кількістю ідемпотентів, сума яких кратна одиниці. Показано, що у випадку, коли кількість ідемпотентів більша або дорівнює 5, така алгебра не може задовольняти поліноміальні тотожності. Доведено, що алгебра, породжена 4 ідемпотентами, сума яких дорівнює 2, є $F_4$-алгеброю і має точне зображення обмеженими операторами.

Доведена необхідна умова існування точного зображення $*$-алгебри необмеженими операторами. Введено поняття $\sigma $-обмеженого зображення $*$-алгебри та знайдено критерій існування точного $\sigma $-обмеженого зображення $*$-алгебри. Доведено існування точного $\sigma $-обмеженого зображення обгортуючої алгебри алгебри Лі компактної групи Лі. Введено поняття сумісних <<гладких>> векторів для скінченної сім'ї необмежених операторів та для зображення $*$-алгебри необмеженими операторами. Досліджені властивості просторів таких векторів.

Ключові слова: гільбертіан, лівий операторний модуль, $PI$-алгебра, зображення необмеженими операторами, $\sigma $-обмежене зображення, точне зображення.

Стрелец А.В. Алгебры с дополнительными структурами и их представления. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2002.

Диссертационная работа относится к теории представлений алгебр с дополнительными структурами ограниченными и неограниченными операторами в гильбертовом пространстве. Работа состоит из трёх разделов.

Структура операторного пространства позволяет рассматривать данное линейное пространство, как подпространство алгебры ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Гильбертово пространство, наделенное операторной структурой, называют гильбертианом, при этом существует много различных таких структур. Поэтому естественным является вопрос, при какой операторной структуре гильбертово пространство является левым операторным модулем над алгеброй ограниченных операторов в нём со <<стандартным>> внешним умножением. В первом разделе получены критерии вполне изоморфности гильбертиана столбцовому гильбертиану, используя которые, показано, что гильбертиан является левым операторным модулем над алгеброй ограниченных операторов в нём тогда и только тогда, когда он вполне изоморфен столбцовому.

Во втором разделе изучаются алгебры, заданные конечным числом образующих и соотношений. В первых двух подразделах исследуются алгебры $\mathbf{Q}_{\,n,\lambda }$, порождённые конечным числом идемпотентов, сумма которых кратна единице. Известно, что при $n\leqslant3$ все (нетривиальные) алгебры $\mathbf{Q}_{\,n,\lambda }$ конечномерны, следовательно, все они являются $PI$-алгебрами. В работе изучается вопрос, какие из алгебр $\mathbf{Q}_{\,n,\lambda }$ являются $PI$-алгебрами для случая $n\geqslant4$. С помощью техники построения базиса Грёбнера в конечнозаданной алгебре найдены линейные базисы алгебр $\mathbf{Q}_{\,n,\lambda }$ ( $n\geqslant4$). Показано, что в случае, когда количество идемпотентов больше или равно 5, такая алгебра не может удовлетворять полиномиальным тождествам. Доказано, что алгебра, порожденная четверкой идемпотентов, сумма которых равна 2, является $F_4$-алгеброй и имеет точное представление ограниченными операторами. В третьем подразделе второго раздела рассматривается вопрос, какие инволюции, удовлетворяющие некоторому естественному условию, можно ввести в конечнозаданной алгебре так, чтобы они не были $*$-изоморфными. Показано, что в свободной алгебре и в алгебре полиномов $n$ коммутирующих переменных существует единственная инволюция, удовлетворяющая этому условию.

Третий раздел посвящен изучению теории $*$-представлений $*$-алгебр неограниченными операторами. В первом подразделе показано, что для существования точного представления $*$-алгебры неограниченными операторами необходимо, чтобы она была вполне положительна. Во втором подразделе введено понятие $\sigma $-ограниченного представления $*$-алгебры и получен критерий существования точного $\sigma $-ограниченного представления $*$-алгебры. Доказано, что для обертывающей алгебры алгебры Ли компактной группы Ли существует точное $\sigma $-ограниченное представление. В третьем подразделе по аналогии с аналитическими, целыми, ограниченными векторами для одного неограниченного вектора и, в более общем случае, векторами класса Жеврье, введено понятие совместных <<гладких>> векторов для конечной семьи неограниченных операторов и для представления $*$-алгебры неограниченными операторами. Исследованы элементарные свойства таких пространств. Интересным является вопрос, какие пространства <<гладких>> векторов для данной семьи плотны в гильбертовом пространстве. Приведены примеры семей операторов, для которых: