Конформное отображение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Понятие конформного отображения

Основная задача теории конформных отображений - построить конформное отображение заданной области на некоторую заданную область плоскости переменной w.

Непрерывное отображение области 2-мерного евклидова пространства в 2-мерное евклидово пространство называется конформным в точке , если оно в этой точке обладает свойствами постоянства растяжений и сохранения углов. Свойство постоянства растяжений в точке при отображении состоит в том, что отношение расстояния между образами и точек u к расстоянию между и стремится к определенному пределу , когда стремится к произвольным образом; число называется коэффициентом растяжения в точке при рассматриваемом отображении. Свойство сохранения (консерватизма) углов в точке при отображении состоит в том, что любая пара непрерывных кривых , расположенных в и пересекающихся в точке под углом б (т.е. имеющих касательные в точке , образующие между собой угол б), при рассматриваемом отображении переходит в пару непрерывных кривых , , пересекающихся в точке под тем же углом б. Непрерывное отображение области называется конформным, если оно конформно в каждой точке этой области.

По определению, конформное отображение области обязано быть непрерывным и конформным лишь во внутренних точках , и если говорят о конформном отображении замкнутой области, то, как правило, имеют в виду непрерывное отображение замкнутой области, конформное в ее внутренних точках.

Конформные отображенияобласти 2-х мерного евклидова пространства в 2-х мерное евклидово пространство удобно рассматривать как отображение области плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного ; соответственно отображение является комплекснозначной функцией комплексного переменного . При этом если в точке отображение сохраняет углы, то криволинейные углы с вершиной при этом отображении либо сохраняют свою абсолютную величину и знак, либо сохраняют свою абсолютную величину, изменяя знак на противоположный. В первом случае говорят, что отображение в точке является конформным отображением первого рода, во втором - конформным отображением второго рода. Если функция задает конформное отображение второго рода в точке , то комплексно сопряженная функция w= задает конформное отображение первого рода в точке , и наоборот. Поэтому изучаются лишь конформные отображения первого рода, и именно их обычно имеют в виду, когда говорят о конформном отображении, не уточняя их род. Если отображение конформно в точке , то при существует конечный предел отношения , т. е. существует производная . Верно и обратное. Таким образом, если существует то каждый бесконечно малый вектор с началом в точкепри отображении преобразуется с помощью линейной функции т.е. растягивается в раз, поворачивается на угол arg и параллельно сдвигается на вектор .

В теории плоских конформных отображений и ее приложениях принципиальным является вопрос о возможности однолистно и конформно отобразить одну заданную область на другую, а в практических приложениях - вопрос о возможности это сделать посредством сравнительно простых функций. Первую задачу для случая односвязных областей, границы которых не пусты и не вырождаются в точки, решает в положительном смысле теорема Римана о конформном отображении. Вторая задача для некоторых областей специального вида, решается применением элементарных функций комплексного переменного.

Основные принципы теории конформных отображений о отображении одной области на другую

Теорема Римана. Пусть - односвязная область расширенной комплексной плоскости, граница которой содержит не менее двух точек. Тогда:

1) существует аналитическая в функция конформно отображающая на единичный круг

2) эту функцию можно выбрать так, что будут выполнятся условия

где заданные точки, заданное действительное число. При этом функция условиями (1) определяются однозначно.

Две односвязные области, каждая из которых имеет не менее двух граничных точек, можно конформно отобразить одну на другую. Важным теоретическим положением, характеризующим поведение конформного отображения вблизи границы области, является следующий принцип соответствия границ.

Теорема 1. Пусть и - односвязные области, ограниченные простыми кусочно гладкими контурами и , а функция однолистно и конформно отображает область на область . Тогда:

1) функция , имеет непрерывное продолжение на границу области , т.е. ее можно так доопределить в точках контура , что получится функция, непрерывная в замыкании ;

2) функция , доопределяется на границе, отображает контур взаимно однозначно на контур , причем так, что положительному обходу контура будет соответствовать положительный обход контура .

Теорема 2. Пусть функция аналитична в односвязной области , ограниченной кусочно гладким контуром , и непрерывна в замыкании этой области. Если функция осуществляет взаимно однозначное отображение контура на некоторый простой кусочно гладкий контур , то отображает область конформно и однолистно на область , ограниченную контуром , причем обходу контура в положительном направлении соответствует обход контура также в положительном направлении.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

1) для каждой точки существует только единственная такая, что , т.е. функция имеет только один нуль в области ;

2) для каждой точки не существует точки такой, что т.е. функция не принимает значения ни при каком

Докажем первое утверждение. По условию теоремы функция не обращается в нуль на контуре , т.к. при точка попадает на контур , а лежит в и не может принадлежать . Значит, согласно принципу аргумента, число нулей функции в области равно

Так как точка лежит в области , ограниченной контуром , то , где знак плюс соответствует положительному направлению обхода контура . Отрицательное значение в данном случае невозможно, так как свидетельствует о наличии в области полюсов функции а по условию аналитична в Следовательно, и уравнение в области имеет только одно решение.

Рассмотрим второе утверждение. Если точка расположена во внешности контура , то и уравнение не имеет решений в области А это означает, что всякая внутренняя точка области при конформном и однолистностном отображении переходит во внутреннюю точку области . Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Теоремы 1и 2 верны и для областей и расширенной комплексной плоскости, ограниченных простыми кусочно гладкими контурами и .

Теорема 3 (принцип сохранения области) Если функция аналитична в области и не является постоянной, то образ области также является областью.

Для доказательства теоремы требуется показать, что множество линейно связанное и открытое. Так как отображение в силу аналитичности является непрерывным отображением, то образ любого линейно связанного множества при этом отображении является линейно связанным множеством. Следовательно, линейно связанное множество.

Докажем теперь, что открытое множество, т.е. любая точка входит в вместе с некоторой своей окрестностью. Пусть один из прообразов точки . Если , то, согласно теореме об обратной функции, в некоторой окрестности точки определена функция , обратная функция к . Следовательно, все точки этой окрестности являются образами при отображении и она целиком принадлежит . Если , то к этому же выводу приходим, опираясь на теорему (Об обратной функции).

Теорема 4 (принцип максимума модуля). Если функция аналитическая в области , а ее модуль достигает локального максимума в некоторой точке , то постоянна в .

Доказательство проведем методом от противного. Пусть . Для точки выберем произвольную окрестность , целиком принадлежащую области , и предположим, что не является постоянной в рассматриваемой окрестности. Согласно принципу сохранения области, образ круга при отображении является областью. Значит, все точки некоторой окрестности точки являются образами точек круга . В этой окрестности выберем точку , для которой (если , то можно взять

,

а если , то в качестве можно взять любую точку указанной окрестности). Для этой точки имеем > Поскольку окрестность точки можно выбрать сколь угодно малого радиуса, заключаем, что точка не является точкой локального максимума функции .

Итак, если функция не является постоянной в окрестности точки , то не имеет максимума в точке . Если же достигает максимума в некоторой точке области , то функция постоянна в некоторой окрестности точки , т.е. при . Согласно теореме о единственности аналитической функции, аналитические функции и совпадают в области . Другими словами, функция постоянна в .

Теорема 5. Если функция аналитична в ограниченной области и непрерывна на замыкании этой области, то функция достигает наибольшего значения на границе области .

Действительно, если функция постоянна в , то в силу непрерывности она постоянна в и утверждение теоремы очевидно.

Если же не является постоянной в , то, согласно теореме 4, функция не может достигать наибольшего значения в области , т.к. в противном случае она имела бы в точку локального максимума. Но , будучи непрерывной на замкнутом ограниченном множестве , достигает на этом множестве своего наибольшего значения: это может произойти только на границе области .

Теорема 6. Если функция аналитична в области , не имеет в нулей и ее модуль достигает в локального минимума, то постоянна в этой области.

Теорема 7 (лемма Шварца). Если аналитическая в круге функция удовлетворяет условиям , , то и , z. При этом равенство или возможно хотя бы в одной точке z₀ лишь тогда, когда

Доказательство. В силу того, что точка является нулем функции , эту функцию можно представить в виде , где - аналитическая функция в , причем . Рассмотрим круг , ограниченный окружностью Функция аналитична в и непрерывна в . Поэтому, согласно теореме 5, она достигает наибольшего значения на границе. При этом при , так как по условию теоремы . Следовательно, всюду в имеем .

Предположим, что в некоторой точке выполнено неравенство . Выберем r<1 так, что . Тогда и, следовательно, . Получили противоречие, которое показывает, что на самом деле всюду в . В частности, в .

Если , то функция достигает максимума в точке , равного единице. Аналогично равенство означает, что достигает максимума в точке , равного единице. И в том и в другом случае, согласно принципу максимума модуля, функция является постоянной, причем . Следовательно, и .

Теорема 8. Пусть функция гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замыкании этой области. Если непостоянна в , то она достигает наибольшего и наименьшего значений только на границе этой области.

Принцип симметрии

Теорема 9 (принцип непрерывности). Пусть две односвязные области и в расширенной комплексной плоскости не пересекаются, но имеют общий участок границы в виде простой кусочно гладкой дуги . Если функция аналитична в области и непрерывна на множестве а функция ₂ (z) аналитична в и непрерывна на множестве , причем при , то функция



аналитична в области

Определение 1. Пусть выполнены следующие условия:

1) Функция определена на множестве ;

2) Функция аналитическая в области ;

3) при .

Тогда функцию называют аналитическим продолжением функции .

Теорема 10 (принцип симметрии). Пусть - односвязная область, лежащая в верхней полуплоскости , граница которой содержит интервал действительной оси , а область, симметричная этой оси. Если функция непрерывна в области и на ее границе, аналитична в и принимает действительные значения при то эту функцию можно аналитически продолжить в область по формуле

Доказательство. Рассмотрим в области функцию =. Эта функция корректно определена, так как для любой точки точка принадлежит области . Докажем, что является аналитической в . Рассмотрим произвольную точку и некоторую ее окрестность , целиком попадающую в . Тогда окрестность целиком попадает в и в ней в силу аналитичности функцию можно разложить в ряд Тейлора:

Пусть . Тогда , и мы имеем

Следовательно,

т.е. в окрестности точки функция представима степенным рядом, а потому аналитична. Так как можно выбрать произвольно, то аналитична всюду в .

Рис.1.

Функция , определяемая соотношением (2), непрерывна в областях и т.к. в этих областях функции и аналитичны (а потом и непрерывны). Покажем, что функция непрерывна и в точках интервала . Возьмем произвольную точку (рис.1.). В силу непрерывности функции в точке для любого можно выбрать такое , что для точек удовлетворяющих неравенству , верно неравенство .

Отметим, что по условию теоремы значение является действительным. Для произвольной точки , для которой , имеем либо , либо . В первом случае в силу выбора верно соотношение , тогда и . Во втором случае получаем

т.к. точка попадает в область и для нее . Итак, для любого существует такое , что при и верно неравенство . Это означает, что функция непрерывна в точке , а в силу произвольности выбора она непрерывна на всей дуге .

Применяя принцип непрерывности (см. теорему 9), заключаем, что функция является аналитической в области , т.е. являются, согласно определению 1, аналитическим продолжением функции из области в область .

Конформность дифференцируемого отображения

Пусть через точку проходят две гладкие кривые и касательные l₁ и l₂ к которым образуют с осью углы, соответственно, ₁ и ₂. Образы этих кривых и при дифференцируемом отображении имеют касательные₁ и ₂, образующие с действительной осью углы и . Следовательно, т.е. ₂₁₂₁ Таким образом, дифференцируемое отображение при сохраняет углы между кривыми. Сохраняется и направление отсчёта углов (т.е. если и₂ >и₁, то и₂^' >и₁^'). Любое преобразование плоскости в плоскость, обладающее эти свойством (т.е. свойством сохранения углов), является конформным. Если при этом сохраняется направление отсчёта углов, то преобразование является конформным преобразованием первого рода; если направление отсчёта углов меняется на противоположное, то преобразование является конформным преобразованием второго рода. Мы доказали, что аналитическая в некоторой области функция осуществляет конформное отображение первого рода во всех точках, в которых производная отлична от нуля. Пример конформного отображения второго рода - недифференцируемая функция .

Таким образом для того, чтобы отображение было конформным в - в .

конформное отображение функция

2. Элементарные функции

Теория конформных отображений подчинена решению двух основных задач:

1) найти образ области при заданном отображении;

2) найти конформное отображение одной заданной области на другую.

Практические пути решения этих задач открывает прежде всего принцип соответствия границ, согласно которому конформное отображение одной области на другую определяется непрерывным и взаимно однозначным соответствием между их границами. Для решения первой задачи нужно найти образ границы заданной области, а для решения второй - аналитическую функцию, устанавливающую взаимно однозначное соответствие между границами двух областей. Помощь в решении этих задач теории конформных отображений могут оказать и другие геометрические принципы теории функций комплексного переменного.

В теории конформных отображений нет универсального метода, обеспечивающего решение какой-либо из двух задач. Нет общего алгоритма, позволяющего найти образ заданной области при заданном отображении, а тем более нет алгоритма построения конформного отображения из одной области в другую. Ситуация здесь та же, что и во многих других разделах математического анализа: решение конкретной задачи можно найти, хорошо зная конформные отображения, осуществимые элементарными аналитическими функциями, а также конформные отображения типовых областей. Решение конкретной задачи сводят в решению одной из стандартных задач.

Перейдем к рассмотрению конформных отображений, осуществляемых основными элементарными функциями.

Линейная функция

Определение 2. Функция вида: , где - фиксированные комплексные числа , называется линейной.

Определение 3. Отображение, осуществимое линейной функцией

аналитической в комплексной плоскости, называют линейным.

Линейная функция обладает следующими свойствами.

1) Функция однолистна на .

Доказательство: Добавим к (3) условие

в бесконечно удаленной точке .Соотношения (3) и (4) опредеделяют однолистное отображение расширенной комплексной плоскости () на расширенную комплексную плоскость (). Проверяем однолистность:

и ,

то

и, следовательно, равенство возможно только при .

2) Для линейной функции существует обратная функция:

,

которая также является линейной функцией

3) Во всех точках плоскости функция является дифференцируемой, причем ее производная вычисляется по формуле

.

Доказательство:

Для доказательства дифференцируемости функции найдем действительную и мнимую части линейной функции, покажем, что эти функции дифференцируемы, как функции 2-х действительных переменных, и выполняются условия К.-Р.

Т.к. , где и , то

+, или, что тоже самое,

т.е.

Функции и являются многочленами первого порядка, а, следовательно, они дифференцируемы любое число раз как функции двух переменных.

Найдем их частные производные:

отсюда следует, что

и .

Таким образом, условия К.-Р. выполняются. Следовательно, функция является дифференцируемой, и значит аналитической в . Кроме того,

.

3) Линейная функция - голоморфна на всей плоскости (Функция называется голоморфной в , если в каждой точке области ее можно разложить в ряд Тейлора).

Доказательство:

Учитывая свойство 3) разложим линейную функцию в ряд Тейлора в любом

т.е. таким образом, линейная функция является аналитической и однозначной, голоморфна в .

5) Для любой точки существует , поэтому отображение функцией - является конформным во всех точках плоскости.

Отображение с помощью линейной функции:

Рассмотрим сначала частные специальные случаи линейных функций:

1) Пусть , тогда В этом случае каждая конечная точка смещается в точку , т.е. происходит параллельный перенос всех точек комплексной плоскости на вектор, соответствующий комплексному числу .(рис. 2)



Рис. 2

2) Пусть , тогда Это отображение осуществляет преобразование поворота вокруг начала координат на угол (рис. 3), т.к. для имеем .

Рис. 3

3) Пусть и тогда В этом случае отображение оставляет неизменным аргумент комплексного числа , но его модуль изменяется в раз (рис. 4). Такое отображение представляет собой преобразование подобия с центром подобия в точке и коэффициентом подобия .



Рис. 4

Любая линейная функция может быть представлена в виде композиции трех линейных функций частного вида: Отсюда заключаем, что линейное отображение общего вида (3) можно осуществить путем последовательного применения:

1) Поворота около начала координат на угол ;

2) Преобразования подобия с центром подобия в точке и коэффициентом подобия ;

3) Параллельного переноса на вектор, изображающий комплексное число

Так как каждое из трех составляющих отображений преобразует окружность в окружность, а прямую в прямую, то любое линейное отображение преобразует окружность в окружность и прямую в прямую. Его неподвижные точки можно найти из условия Отсюда при получаем и . При получаем преобразование параллельного переноса, которое имеет единственную неподвижную точку . Отметим, что при линейное отображение можно представить в виде , где z₀ - неподвижная точка отображения (для этого достаточно из равенства вычесть тождество ). Из этого представления видно, что линейное отображение при представляет собой композицию поворота комплексной плоскости вокруг точки на угол и преобразования подобия (растяжения) с центром в точке и коэффициентом растяжения .

Линейное отображение определено однозначно условиями, при которых однозначно определены параметры и . Можно потребовать, чтобы две различные точки и переходили соответственно в произвольно заданные, но различные точки и . Тогда параметры и будут удовлетворять системе уравнений и , имеющей относительно и единственное решение. Соответствующее отображение имеет вид

Линейное отображение будет определено однозначно и в том случае, когда в некоторой точке заданы значения функции и значения ее производной (эта производная постоянна и на самом деле не зависит от точки ). При этих условиях отображение можно записать в виде

.

Дробно-линейная функция

Определение 4. Функция вида: , где - фиксированные комплексные числа, называется дробно-линейной функцией. При этом будем предполагать, что , чтобы исключить случай обращения в линейную функцию, а также вырождения в постоянную.

Условие - является достаточным условием однолистности функции в .

При этом под углом между кривыми в точке. понимается угол между образами этих кривых при отображении в точке

Используя эти определения получаем cвойства дробно-линейного отображения:

1) Дробно-линейная функция представима в виде:

,

и, следовательно, является последовательным применением следующих преобразований к точкам комплексной плоскости : 1) линейного отображения, 2) функции вида , 3) поворота на угол и подобия с коэффициентом подобия , 4) параллельного переноса на вектор: . Учитывая свойства этих отображений, получаем, что дробно- линейное отображение является однолистным, голоморфным, поэтому представляет собой конформное отображение всей плоскости, за исключением точек . В точках конформность следует проверять отдельно.

1.1) Точка при отображении переходит в точку . Проверим является ли дробно-линейным отображение конформным в точке , для этого выполним замену: , которая переведет точку в точку , тогда

.

Находим производную функцию в точке :

,

т.к. согласно определению дробно-линейной функции, то . Отображение имеет производную отличную от нуля в точке , следовательно, оно сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку . Это означает, что отображение сохраняет углы в точке , а значит, является конформным отображением в точке .

1.2) Точка при отображении переходит в точку . Проверим является ли дробно-линейное отображение конформным в точке . Для этого выполним преобразование, которое переведет точку в точку :

Находим производную функции в точке :

, ,

учитывая определение дробно линейной функции, получим, что , следовательно,

Отображение имеет производную отличную от нуля в точке , и является конформным в ней, поэтому оно сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку .

Итак, отображение представляет собой конформное отображение во всей расширенной плоскости.

2) Круговое свойство дробно-линейного отображения: произвольное дробно-линейное отображение переводит окружность комплексной плоскости в некоторую окружность расширенной комплексной плоскости (под окружностью в понимается либо обычная окружность в центром в некоторой конечной точке и конечного радиуса, либо прямая).

Доказательство.

При в дробно-линейное отображение становится линейным и утверждение теоремы очевидно, т.к. такое отображение переводит окружности на комплексной плоскости в окружности, а прямые в прямые. Если в , то отображение можно записать в виде

где

Из этого представления видно, что дробно-линейное отображение является композицией трех отображений:

Линейные отображения и , как уже сказано, обладают свойством. Остается доказать, что круговым свойством обладает и отображение .

Заметим, что уравнение любой окружности в (т.е. любой окружности в и любой прямой в ) можно записать в виде

где возможен случай (это соответствует прямым в). Переходя к комплексному переменному и учитывая, что , из получаем комплексное уравнение окружности в

в котором . Чтобы получить уравнение образа окружности в при отображение , достаточно в подставить :

или

Мы пришли к уравнению того же вида, что и уравнение

.

Следовательно, образ окружности в при отображении есть окружность в .

Доказательство теоремы завершает соображение: если два отображения обладают круговым свойством, то и их композиция обладает круговым свойством. Мы представили произвольное дробно-линейное отображение в виде композиции трех отображений . Каждое из этих трех отображений обладает круговым свойством. Значит, и их композиция обладает круговым свойством.

3) Сохранение симметрии при дробно-линейном отображении.

Замечание 2. Дробно-линейное отображение преобразует окружность в прямую, если проходит через точку , которая переходит в бесконечно удаленную точку. Если окружность не проходит через точку , то при указанном дробно-линейном отображении перейдет в окружность. Аналогичным образом преобразуются и прямые: прямая при отображении переходит в прямую, если проходит через точку . Иначе переходит в окружность.

Определение 5. Точки и называют симметричными относительно окружности в , если они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности , и произведение их расстояний до центра окружности равно квадрату радиуса окружности, т.е. и .

Так как для точек и , симметричных относительно окружности , верно соотношение , то равно действительному положительному числу. А поскольку, согласно определению,



то

или

Так как при приближении точки к центру окружности симметричная ей точка стремится к бесконечно удаленной точке, то центр окружности и бесконечности удаленную точку естественно считать симметричными относительно окружности .

Теорема 11. Произвольное дробно-линейное отображение преобразует любые точки и , симметричные относительно окружности на , в точки и , симметричные относительно образа этой окружности.

Доказательство.

Рассмотрим семейство всех окружностей на , проходящих через и . Каждая из этих окружностей перпендикулярна . Дробно-линейное отображение переводит каждую окружность в окружность в , перпендикулярную (в силу теоремы : Функция с дополнением и осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение расширенной комплексной плоскости на расширенную коплексную плоскость ) образу окружности . Согласно критерию симметричности точек, получаем, что точки и , через которые проходят все окружности семейства , симметричны относительно окружности .

4) Инвариант дробно-линейного отображения

При помощи дробно-линейного отображения можно единственным образом преобразовать три заданные точки комплексной плоскости в три заданные комплексные плоскости ; , , .

Действительно, так как

, то , , и ,

Определим двойное отношение:

Последняя формула (5) говорит, о том что двойное отношение четырех точек сохраняется при дробно-линейном отображении , т.е. ангармоническое отношение является инвариантом дробно-линейного отображения .

Теорема 12. Пусть точки - произвольные различные конечные точки плоскости , а точки- произвольные различные конечные точки плоскости . Тогда, существует единственная дробно-линейная функция , которая переводит точки в (k=1,2,3), и определяется из соотношения (5).

Замечание 3. формула (5) остается справедливой при построении дробно-линейного отображения, переводящего заданные точки в заданные. Если среди встречается (или ), т.е. допускается бесконечность, как в левой, так и в правой части, то этом случае числитель и знаменатель дроби, где встречается бесконечность, следует заменить 1.

Приведем примеры:

1) Найти образ открытого круга при отображении .

Отображение является дробно линейным, а, следовательно, (согласно свойствам дробно линейного отображения), конформным. Всякое конформное отображение, в силу принципа сохранения области, отображает область на область, причем в силу принципа соответствия границ, достаточно отобразить границу области, обходя ее в положительном направлении. Следовательно, для того чтобы найти образ открытого круга при дробно-линейном отображении , достаточно отобразить границу , обходя ее в положительном направлении. Учитывая свойство 4 достаточно найти образы 3 последовательных точек границы , например, точка при отображении переходит в точку , -в точку , -в точку . Таким образом, граница является прямая , которая сонаправлена оси плоскосли . Следовательно, образом области является полуплоскость

Рис. 5

Ответ:

Степенная функция

Определение 6. Функция вида: , где - натуральное число, называется степенной функцией.

Свойства степенных функций:

1) Функция - - дифференцируема во всей плоскости .

2) Функция имеет отличную от нуля производную во всех точках плоскости .

3) Функция голоморфна в плоскости .

4) Отображение однолистно в любой области , которая не содержит никаких двух точек и , связанных соотношением ,

5) Образом области однолистности при отображении является вся плоскость с разрезом вдоль положительной части действительной оси.

Пример 2

Рассмотрим отображение, осуществляемое функцией , где -- произвольное целое число. Эта функция, очевидно, является целой функцией. Для изучения геометрических свойств ее отображения удобно воспользоваться показательной формой записи комплексных чисел: из которой следует, что любой сектор ?? с центральным углом плоскости данной функцией отображается на полную плоскость . Различные внутренние точки этого сектора отображаются на различные точки плоскости . При этом границы сектора переходят в один и тот же луч на плоскости . Для установления взаимно однозначного соответствия между областью однолистности функции и плоскостью будем считать, что на плоскости произведен разрез по лучу и границам данного сектора плоскости сопоставлены различные берега разреза. Например, сектор плоскости функцией отображается на полную плоскость , причем обе границы этого сектора, лучи I и II на (рис. 6), переходят в положительную часть действительной оси и плоскости . Сектор также отображается на полную плоскость и т. д. Поэтому геометрический образ функции представляет собой плоскость , повторенную раз. Тем самым отображение полной плоскости на полную плоскость , осуществляемое данной функцией, не является взаимно однозначным

Однако если в качестве геометрического образа функции рассматривать более сложное многообразие, чем обычная комплексная плоскость, можно сохранить взаимную однозначность отображения.

Рис. 6

Будем считать, что мы имеем экземпляров (листов) плоскости , разрезанной по положительной части действительной оси, на каждом из которых изменяется в пределах

где Сектору плоскости функция ставит в соответствие лист плоскости луч переходит в верхний берег разреза -го листа, а луч -- в нижний берег разреза этого же листа. Построим из этих листов непрерывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению точки на плоскости соответствовало непрерывное движение точки на данном многообразии. Для этого заметим, что нижний берег разреза листа и верхний берег разреза листа имеют один и тот же аргумент . Когда точка в своем непрерывном движении по плоскости переходит из одного сектора в другой, соответствующая ей точка переходит с одного листа плоскости на соседний лист. Очевидно, чтобы сохранить непрерывность отображения, мы должны соединить соседние листы, склеивая нижний берег разреза листа с верхним берегом разреза листа. При этом остаются свободными верхний берег разреза и нижний берег разреза листов. Пусть точка совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки , последовательно пройдя через все секторов этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему первоначальному положению. Тогда соответствующая ей точка пройдет листов, и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить остававшиеся свободными берега разрезов на и листах. Тем самым полной плоскости функция ставит в соответствие листов плоскости , склеенных указанным выше образом. Такое геометрическое многообразие представляет собой частный случай так называемой римановой поверхности. Функция является функцией.

Показательная функция

Определение 7. Функция вида:

называется показательной функцией.

Свойства показательных функций:

1) Функция - -дифференцируема во всей плоскости.

Так как то отображение, осуществимое показательной функцией, будет конформным во всей комплексной плоскости.

2) Функция имеет отличную от нуля производную во всех точках плоскости

3)

Отметим, что .

4)

Одно из значений аргумента есть , и, следовательно,

.

5) Показательная функция является периодической, с мнимым основным периодом .

Функция сохраняет все свойства показательной функции действительного переменного и является периодической с периодом .

6) Равенство равносильно равенству , откуда Это указывает на то, что во всей плоскости функция не является однолистной. Более того, эта функция не будет однолистной в любой области, содержащей вместе с точкой точку вида Напротив, в полосе функция однолистна и, следовательно, конформно отображает эту полосу на некоторую область плоскости .

Рассмотрим отображение функцией прямых на плоскость . Из соотношения следует, что прямая переходит в луч . Прямая при отображении перейдет в окружность , так как . Но при этом отображении на этой прямой не будет взаимно однозначным, так как точки и , удовлетворяющие соотношению имеют один и тот образ. Это говорит о том, что функция является однолистной в тех областях комплексной плоскости , которые не содержат вертикальных отрезков длины или более. Примером такой области является полоса . Ясно, что любой отрезок прямой , лежащий в этой полосе, перейдет в дугу окружности . (рис. 7)

Рис. 7

Тригонометрические функции комплексной переменной

Определение 8. Из формулы Эйлера для всех действительных имеем

откуда

,

Эти формулы можно использовать для голоморфного продолжения косинуса и синуса в комплексную плоскость, положив по определению для любого :

, .

Свойства тригонометрических функций комплексного переменного:

1) и - - дифференцируемы во всей плоскости (как линейные композиции -дифференцируемых функций).

2) и во всех точках плоскости имеют производную, причем , , .

3) Для любых справедливо:

4) Функции и имеют лишь действительные нули, а именно:

5) Функции и являются периодическими с основным периодом .

6) Тригонометрические функции комплексного переменного тесно связаны с гиперболическими, которые для любого определяются формулами

, .

Эта связь выражается соотношениями

7) Пользуясь свойствами 4) и 7) получим

Величины и являются неограниченными, а именно вдоль мнимой оси, аналогично при

8) Тангенс и котангенс для комплексных значений аргумента определяются формулами

9)

Рассмотрим примеры конформных отображений осуществимых основными элементарными функциями:

1) Построим линейное отображение, переводящее полукруг в полукруг .

Решение:

Для этого последовательно выполним следующие отображения:

1) , которое переводит область в область ;

2) , переводящее область в полукруг ;

3) , переводящее полукруг в полукруг

4) , переводящее полукруг в .

Таким образом, получаем искомое отображение (Рис. 8)

Рис. 8

2) Найти линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами на треугольник с вершинами.

Решение:

Для того чтобы найти функцию , конформно отобразим треугольник на треугольник .

Рис. 9

Тогда вершины одного треугольника переходят в вершины другого треугольника соответственно:

ЃЛ решим систему

ЃЛЃЛ функция принимает вид

Проверка: , , - верное тождество.

Ответ: .

3) Найти функцию, конформно отображающую единичный круг на верхнюю полуплоскость .

Решение:

Для решения поставленной задачи установим следующее соответствие граничных точек данных областей (рис. 10):

Рис. 10

и найдем коэффициенты дробно-линейной функции, осуществляющей искомое отображение. Как легко видеть из условий (1) и (2), сразу определяются значения и , после чего искомая функция принимает вид

Последний коэффициент определяется из условия (2):



откуда . Тем самым функция, осуществляющая искомое отображение, имеет вид

Отметим, что функция осуществляет конформное отображение области на нижнюю полуплоскость .

4) Отобразить конформно множество на множество

Решение:

Нужно найти функцию

Найдем отображение осуществимое множествами:

Нужно найти функцию

Рис. 11

1) Нужно повернуть на

2) Ширина полосы

Тогда,

=4

3) Сместить на 1 вправо:

Т.о.

Ответ: .

5) Отобразить конформно при помощи функции ,

Решение:

Область принимает вид (Рис. 12):

Рис. 12

Подставим крайние точки области в функцию :

>;

>;

>;

>;

т.о. область примет вид - (Рис. 13):

Рис.13

Ответ:

6) Выясним, на какую область отображается полукруг с помощью функции .

Решение:

Граница области состоит из верхней полуокружности и отрезка действительной оси. Найдем образ границы. Отрезок действительной оси, не проходящее через точку , согласно замечанию 4, переходит в дугу окружности некоторого радиуса с центром в некоторой точке .

Для нахождения и в заданную функцию подставим и выделим действительную и мнимую части:



Стало быть,

Отсюда

и

или . Приводя это уравнение окружности к каноническому виду , устанавливаем что и . Итак, образом действительной оси будет окружность (Рис. 14). Поскольку точке полукруга соответствует точка , то область , очевидно, будет располагаться во внешности этой окружности.

Рис. 14

Рассмотрим оставшуюся часть границы области . Образом окружности , которая не проходит через точку , согласно замечанию 4, является окружность. Чтобы установить уравнение этой окружности, в заданную функцию подставим :

Переходя в этом равенстве к абсолютным величинам и учитывая, что числитель и знаменатель дроби справа являются комплексно сопряженными числами и их модули равны, получаем . Следовательно, образом окружности является окружность , а образом полукруга будет область , полученная пересечением внутренности окружности и внешности окружности (см. рис. 14).

7) Найдем образ правой полуплоскости при отображении .

Решение:

Границей правой полуплоскости является мнимая ось . При заданном отображении эта ось переходит в окружность . Действительно,

поскольку комплексные числа и являются комплексно сопряженными, а значит, имеют равные модули.

Согласно принципу соответствия границ, образом правой полуплоскости является либо круг , либо область, так как окружность является общей границей двух областей. Взяв точку в правой полуплоскости, находим ее образ который попадает в круг . Следовательно, образом полуплоскости является круг . (Рис. 15)

Рис. 15

8) Найдем функцию , конформно отображающую полукруг , на верхнюю полуплоскость и условии, что при .

Решение:

Рассмотрим сначала дробно-линейное отображение , переводящее три заданные граничные точки полукруга в точки и плоскости . Использую формулу (5) и учитывая замечание 3, находим



Отсюда получаем . Согласно замечанию 2, образом диаметра полукруга является действительная полуось так как ей принадлежит точки и , а образом окружности - мнимая полуось , поскольку и прямой угол между диаметром и полуокружностью в точке прямым (рис. 16). Итак, образом полукруга является первый квадрат полуплоскости , отображаемый функцией на полуплоскость В итоге получаем

Рис. 16

9)  Построим отображение луночки, ограниченной окружностями и (рис. 17), на верхнюю полуплоскость .

Решение:

Чтобы получить искомое отображение, достаточно перевести исходную область в полосу . Итак, переведем сначала окружности и в горизонтальные прямые и соответственно. Для этого рассмотрим отображение и потребуем, например чтобы точка перешла в точку , а точка - в точку . Тогда и , и мы приходим к отображению

Окружности проходят через точку . Согласно замечанию 2, образами окружностей будут прямые, одна из которых проходит через точку , а другая - через точку . Так как в точке окружности, ограничивающие луночки, касаются, то прямые, в которые они переходят, параллельны. Точка , симметричная точке относительно окружности , переходит в точку , которая должна быть симметрична точке относительно образа этой окружности. Значит, образом окружности является прямая . Образом окружности будет прямая . Итак, заданная область преобразована в полосу . Осталось применить отображение . В итоге получается искомое отображение (Рис. 17)



Рис. 17

Размещено на Allbest.ru