Статистические функции непрерывных распределений. Функции нормального распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

на тему:

«Статистические функции непрерывных распределений. Функции нормального распределения»



Содержание

Введение

Теоретическая часть

Функции нормального распределения

Заключение

Используемая литература



ВВЕДЕНИЕ

Одним из фундаментальных в статистическом анализе является понятие случайной величины. Случайной называется переменная величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определенными вероятностями.

Например число вызовов , поступивших от абонентов на телефонную станцию в течении определённого промежутка времени не остаётся постоянным, а подвержено значительным колебаниям от многих случайных обстоятельств.

В практических задачах обычно используются дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется такая случайная величина, множество возможных значений которой либо конечно, либо бесконечно, но счетно.

Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Чтобы дать полное математическое описание случайной величины, нужно указать множество ее значений и соответствующее случайной величине распределение вероятностей на этом множестве.

Один из основных способов задания распределения дискретной случайной величины - в виде статистического ряда распределения, который представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности по определенному варьирующему признаку. При задании закона распределения непрерывной случайной величины такой способ уже неприемлем хотя бы потому, что множество ее значений бесконечно и сплошь заполняет некоторый промежуток. В этом случае не представляется возможным перечислить все значения случайной величины и их вероятности в виде таблицы (построить ряд распределения) или отметить их в системе координат (построить полигон или гистограмму распределения).

Кроме того, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обладает нулевой вероятностью. Однако, несмотря на данное обстоятельство, нахождение возможных значений случайной величины в различных интервалах обладает различными и отличными от нуля вероятностями. Таким образом, для непрерывной случайной величины, так же как и для дискретной, можно определить закон распределения, но несколько в ином виде, чем для дискретной.

Для этого используют понятие функции распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x),задающая вероятность того, что случайная величина Xпринимает значение, меньшее x,т. о есть F(x) = Р(Х <х).

Иногда функцию F(x)называют интегральной функцией распределения.

Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины дает полную вероятностную характеристику ее поведения. Однако способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Ее можно задать с помощью другой функции, которая называется дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения. В некотором смысле эта функция более удобна, чем интегральная функция F(x),так как последняя не в полной мере дает представление о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси. Решить эту задачу позволяет дифференциальная функция распределения, которая является первой производной интегральной функции распределения:

f(x)= F'(x)

График дифференциальной функции распределенияf(х) называется кривой распределения. Кривая распределения, выражающая общую закономерность данного типа распределения, называется теоретической кривой распределения.

В статистике широко используются различные виды теоретических распределений - нормальное распределение, биномиальное, распределение Пуассона и др. Каждое из теоретических распределений имеет специфику и свою область применения. Чаще всего в качестве теоретического распределения используется нормальное распределение, занимающее особое положение в статистических исследованиях.

Целью данной курсовой работы является:

1. Рассмотрение понятия «Статистические функции непрерывных распределений»

2. Изучение в MicrosoftExcel функций нормального распределения.

функция распределение случайная непрерывная



Теоретическая часть

Статистические функции непрерывных распределений

В практике статистической обработки могут широко применяться статистические функции MicrosoftExcel. В состав MicrosoftExcel входит библиотека, содержащая 78 статистических функций, ориентированных на решение самых различных задач прикладного статистического анализа.

Работать со статистическими функциями удобнее всего с мастером функции. При работе с ним необходимо сначала выбрать саму функцию, а затем задать её отдельные аргументы. Запустить мастер функций можно командой «Функция» из меню «Вставка», или комбинацией клавиш Shift +F3.

В теории вероятности всего 3 функции распределения - непрерывные, дискретные и многомерные. Моя задача рассказать про непрерывные распределения.

К статистическим функциям непрерывного распределения относятся следующие функции:

1. Функции нормального распределения.

2. Функции гамма - распределения.

3. Функции бета - распределения.

4. Функции логарифмического нормального распределения.

5. Функции экспоненциального распределения.

6. Функция распределения Вейбулла.

7. Функции x² - распределения (распределения Пирсона).

8. Функции t - распределения (распределения Стьюдента).

9. Функции F - распределения (распределения Фишера).

Функции нормального распределения

В MicrosoftExcelсуществует следующие функции нормального распределения:

НОРМРАСП ,НОРМОБР, НОРМСТРАСП, НОРМСТОБР, НОРМАЛИЗАЦИЯ.

Рассмотрим их все по порядку

ФункцияНОРМРАСП

Синтаксис:

НОРМРАСП (x; средне е; стандартное откл; интегр).

Результат:

Рассчитывает нормальное распределение

Аргументы:

х: значение, для которого вычисляется нормальное распределение;

среднее: средняя арифметическая распределения;

стандартное откл:стандартное отклонение распределения;

интегральная: логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент интегральная =1, то функция НОРМРАСП рассчитывает интегральную функцию распределения; если аргумент интегральная = 0- дифференциальную функцию распределения.

Математико-статистическая интерпретация:

Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) имеет в статистике широкий кругприложений и занимает средидругих законов распределения особое положение. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся условиях.

Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким-либо законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Основное ограничение, налагаемое на суммируемые величины, состоит в том, что они все должны играть в общей суммеотносительно малую роль. Если ни одна из случайно действующих величин по своему действию не окажется преобладающей над другими, то закон распределения очень близко подходит к нормальному.

Такая закономерность проявляется во многих практических случаях. Например, еще Кетле обнаружил, что вариация в однородной группе характеризуется нормальной кривой. Если построить эмпирическую кривую распределения людей одной нации, пола и возраста по росту, весу, то она напоминает кривую Гаусса -- Лапласа. Поэтому нормальное распределение часто применяется в тех случаях, когда истинный закон распределения известен, но вычисления по этому закону затруднительны, а аппроксимация его нормальным распределением допустима.

Примечание, Несмотря на широкое распространение, нормальное распределение не универсально. Если нет уверенности в его применимости, следует проверить возможность использования нормального распределениядля описания случайной величины с помощью критериев согласия.

Уравнение для плотности нормального распределения имеет вид

,

где x-произвольное действительное число, - среднее от x,

-среднее квадратичное отклонение, - экспонента.

А уравнение нормальной функции распределения -

Функция НОРМРАСП использует первое уравнение, если аргумент интегральная = 0, и второе уравнение, если аргумент интегральная = 1.

Так, формула =НОРМРАСП(42;40;1,5;0) рассчитает значение 0,109, а формула =НОРМРАСП(42;40;1,5;1) - значение 0,909.

Весьма важной практической задачей является определение вероятности того, что случайная величина попадет на заданный интервал вещественной оси (а,b).Для нормального распределения она определяется следующей формулой:

Пример 1:

Для закупки и последующей продажи мужских зимних курток фирмой было проведено выборочное обследование мужского населения города в возрасте от 18 до 65 лет в целях определения его среднего роста. В результате было установлено, что средний рост х^-- = 176 см, стандартное отклонение а - 6 см. Необходимо определить, какой процент общего числа закупаемых курток должны составлять куртки 5-го роста (182-186 см). Предполагается, что рост мужского населения города распределен по нормальному закону.

Формула для решения задачи имеет следующий вид:

=НОРМРАСП(186;176;6;ИСТИНА) - НОРМРАСП (182;176;6;ИСТИНА) = 0,95221 - 0,84134 = 0,11086 = 11%.

Таким образом, куртки 5-го роста должны составлять приблизительно 11% общего числа закупаемых курток.

ФункцияНОРМОБР

Синтаксис:

НОРМОБР (вероятность; среднее; стандартное откл).

Результат:

Рассчитывает обратное нормальное распределение.Аргументы:

вероятность: вероятность, соответствующая нормальному распределению;

среднее:средняя арифметическая распределения;

стандартное откл:стандартное отклонение распределения.

Математико-статистическая интерпретация:

Функция обратного нормального распределения используется в ситуациях, когда известна вероятность определенного значения случайной величины и необходимо рассчитать это значение.

Например, формула =НОРМОБР(0,90879;40;1,5) рассчитывает значение 42,00001 (сравните с формулой =НОРМРАСП(42;40; 1,5;1), рассчитывающей значение 0,90879).

На практике часто встречается задача, обратная задаче вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно математического ожиданияx.Формула для вероятности попадания случайной величины на участок, симметричный относительно математического ожидания, имеет следующий вид:

где й -- половина длины участка, симметричного относительно математического ожидания.

Пример 2.Для задачи, рассмотренной в примере 1, рассчитать границы интервала роста мужского населения города, вероятность попадания в который случайной величины роста составляет 0,95. Для этого предварительно необходимо преобразовать аргументы НОРМОБР к стандартному виду, в результате чего имеем

й = НОРМОБР ((P + 1)/2;0;д).



После подстановки данных получим формулу = НОРМОБР ((0,95 + 1)/2;0;6), которая рассчитает значение 11,7598. Таким образом, границы искомого интервала составят 164,24 и 187,76 см.

В качестве границ интервалов часто берутся точки, отстоящие от математического ожидания на целое число стандартных отклонений (обычно д, 2д, Зд).

Приведем значения вероятности попадания нормально распределенной величины в интервалы с такими границами.

Границы интервала	Вероятность
	0,26968 0,95450 0,99730

Функция НОРМСТРАСП

Синтаксис:

НОРМСТРАСП(z)

Результат:

Рассчитывает стандартное нормальное распределение.

Аргументы:

z: значение, для которого вычисляется стандартное нормальное распределение.

Математико - статистическая интерпретация:

См.описание функции НОРМРАСП.Стандартное нормальное распределение представляет собой не что иное, как «обычное» нормальное распределение, у которого среднее равно нулю, а стандартное отклонение - единице.

Особое выделение функции стандартного нормального распределения связано с тем, что она используется при вычислении нормальных функций с другими значениями х и а (отличными от 0 и 1 соответственно). Практически во всех учебниках по теории вероятностей и теории статистики приведены таблицы для функции стандартного нормального распределения.

Например, формула =НОРМСТРАСП((42-40)/1,5) рассчитает значение 0,90879, такое же как и формула =НОРМРАСП(42;40; 1,5;1) (см.описание функции НОРМРАСП).

Функция НОРМСТОБР

Синтаксис:

НОРМСТОБР (вероятность)

Результат:

Рассчитывает обратное стандартное нормальное распределение.

Аргументы:

вероятность:вероятность, соответствующая нормальному распределению.

Математико-статистическая интерпретация:

См. описание функций НОРМСТРАСП, НОРМОБР. Функция обратного стандартного нормального распределения используется в ситуациях, когда известна вероятность определенного значения случайной величины и необходимо рассчитать это значение.

Например, формула =НОРМСТОБР(0,69146) вычисляет значение 0,5 (сравните с формулой =НОРМСТРАСП(0,5), рассчитывающей значение 0,69146). Кроме того, формула =НОРМСТОБР (0,69146) может быть заменена формулой =НОРМОБР(0,69146; 0;1), также рассчитывающей значение 0,5 (см.описание функции НОРМОБР).

ФункцияНОРМАЛИЗАЦИЯ

Синтаксис:

НОРМАЛИЗАЦИЯ (х; среднее; стандартное откл)

Результат:

Рассчитывает нормализованное значение для нормального распределения. Аргументы:

х:нормализуемое значение;

среднее: средняя арифметическая распределения;

стандартное откл. :стандартное отклонение распределения.

Математико-статистическая интерпретация:

Нормализация (нормирование) заключается в переходе от случайной величиных с математическим ожиданием и дисперсией у² к нормированной величине

,

получаемой в результате деления центрированной случайной величины х-на стандартное отклонение у. Величину tназывают нормированной или стандартизованной случайной величиной, которая самостоятельно не применяется, а входит составной частью в выражение интегральной функции нормального распределения (см.описание функции НОРМРАСП).

Функцию НОРМАЛИЗАЦИЯ удобно использовать в качестве аргумента функции НОРМСТРАСП.

Например, формула -НОРМСТРАСП(НОРМАЛИЗАЦИЯ (42;40;1,5)) рассчитывает значение 0,90879, такое же как и формулы

=НОРМСТРАСП((42-40)/1,5) и =НОРМРАСП(42;40;1,5;1)

(см.описание функций НОРМСТРАСП и НОРМРАСП).



Заключение

В современном обществе к статистическим методам проявляется повышенный интерес как к одному из важнейших аналитических инструментов в сфере поддержки процессов принятия решений. Статистикой пользуются все - от политиков, желающих предсказать исход выборов, до предпринимателей, стремящихся оптимизировать прибыль при тех или иных вложениях капитала. Большим шагом вперёд к развитию статистической науки послужило применение экономико-математических методов и использование компьютерной техники в анализе социально-экономических явлений.



Используемая литература

1. ВентцельЕ. С. , Л. А. Овчаров. Теория вероятностей.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей.

4. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика.

5. Кильдышев Г.С., Овсиенко В.Е. и др. Общая теория статистики.

6. Кимбл Г. Как правильно пользоваться статистикой.

7. Макарова Н. В. , Трофимовец В. Я. Статистика в Excel. Учебное пособие.

Размещено на Allbest.ru