Теория вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Приближенное решение уравнения ѓ(x)=0 методом бисекций (методом деления пополам)

Задание №1

Найти наименьший положительный корень уравнения ѓ(x)=0,

где ѓ(x)=tg ax - bx , a = 0.6319 b = 0.9217

Для уточнения корня с требуемой погрешностью применим метод половинного деления, заключающийся в построении числовой последовательности Xk , k = 0,1,2,…сходящийся к искомому корню Xk уравнения.

Процесс уточнения корня уравнения на отрезке [a ; b] при условии, что функция непрерывна на этом отрезке, заключается в следующем:

Для локализации корней применим графический способ. Преобразуем исходное уравнение к эквивалентному виду

tg0.6319 x = 0.9217x

Рис

Построив графики функций ѓ1(x) = tg0.6319 x и ѓ2(x) =0.9217x ( рис. 1), определяем, что у решаемого уравнения наименьший положительный корень уравнения находится в интервале 1,3 < Xk < 1,7.

Результаты дальнейших вычислений, согласно данному алгоритму содержатся в таблице 2 .

Таблица

k	a k	b k	a k + b k 2	ѓ(ak)	ѓ(bk)	ѓ(a k + b k ) 2
0	1,300	1,700	1,500	-0,1234	0,2786	0,0095
1	1,300	1,500	1,400	-0,1234	0,0095	-0,0691
2	1,400	1,500	1,450	-0,0691	0,0095	-0,0333
3	1,450	1,500	1,475	-0,0333	0,0095	-0,0129
4	1,475	1,500	1,4875	-0,0129	0,0095	-0,002
5	1,4875	1,500	[1,4937]	-0,002	0,0095	0,0038

Корень уравнения: x5 = 1,4937.

2. Приближенное решение уравнения ѓ (x)=0 методом Ньютона

Задание №2

Найти корень уравнения ѓ(x)=0, где ѓ (x)=tg ax - bx , a = 1.2618 b = 1.8433

Рис

Построив графики функций (рис.2) ѓ1(x)= tg 1,2618x и ѓ2(x)= 1,8433x, определяем, что у решаемого уравнения имеется несколько корней, вычислим меньший положительный корень, лежащий на отрезке ( 0,6; 1,0)

Для корректного использования данного метода необходимо определить поведение первой и второй производных функции ѓ(x) на интервале уточнения корня и правильно выбрать начальное приближение x0 .

Для функции ѓ(x)= tg 1,2618x - 1,8433x имеем ѓ'(x) = 1,2618 - 1.8433 ;

cos2 1.2618x ѓ''(x) = 1.5921sin 2.5236 ;

cos4 1.5921х

ѓ(0,6)? ѓ''(0,6) < 0, т.е. точка x0 выбрана неправильно.

ѓ(1)? ѓ''(1) > 0, т.е. в качестве начального приближения выбираем правую границу интервала x0 =1, для которого выполняется равенство ѓ(х)? ѓ''(х) > 0

Результаты дальнейших вычислений, согласно данному алгоритму содержатся в таблице 3 .

Таблица 3

n	xn	ѓ(xn)	ѓ'(xn)	-ѓ(xn) /ѓ'(xn)
0	1.000	1.2893	11.8719	-0.1086
1	0.8914	0.4481	4.9405	-0.0906
2	0.8008	0.1175	2.6248	-0.0447
3	0.7561	0.0166	1.9288	-0.0013
4	0.7548	0.0141	1.9120	-0.0073
5	0.7475	0.0005	1.8162	-0.0002
6	0.7473	0.0002	1.8140	-0.0001
7	[0.7472]

Корень уравнения: x7 = 0.7472

3. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Задание №3

Решить систему линейных уравнений вида А x = b, где

А - матрица системы коэффициентов, b - столбец свободных членов;

1.84 2.25 2.53 -6.09

2.32 2.60 2.82 -6.98

1.83 2.06 2.24 -5.52

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных, в данном случае трех: x1 , x2 , x3 .

1.84 x1 + 2.25 x2 + 2.53 x3= - 6.09

2,32x1 + 2,60 x2 + 2,82x3 = - 6.98 (1)

1.83 x1 + 2.06 x2 + 2.24 x3= - 5.52

Исключаем неизвестное x1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Назовем

x1 ведущим неизвестным, а коэффициент а11= 1,84 - ведущим коэффициентом. Разделив первое уравнение на а11? 0, получим

Тогда рассматриваемое уравнение примет вид: х1+b12 x2 +b13 x3 = b14 , (2) х1= b14 - b12 x2 - b13 x3 ;

Для исключения неизвестного х1 из уравнений системы (1) проведем следующие преобразования:

1) Из второго уравнения системы (1) вычтем уравнение (2), умноженное на а21= 2,32:

- 2,32х1 - 2,32b12 x2 - 2,32b13 x3 = -2,32 b14

0 - 0,2369 x2 - 0.3700 x3 = 0.6986

2) Из третьего уравнения системы (1) вычтем уравнение (2), умноженное на а31=1,83:

1.83 x1 + 2.06 x2 + 2.24 x3= - 5.52

- 1,83х1 - 1,83b12 x2 -1,83b13 x3 = - 1,83b14

0 - 0,1777 x2 - 0.29 x3 = 0.5367

В результате произведенных элементарных преобразований имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными, эквивалентную системе (1):

Далее аналогично произведенному алгоритму коэффициенты первого уравнения системы (2)делим на ведущий коэффициент а22(1) = - 0,2369 получим первое уравнение системы в виде:

Тогда рассматриваемое уравнение примет вид: х2 + b23(1) x3= b24(1) , (2') x2 = b24(1) - b23(1) x3 .

Исключая теперь неизвестное х2 аналогичным путем из всех уравнений системы (2), кроме первого находим:

- 0,1777 x2 - 0.29 x3 = 0.5367

-(-0,1777)х2 -(- 0,1777)b23(1) x3= -(- 0,1777) b24(1)

0 - 0,0125x3 = 0,0127

отсюда

Остальные неизвестные находим из уравнений (2') и (2):

x2 = b24(1) - b23(1) x3= - 2,9489 - 1,5618·(- 1,016)= - 1,3621

х1= b14 - b12 x2 - b13 x3 = - 3,3097 - 1,2228·(-1,3621)- 1,375·(- 1,016)= - 0,2472

Таким образом, процесс решения системы линейных уравнений по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы уравнений (2'), (2). Метод Гаусса применим при том условии, что все коэффициенты отличны от нуля. Для удобства вычисления составляем таблицу 4 ,где записываем все коэффициенты при неизвестных:

Таблица 4

х1	х2	х3	b	?
1,84	2,25	2,53	-6,09	0,53	А
2,32	2,60	2,82	-6,98	0,76
1,83	2,06	2,24	-5,52	0,61
1	b12=1,2228	b13=1,375	b14 =- 3,3097	0,2881
	-0,2369	-0,3700	0,6986	0,0917	А1
	-0,1777	-0,2900	0,5367	0,069
	1	b23(1)=1,5618	b24(1)=-2,9489	-0,3871
		-0,0125	0,0127	0.0002	А2
		1	-1,016	-0,016

4. Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона

Задание №4

1

? cos (x+x3) dx

0

Отрезок интегрирования [0,1] разбиваем на четыре равные части с шагом:

x0= 0; x1= 0,125; x2= 0,25; x3= 0,375; x4= 0,5; x5= 0,625; x6= 0,75; x7= 0,875; x8= 1.

По формуле Симпсона: (y0+ 4y1+2y2+4y3+2y4+….+2yN-2+ 4y N-1+yN)

Таблица. Данные вычислений записываем в таблицу ( таб. 5)

i	xi	(x+x3)	f (xi)= cos (x+x3)
0	0	0	1,000
1	0,125	0,1269	0,9919
2	0,25	0,2656	0,9649
3	0,375	0,4277	0,9099
4	0,5	0,625	0,8109
5	0,625	0,8691	0,6454
6	0,75	1.1718	0,3884
7	0,875	1.5449	0,0258
8	1	2	-0,4161

? (y0+y8) = 0,5839; ? (y1+y3+ y5+y7) =2,573; ? (y2+y4+ y6) = 2,1642;

На практике применяют правила Рунге. Для этого вычислим значение интеграла шагом h = b-a /n , обозначим его In: h = 0,25,

0,0833(1,000+4·0,9649+2·0,8109+4·0,3884-0,4161);

In = 0,6350

Затем вычислим значение интеграла шагом h/2=0,25/2 = 0,125 ,обозначим его I2n ,

За истинное значение принимают

6. Поиск экстремумов функций одной переменной методом золотого сечения

Задание №6

Минимизировать унимодальную функцию ѓ (x) методом золотого сечения

ѓ(x) = x2+ae bx ,где a = 1.0 b = - 0.85

Функция ѓ(x) называется унимодальной, если существует единственная точка х*, в которой ѓ(x) принимает экстремальное значение. Для определенности будем считать, что речь идет о минимуме функции ѓ(x) на отрезке [a,b]. Унимодальная функция не должна быть гладкой или даже непрерывной.

Графически отделим точку минимума функции ѓ(x) = x2+1e -0,85x, т.е. найдем отрезок

[-1,1] на котором лежит точка минимума х*(рис.3)

Рисунок 3

Золотым сечением отрезка называют деление отрезка на две части так, что отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению большей части к меньшей.

Начальный отрезок [-1,1] делим точками х1 и х2 «по правилу золотого сечения» :

х1= a+(1- ф)(b - a),

х2= a+ ф(b - a), где ф = (1-v5)/2=0,6180339

Далее вычисляем значения функции ѓ(x1) и ѓ(x2).

Сравнение этих значений позволяет отбросить либо интервал [a, х1], либо [ х2, b]. На оставшемся интервале уже имеется одна точка, производящая его золотое сечение, и задача состоит в построении второй такой точки: х3= х1+b - х2 ,

После этого процесс повторяется. Итерация продолжается до тех пор, пока интервал неопределенности не станет меньше некоторого заданного числа е = 0,001.

Вычисления алгоритма минимизации методом золотого сечения представлены в таблице 6 :

Таблица 6

№	Точки на отрезке [-1,1]	ѓ(xi)	ѓ(xi)<ѓ(xi)	Отброшенный интервал
1	х1=-0,236 х2=0,236	ѓ(x1)=1,2778 ѓ(x2)=0,8738	ѓ(x2)<ѓ(x1)	|b -х2|=0,7 |a - х2|=1,2 |x1-х2|=0,4 x1< х2<b	Отбрасываем точку a, и следовательно интервал |a , х1|
2	х3=0,528	ѓ(x3)=0,9170	ѓ(x2)<ѓ(x3)	|b -х2|=0,8 |x3-х2|=0,3 |x1-х2|=0,4 x1< х2< x3	Отбрасываем точку b , и следовательно интервал | х3 ,b|
3	х4=0,056	ѓ(x4)=0,9566	ѓ(x2)<ѓ(x4)	|x3-х2|=0,3 |x1-х2|=0,4 |x4-х2|=0,17 x4< х2< x3	Отбрасываем точку x1 , и следовательно интервал |х1 ,x4|
4	х5=0,348	ѓ(x5)=0,8650	ѓ(x5)<ѓ(x2)	|x3-х5|=0,17 |x2-х5|=0,12 |x4-х5|=0,2 x2< х5< x3	Отбрасываем точку x4 , и следовательно интервал |х4 ,x2|
5	х6=0,416	ѓ(x6)=0,8751	ѓ(x5)<ѓ(x6)	|x3-х5|=0,17 |x6-х5|=0,068 |x2-х5|=0,112 x2< х5< x6	Отбрасываем точку x3, и следовательно интервал |х6 ,x3|
6	х7=0,304	ѓ(x7)=0,8646	ѓ(x7)<ѓ(x5)	|x2-х7|=0,068 |x5-х7|=0,044 |x6-х7|=0,112 x2< х7< x5	Отбрасываем точку x6 , и следовательно интервал |х5 ,x6|
7	х8=0,28	ѓ(x8)=0,8666	ѓ(x7)<ѓ(x8)	|x2-х7|=0,068 |x8-х7|=0,024 |x5-х7|=0,044 x8< х7< x5	Отбрасываем точку x2
8	х9=0,324	ѓ(x9)=0,8641	ѓ(x9)<ѓ(x7)	|x7-х9|=0,020 |x8-х9|=0,044 |x5-х9|=0,024 x7< х9< x5	Отбрасываем точку x8
9	х10=0328	ѓ(x10)=0,8642	ѓ(x9)<ѓ(x10)	|x7-х9|=0,020 |x10-х9|=0,004 |x5-х9|=0,024 x7< х9< x10	Отбрасываем точку x5
10	х11=0,308	ѓ(x11)=0,8644	ѓ(x9)<ѓ(x11)	|x7-х9|=0,020 |x10-х9|=0,004 |x11-х9|=0,016 x11< х9< x10	Отбрасываем точку x7
11	х12=0,312	ѓ(x11)=0,8643	ѓ(x9)<ѓ(x12)	|x10-х9|=0,004 |x12-х9|=0,012 |x11-х9|=0,016 x12< х9< x10	Отбрасываем точку x11
12	х13=0,316	ѓ(x13)=0,8642	ѓ(x9)<ѓ(x13)	|x10-х9|=0,004 |x12-х9|=0,012 |x13-х9|=0,008 x13< х9< x10	Отбрасываем точку x12
13	х14=0,320	ѓ(x14)=0,8642	ѓ(x9)<ѓ(x14)	|x10-х9|=0,004 |x14-х9|=0,004 |x13-х9|=0,008 x14< х9< x10	Отбрасываем точку x133
14	[х15=0,324]

х15= х9

Минимальное значение функции достигнуто на интервале x14< х9< x10 при х=0,324

Задача № 1

По выборочной совокупности значений X определить точечные и интервальные оценки с доверительной вероятностью г= 0,95 основных характеристик : математического ожидания М(Х), дисперсии D(Х), среднего квадратического отклонения у(Х).

Таблица. Данные: «Статистические» данные выбирается из основной таблицы: «малая» выборка с номерами от К до К+15+(К2+1)/2. ( от 21 до 37 )

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
Xi	170	162	190	192	166	182	173	175	163	163	175	171	188	171	183	189	167

Имеем такую выборку {Xi }таблица 1:

Предварительные вычисления запишем в виде электронной таблицы, (таб, 2)

~

где Xi - значение случайной величины, наблюдаемое в i - м опыте; X - среднее арифметическое наблюдаемых значений.

Таблица2

i	Xi	~ Xi - X	~ (Xi - X)2
1	170	-5,3	28,09
2	162	-13,3	176,89
3	190	14,7	216,09
4	192	16,7	278.89
5	166	-9,3	86,49
6	182	6,7	44,89
7	173	-2,3	5.29
8	175	-0,3	0,09
9	163	-12,3	151,29
10	163	-12.3	151.29
11	175	-0.3	0,09
12	171	-4.3	18,49
13	188	12.7	161,29
14	171	-4.3	18,49
15	183	7.7	59,29
16	189	13.7	187,69
17	167	-8.3	68,89
?	2980	-0,1	1653.53
~ X	175.3
S2	103.345
S	10.16

Пусть произведено n независимых опытов над случайной величиной Х с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией.

Интервальные оценки основных параметров распределения:

Доверительная вероятность г= 0,95. так как n = 17,

то k = n -1 =17 -1 = 16; по таблице значений tг= (г:n),

tг= 2,12 .

По таблице критических точек распределения ?2( б; k ): u1 = u0,975 = 28,8 u2 = u0,025 = 6,91

Задача № 2

По исходным данным (парная .выборка (Х,У)) выполнить следующие пункты:

вычислить коэффициент корреляции с;

сделать графическое изображение данных и линий регрессий;

сравнить значение коэффициента корреляции с графическими результатами.

Данные: XЯ ХЯ. выбираются из основной таблицы с номерами от 10*К1 до 10*К1 + 15.

В качестве случайных величин Х и Y взяты результаты измерения физических данных шестнадцати мужчин. где Х - обхват груди, Y - рост.

1. По следующим данным построим «корреляционное поле»

Таблица

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
X	164	170	162	190	192	166	182	173	175	163	163	175	171	188	171	183
У	90	93	87	109	101	98	110	104	103	85	85	100	102	105	94	107

Все вспомогательные вычисления оформим в виде электронной таблицы ( табл.3)

Вычислим выборочные средние:

~ ? xi ~ ? yi ~ ~

X = ; Y = ; ( X; Y ) - центр распределения, точка пересечения двух графиков;

n n

~ 2788 ~ 1573

X = = 174,25 ; Y = = 98,31; (174,25 ; 98,31) - центр распределения

Таблица 3

i	Xi	Yi	Xi2	Yi2	Xi · Yi	Xi*	Yi*
1	164	90	26896	8100	14760
2	170	93	28900	8649	15810
3	162	87	26244	7569	14094	89.97
4	190	109	36100	11881	20710
5	192	101	36864	10201	19392	110.37
6	166	98	27556	9604	16268
7	182	110	33124	12100	20020		185.6
8	173	104	29929	10816	17992
9	175	103	30625	10609	18025
10	163	85	26569	7225	13855		161.35
11	163	85	26569	7225	13855
12	175	100	30625	10000	17500
13	171	102	29241	10404	17442
14	188	105	35344	11025	19740
15	171	94	29241	8836	16074
16	183	107	33489	11449	19581
?	2788	1573	487316	155693	275118
~ X	174.25
~ Y	98.31

Найдем выборочные средние квадратические отклонения:

( ? хi) 2 (2788) 2

Qx = ? ( хi) 2 - n ; Qx = 487316 - 16 = 1507 ;

( ? yi) 2 (1573)2

Qy= ? ( yi) 2 - n ; Qy= 155693 - 16 = 1047,4375 ;

( ? хi)·( ? yi) 2788·1573

Qхy= ? (хi yi) - n ; Qхy= 275118 - 16 = 1022,75;

уравнение ньютон квадратический корреляция

Выборочный коэффициент корреляции является точечной оценкой генерального коэффициента корреляции и служит оценкой тесноты линейной корреляционной связи: чем ближе |св| к единице, тем теснее связь; чем ближе |св| к нулю, тем связь слабее.

Вычислим выборочный коэффициент корреляции:

Следовательно, выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х : Y* = b0 + b1? x ;

Уравнение прямой линии регрессии Х на Y : Х* = b0 + b1 ? Y

Для определения параметров модели уравнения Y* = b0 + b1? x:

Для определения параметров модели уравнения Х* = b0 + b1? Y:

Линии регрессии: Х* =78,9 + 0,97 y

Y* =0.68 x - 20.2

«Ножницы», образуемые прямыми Х* и Y*, соответствуют величине коэффициента корреляции св = 0,81.

Задача № 3

Непараметрические методы статистики. Проверить гипотезу о наличии сдвига со значением «-1%» при уровне значимости 5%.

Данные:

Х- это коэффициенты вариации чесальной ленты по 20-сантиметровым отрезкам при работе с некоторой партией хлопка,

У -- тот же параметр после определенной модификации чесальных машин (табл. 6).

Таблица 6

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
X	5,2	6,7	5,5	6,5	8,3	3,4	4,8	5,2	5,8	6,2	6,9
У	4,0	5,5	4,9	5,2	7,0	3,2	4,9	4,0	5,2	4,9	5,3
№	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
X	6,2	6,8	4,5	6,7	5,3	6,1	7,2	5,8	8,3	3,8	5,6
У	5,3	6,0	4,2	5,5	4,0	5,0	5,1	5,3	8,2	3,9	5,8

Для того чтобы проверить нулевую гипотезу , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости б, помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свобод k = n-1 найти критическую точку tдвуст.кр.( б, k )

Если Тнабл.< tдвуст.кр- нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Тнабл. > tдвуст.кр- нулевую гипотезу отвергают.

Вычитая из чисел первой строки числа второй, получим: di= xi-yi

По формуле найдем выборочную среднюю:

Все вспомогательные вычисления оформим в виде электронной таблицы ( табл.4)

Таблица 4

i	Xi	Yi	d i	d i2
1	5,2	4,0	1,2	1,44
2	6,7	5,5	1,2	1,44
3	5,5	4,9	0,6	0,36
4	6,5	5,2	1,3	1,69
5	8,3	7,0	1,3	1,69
6	3,4	3,2	0,2	0,04
7	4,8	4,9	-0,1	0,01
8	5,2	4,0	1,2	1,44
9	5,8	5,2	0,6	0,36
10	6,2	4,9	1,3	1,69
11	6,9	5,3	1,6	2,56
12	6,2	5,3	0,9	0,81
13	6,8	6,0	0,8	0,64
14	4,5	4,2	0,3	0,09
15	6,7	5,5	1,2	1,44
16	5,3	4,0	1,3	1,69
17	6,1	5,0	1,1	1,21
18	7,2	5,1	2,1	4,41
19	5,8	5,3	0,5	0,25
20	8,3	8,2	0,1	0,01
21	3,8	3,9	-0,1	0,01
22	5,6	5,8	-0,2	0,04
?			18,4	23,32

Вычислим наблюдаемое значение критерия: Тнабл.= 0,836? v 22 / 0,614 = 6,39;

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости б = 0,05 помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свобод k = 21 найти критическую точку tдвуст.кр.( 0,05, 21 ) = 2,08

Размещено на Allbest.ru